Universidade Tecnológica Federal do Paraná. APS Cálculo 2

Transcrição

1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão Wellington José Corrêa Nome: APS Cálculo 2 1. As dimensões de uma caixa retangular fechada foram medidas com 80 cm, 60 cm e 50 cm, respectivamente, com erro máximo de 0,2 cm em cada dimensão. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície da caixa. 2. O índice de sensação térmica W é a temperatura que se sente quando a temperatura real for T e a rapidez do vento v, portanto, podemos escrever W = f(t, v). A tabela abaixo representa uma situação alguns valores de W : T \ v Utilize esta tabela para determinar a aproximação linear da função de sensação térmica quando T estiver a -15 C e v estiver próximo de 50 km/h. Estime, a seguir, a sensação térmica quando a temperatura estiver a -17 C e a velocidade do vento for de 55 km/h. 3. Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 cm de espessura e os das laterais tem espessura 0,05 cm. 1

2 4. Suponha que a altura de um cone circular reto de raio r e altura h decresça de 20 cm para 19,95 cm, enquanto que o raio cresce de 4 cm para 4,05 cm. Use uma diferencial total para aproximar a variação no volume V do cone. 5. Por derivação implícita, calcule: (a) d y dx, sendo F (x, y) = exy + sen(2x 3y) = 0 (b) z x, z y, sendo xy2 + yz 2 + zx 2 = 3 6. Com respeito a matrizes jacobianas, siga o que lhe for solicitado: (a) Se f(x, y, z) = (x, y, z), mostre que a matriz jacobiana de f no ponto (x, y, z) é a matriz identidade de ordem 3. (b) Sejam f(x, y, z) = (x 2 + y + z, 2x + y + z 2 ), g(u, v, w) = (uv 2, w 2 senv, u 2 e v ). Calcule as matrizes jacobianas de f e g. 7. Quatro poços de petróleo estão localizados nos pontos ( 300, 0), ( 100, 500), (0, 0) e (400, 300) de um sistema retangular de coordenadas, no qual as distâncias são medidas em metros. Em que ponto M(a, b) deve ser instalado um galpão de manutenção para que a soma dos quadrados das distâncias entre o galpão e os quatro poços seja a menor possível? 8. Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache os extremos relativos de f (supondo que eles existam), sujeito ao (s) vínculo (s) dado. (a) f(x, y) = x 2 + y com vínculo x 2 + y 2 = 9 (b) f(x, y) = x y z com vínculo x y z 2 = 4 9. Ache três números positivos cuja soma é 24, de modo que o produto deles seja o maior possível. 10. Ache três números cuja soma é 100 e cuja soma de quadrados é mínima. 11. Uma construção retangular deve ser executada com materiais que custam R$ 31,00 o metro quadrado para o teto, R$ 27,00 o metro quadrado para os dois lados e o fundo e R$ 55,00 2

3 para a fachada. Se o volume é de metros cúbicos, quais devem ser as dimensões para que o custo dos materiais usados seja mínimo? 12. Um estudo realizado em um depósito de rejeitos revelou que o solo estava contaminado em uma região que podia ser descrita aproximadamente como o interior da elipse x2 4 + y2 9 = 1, onde x e y estão expressas em quilômetros. O responsável pelo depósito pretende construir um muro circular para delimitar a área poluída. Se o escritório do depósito fica no ponto S(0, 0), qual é o raio da menor circunferência de centro em S que contém toda a região poluída? 13. Uma expressão empírica que relaciona a área superficial de uma criança ao seu peso é S(W, H) = 0, 0072 W 0,425 H 0,725, onde W é o peso em quilogramas e H é altura em centímetros. (a) Se os erros nas medidas de w e h forem no máximo 2%, use diferenciais para estimar a porcentagem de erro máximo na área da superfície calculada. (b) Suponha que durante um curto período de tempo, Maria perca peso enquanto está crescendo, de tal forma que W + H = 160. Com tal restrição, quais devem ser o peso e altura para que a área superficial do corpo de Maria seja a maior possível? 14. Calcule o valor máximo da função f(x 1, x 2,..., x n ) = n x 1 x n com a restrição g(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 +x x n = c. Em seguida, mostre que a média geométrica entre os números x 1,..., x n é menor ou igual que a média aritmética entre x 1,..., x n, ou seja, Quando a igualdade será válida? n x1 x n x 1 + x x n. n 15. Use multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com um volume de 32 m 3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material. 16. Calcule o jacobiano das seguintes aplicações: (a) f(r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) 3

4 (b) f(ρ, φ, θ) = ( ρ sen(φ) cos(θ), ρ sen(φ) sen(θ), ρ cos(φ) ) 17. Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o triângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante p é equilátero. Sugestão: Utilize a fórmula de Heron para a área: A = s (s x) (s y) (s z) onde s = p 2 e x, y e z são os comprimentos dos lados. 18. Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante p é um quadrado. Respostas 1. da = 152 cm f( 17, 55) 32, 35 C. 3. Note que dr = 0, 05 cm e dh = 0, 1(tampa de cima) + 0, 1( tampa de baixo) = 0, 2 cm e dv 2, 80 π 8, 8 cm ,00415 cm 3 5. (a) dy dx = yexy + 2 cos(2x 3y) xe xy 3 cos(2x 3y) (b) z x = y2 + 2xz 2zy + x 2 ; z y = 2xy + z2 2zy + x (a) J(f(x, y, z)) = = I (b) J(f(x, y, z)) = 2x 1 1 v 2 2uv 0, J(g(x, y, z)) = 0 w 2 1 2z 2 cos v 2wsen v 2ue v u 2 e v 0 7. (0,200) 4

5 8. (a) máximos relativos: (b) f ( 12 13, 9 13, 16 ) x = y = z = x = y = z = ( ± ) 35 2, 1, mínimos relativos: (0, ± 3). 2 = 37, mínimo relativo x 26, 4 m; y 40, 1 m; z 15, 1 m km. 13. (a) W 59, 13 kg e H 100, 87 cm. (b) 2,3% 14. Seu valor máximo será em c. A igualdade será válida quando f atingir seu valor máximo. n m, 4 m e 2 m. 16. (a) r (b) ρ 2 sen(φ) Bom Divertimento!!! 5