14/Mar/2018 Aula Momento linear 8.1 Definição 8.2 Impulso de uma força 8.3 Centro de massa 8.4 Conservação. 12/Mar/2018 Aula 7

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1 12/Mar/2018 Aula 7 7. Conservação da energia 7.1 Forças conservativas e não conservativas 7.2 Energia potencial gravítica 7.3 Energia potencial elástica 7.4 Nível zero da energia potencial 7.5 Conservação da energia mecânica 7.6 Energia e cinemática 7.7 Energia e forças nãoconservativas 14/Mar/2018 Aula 8 8. Momento linear 8.1 Definição 8.2 Impulso de uma força 8.3 Centro de massa 8.4 Conservação 1

2 Aula anterior 7.1 Forças conservativas e não conservativas Uma força diz-se conservativa se o trabalho por ela realizado não depender do percurso efetuado, mas apenas do deslocamento (diferença entre os pontos inicial e final). Portanto, o trabalho realizado por uma força conservativa, ao longo de uma linha fechada, é nulo. Exemplos de forças conservativas: força de restituição de uma mola força gravítica. Trabalho realizado pela força gravítica ao longo de uma linha fechada: W = 0 2

3 Aula anterior 7.1 Forças conservativas e não conservativas Uma força diz-se não-conservativa (ou dissipativa) se o trabalho por ela realizado depender do percurso efetuado. Portanto, o trabalho realizado por uma força não-conservativa, ao longo de uma linha fechada, não é nulo. Exemplo de forças não-conservativas: atrito Trabalho realizado por uma força de atrito, ao longo de uma linha fechada: W 0 3

4 Aula anterior 7.2 Energia potencial gravítica A qualquer força conservativa está associada uma energia potencial. Exemplo: energia potencial gravítica. O trabalho realizado pela força gravítica é independente do percurso escolhido, só depende da diferença de alturas Δy. W = s f s i F.d r W if = ( mg) ( h f h ) = mgh i i mgh f y Projétil Simulação =U i U f = ΔU mg h f U ( h) = mgh Energia potencial gravítica h i mg x 4

5 Aula anterior 7.3 Energia potencial elástica A força de restituição de uma mola também é conservativa. Logo, está-lhe associada uma energia potencial (elástica). du mola = dw = F d l = F x dx = ( kx)dx = kx dx U mola = x f kx dx = 1 2 kx2 +U 0 Mola Simulação x i Se U 0 = 0 U mola = 1 2 kx2 5

6 Aula anterior 7.4 Nível zero da energia potencial Exemplo: uma pedra, inicialmente em repouso, é deixada cair. Determine a sua velocidade imediatamente antes de tocar o solo, segundo os dois referenciais (Betty e Bill). E cin f = 1 2 mv f 2 = (U f U i ) = ΔU Betty: U i = mg y i = 9,8 J U f = mg y f = 0 J Bill: U i = mg y i = 0 J e U f = mg y f = 9,8 J ΔU Bill =U f U i = 9,8 J ΔU Betty =U f U i = 9,8 J v f = 2ΔU m = 2( 9,8 J) (1 kg) = 4,43 m/s 6

7 Aula anterior 7.5 Conservação da energia mecânica A energia mecânica total de um sistema é a soma da sua energia cinética com a energia potencial. Se as únicas forças em ação forem conservativas, a energia mecânica total conserva-se. Por exemplo, quando a única força a realizar trabalho num sistema for a força gravítica, a energia mecânica total mantém-se. 7

8 Aula anterior 7.5 Conservação da energia mecânica Uma força conservativa pode ser obtida a partir da sua função energia potencial. Por exemplo, a uma dimensão: du = F d l = F x dx F x = du dx A duas e três dimensões: F x = du dx, F z = du dz F y = du dy 8

9 Aula anterior 7.7 Energia e forças não-conservativas Na presença de forças não-conservativas, a energia mecânica total não é conservada: W total =W c +W nc ΔE cin = ΔU +W nc W nc = ΔU + ΔE cin = ΔE 9

10 4.9 Energia mecânica e forças não-conservativas O bloco tem uma velocidade inicial de 7 m/s e percorre 2 m até chegar à rampa. O coeficiente de atrito cinético é µ k =0,3 e a inclinação da rampa é de 40º. Determine: a) a velocidade do bloco, quando chega à rampa; b) a distância que percorre na rampa até parar, momentaneamente. a) W =Δ U +Δ E =ΔE nc cin (até chegar à rampa, ΔU = 0) f.δ s = mv mv 1 2 Como f.δ s = f scos180º= f s = f x 2 x 1 ( ) 2 e f = µ k mg v 2 = v 1 2µk g ( x 2 x 1 ) = ,3 9,81 = 6,1m/s y 3 m x F n m h x m v m 2 m x f k F g U g 0 x1 0 x m v1 7.0 m/s v2 10

11 4.9 Energia mecânica e forças não-conservativas O bloco tem uma velocidade inicial de 7 m/s e percorre 2 m até chegar à rampa. O coeficiente de atrito cinético é µ k =0,3 e a inclinação da rampa é de 40º. Determine: a) a velocidade do bloco, quando chega à rampa; b) a distância que percorre na rampa até parar, momentaneamente. b) Wnc =Δ U +Δ Ecin =ΔE (no plano inclinado) f.δ s = mgh 0 Mas f.δ s = f scos180º= f s = f x 3 x 2 ( ) mv 2 2 ( ) Fy = 0 = Fn mgcosθ Fn = mgcosθ Por sua vez, mgh = mg ( x 3 x 2 )senθ f = µ k F n = µ k mg cosθ y F n m 3 x m x m v 3 0 h µ k mg cosθ ( x 3 x 2 ) = mg ( x 3 x 2 )senθ 1 2 mv m 2 m x f k F g U g 0 x 3 x 2 = v 2 2 ( ) = 2,2m 2g µ k cosθ + senθ x1 0 x m v1 7.0 m/s v2 11

12 8.1 Definição O momento linear de uma partícula é o produto da sua massa pela velocidade: p = m v p =kg m / s Momento linear total de um sistema de várias partículas: P sist = = m i vi i p i i A partir da 2ª lei de Newton, se m for constante: F = m a = m d v dt = d m dt v ( ) = d p dt F = d p dt 12

13 8.2 Impulso de uma força O impulso de uma força é o produto da força pelo intervalo de tempo em que ela atua num objeto: I = F Δt I =kg m / s A variação do momento linear de uma partícula é igual ao impulso da força resultante: F = d p dt Δ p = F Δt 13

14 8.2 Impulso de uma força A variação do momento linear depende do tempo durante o qual a força resultante atua: Δ p = F Δt A variação da energia cinética depende da distância em que a força resultante atua: ΔE cin = F.Δ s 14

15 8.3 Centro de massa O centro de massa de um sistema é o ponto em que esse sistema fica em equilíbrio quando está suspenso num campo gravítico uniforme. Para 2 partículas, de massas m 1 e m 2 : x CM = m 1 x 1 + m 2 x 2 = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 M y CM = m 1 y 1 + m 2 y 2 = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 M z CM = m 1 z 1 + m 2 z 2 = m 1 z 1 + m 2 z 2 m 1 + m 2 M 15

16 8.3 Centro de massa No caso de objetos sólidos homogéneos, o centro de massa coincide com o centro geométrico. Mas o centro de massa pode localizar-se fora do objeto: Posição do CM simulação 16

17 8.3 Centro de massa Posição do centro de massa de um sistema de N partículas: x CM = 1 M y CM = 1 M z CM = 1 M N i=1 N i=1 N i=1 m i x i m i y i m i z i com r CM = 1 M N m ir i i=1 r CM = x CM ex + y CM ey + z CM ez Para um objeto com uma distribuição contínua de massa: r CM = 1 M r dm 17

18 Exemplo Três objetos pontuais, de massas m 1 = 3 kg e m 2 = m 3 = 1 kg, estão nos vértices do triângulo da figura. Determine a posição do centro de massa deste sistema. r CM = 1 M N m ir i i=1 r A = 2 e x + 2 e y r B = e x + e y r C = 3 e x + 0 e y r CM = 1 (3+1+1) 3(2 e x + 2 e y ) +1( e x + e y ) +1(3 e x ) = (2 e x +1,4 e y )m 18

19 8.3 Centro de massa O momento linear total de um sistema é igual ao produto da sua massa (total) pela velocidade do centro de massa: P sist = = m i vi i p i i = M v CM Como F ext d P sist dt = M d v CM dt = M a CM F ext = M a CM Fext = 0 d P sist dt = d P sist dt = 0 P sist = constante simulação Movimento do CM filme 19

20 8.4 Conservação do momento linear Se o somatório das forças exteriores for nulo, o momento linear do sistema mantém-se inalterado (princípio da conservação do momento linear). Mesmo na presença de forças exteriores, como a gravidade e a força normal, desde que a sua soma seja nula, o momento linear do sistema é constante. 20

21 Exemplo Um canoísta da canoa 1 empurra a canoa 2 com uma força de 46 N, para as separar. A massa total da canoa 1 é 130 kg e a da canoa 2 é 250 kg. Determine o momento linear de cada canoa, após a força ter sido aplicada durante 1,2 s. Canoa 1: F 1 = 46 N I 1 = F 1 Δt = 55,2 Ns = Δp 1 p 1,i = m 1 v 1,i = 0 Como p 1, f = 55,2 kg m/s Canoa 2: F 2 = 46 N I 2 = F 2 Δt = 55,2 Ns = Δp 2 p 2,i = m 2 v 2,i = 0 Como p 2, f = 55,2 kg m/s 21

22 Exemplo Um canoísta da canoa 1 empurra a canoa 2 com uma força de 46 N, para as separar. A massa total da canoa 1 é 130 kg e a da canoa 2 é 250 kg. Determine o momento linear de cada canoa, após a força ter sido aplicada durante 1,2 s. Alternativa: F 1 = m 1 a1, F 2 = m 2 a2 a 1,x = F 1,x m 1 = 46 N 130 kg = 0,354 m/s2 a 2,x = F 2,x m 2 = 46 N 250 kg = 0,184 m/s2 v 1,x = a 1,x t = ( 0,354 m/s 2 )(1,2 s) = 0,425 m/s v 2,x = a 2,x t = (184 m/s 2 )(1,2 s) = 0,221 m/s p 1,x = m 1 v 1,x = (130 kg)( 0,425 m/s) = 55,3 kg m/s p 2,x = m 2 v 2,x = (250 kg)(0,221 m/s) = 55,3 kg m/s P sist = 0 22

23 Exemplo Um vagão de 14 toneladas desloca-se horizontalmente, com velocidade constante de 4 m/s. Quando passa por baixo de um silo, 2000 kg de cereal são despejados para o vagão. Admita que o cereal cai exatamente na vertical e que as forças de atrito são desprezáveis. Quanto tempo demora o vagão a percorrer 500 m? F i ext F i ext = Δ P sys Δt = F g grão + F g vagão + F n F g grão x + F g vagão x + F n x = 0 P i,sist x = P f,sist x 23

24 Exemplo Um vagão de 14 toneladas desloca-se horizontalmente, com velocidade constante de 4 m/s. Quando passa por baixo de um silo, 2000 kg de cereal são despejados para o vagão. Admita que o cereal cai exatamente na vertical e que as forças de atrito são desprezáveis. Quanto tempo demora o vagão a percorrer 500 m? P i,sist x = P f,sist x m vagão v i,x + m grão (0) = (m vagão + m grão )v f,x v f,x = v i,x m vagão m vagão + m grão Como d = v fx Δt Δt = d(m vagão + m grão ) m vagão v ix Δt = (500 m)(14000 kg kg) (14000 kg)(4 m/s) =143 s 24