Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UCP MATEMÁTICA I MINI-TESTE 2 - versão A

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1 MINI-TESTE - versão A Duração: 90 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos. Qualquer dúvida ou questão relativa ao enunciado deverá ser escrita na fola de prova para que possa ser tomada em consideração na correcção. Separe em grupos de folas diferentes as resoluções dos grupos I e II das resoluções dos grupos III e IV Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar. Justifique as respostas. Simplifique o resultado final o máximo possível. Calcule a derivada de: GRUPO I (45 PONTOS). [5 pontos] y = sen(cos(πx + )). [5 pontos] y = x.arctg(x) ln + x 3. [5 pontos] y = x ln x Calcule os limites: GRUPO II (45 PONTOS) ln(x). [5 pontos] lim x. [5 pontos] lim sen(x) x. 3. [5 pontos] lim x 0 +(ex + x) /x

2 MINI-TESTE - versão A GRUPO III (75 PONTOS) Considere as seguintes funções reais de variável real definidas por arcsen(x) + π se x f(x) = ln( x ) e g(x) = x se x >. [55 pontos] Para cada função: [0 pontos] a) Determine o domínio. [0 pontos] b) Determine a intersecção com os eixos. [0 pontos] c) Estude a continuidade. [5 pontos] d) Estude a diferenciabilidade e apresente a função derivada. [0 pontos] e) Determine, quando possível, os limites quando x tende para + e.. [0 pontos] A função f é invertível? Em caso afirmativo, determine a função inversa. 3. [0 pontos] Escreva a expressão da função f + g, sem utilizar módulos. GRUPO IV (35 PONTOS) Classifique cada uma das seguintes afirmações com V se Verdadeira e com F se Falsa. Cada resposta correcta vale 5 pontos, cada resposta incorrecta desconta pontos, sem resposta não desconta. Este grupo pode ter cotação negativa. Não é necessária qualquer justificação. Só se terá em consideração o valor lógico das proposições apresentado.. O gráfico da função g(x) = f(x ) corresponde ao gráfico da função f movido uma unidade para baixo. x. lim x 0 x = 3. Se f é diferenciável em x =, então f está definida em x =. 4. Se f(x) = ln(x ), então f (0) =. 5. A expressão designatória da função inversa de f(x) = cos(x) é f (x) = cos(x). 6. O contradomínio da função f(x) = e 3x é ], [. 7. Se f() = e lim x f(x) =, então f é diferenciável em x =.

3 MINI-TESTE - versão A - TÓPICOS DE RESOLUÇÃO. y = πsen(πx + ) cos(cos(πx + )). y =.arctg(x) + x +x x +x GRUPO I +x = arctg(x) + x +x x +x = arctg(x) 3. y = ln x.x ln x.x + (ln x).x ln x. ln x = ln x.x ln x + x.xln x. ln x = = x ln x ln x[ + x.x] =.xln x. ln x ln(x). lim x. lim sen(x) x = lim x = + = 0 sen(x) x GRUPO II 3. lim + x) /x +x) /x x 0 +(ex x 0 + eln(ex e/x ln(ex +x) = x 0 + = e lim x 0 + x ln(ex +x) = e lim x 0 + ln(ex +x) x = e lim x 0 + = 0, usando, por exemplo, o Teorema do Encaixe. e x + e x +x = e lim x 0 + ex + e x +x = e 3

4 MINI-TESTE - versão A - TÓPICOS DE RESOLUÇÃO GRUPO III. a) D f = x R : x > 0} =], [ ], + [ D g = [, + [ b) Para a função f: x = 0 / D f y = 0 : ln( x ) = 0 x = e 0 x = 3 x = 3 x = 3 f intersecta com os eixos nos pontos (-3,0) e (3,0). x = 0 y = arcsen(0) + π = π y = 0 : arcsen(x) + π = 0 arcsen(x) = π x = π x = 0 x = 0 x = / ], + [ g intersecta com os eixos nos pontos (0,π/) e (,0). x = [, ] c) Para a função f: f é continua no seu domínio, ou seja, em ], [ ], + [ (justifique!) Em [, [, g é continua (justifique!) Em ], + [, g é continua (justifique!) Em x = : lim g(x) x + x = 0 x + lim g(x) arcsen(x) + π x x = 0 g() = 0 g(x) x Logo, g é continua em x = e por conseguinte, é continua em R. d) Para a função f: ln(x ) se x > se x > x f(x) = ln( x ) se x < x < : g (x) = x x > : g (x) = x. Logo, f (x) = x se x < 4

5 x = : g d () 0+ g( + ) g() g e() g( + ) g() = + 0+ arcsen( + ) + π/ 0 0 Como as derivadas laterais são diferentes, não existe g (). = lim 0 (+) = Logo, g (x) = e) lim f(x) = + lim x se x < se x > x f(x) = + lim x g(x) = + lim g(x) = x. Não é invertível, visto que não é injectiva. Por exemplo, x = 3 e x = 3 tem y = (f + g)(x) = ln(x ) + x (note que g não está definida para x < ). GRUPO IV. F. F 3. V 4. F 5. F 6. V 7. F 5