Perg 1 3 Val C Perg 2 2 Val B Perg 3 2 Val D Perg 4 3 Val A

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 1 o semestre 15/16 Nome: Número: Curso: Sala: 3 o TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR LEE, LEGI, LEIC-T, LERC 19 de dezembro de 2015 (9:00) Teste 301 (soluções) O Teste que vai realizar tem a duração total de 90 minutos e consiste em sete problemas. Os quatro primeiros são perguntas de escolha múltipla, pelo que deve assinalar a sua opção na primeira coluna vazia do quadro abaixo. As resposta erradas descontam 1/10 da cotação indicada. Os restantes problemas estão divididos em alíneas com as cotações indicadas nas alíneas apenas quando a divisão não é uniforme. Apresente sempre todos os cálculos que tiver de efetuar! N.B.: este teste tem nota mínima de 7 em 20. Perg 1 3 Val C Perg 2 2 Val B Perg 3 2 Val D Perg 4 3 Val A O quadro abaixo destina-se à correção da prova. Por favor não escreva nada. Prob 5 Prob 6 Prob Val 3.5 Val 3 Val NOTA FINAL: 1

2 Problema 1 Considere a matriz Qual é a única afirmação verdadeira relativa a esta matriz? 0 A) O espaço próprio do valor próprio 3 é o conjunto t 1 : t R. 0 B) A equação característica da matriz é (λ + 2) 2 (λ + 3) = 0. C) A matriz é diagonalizável. D) Nenhuma das anteriores. Problema 2 Considere a matriz M, 3 3. Sabendo que o espaço próprio do valor próprio 2 é {(0, t, s) : t, s R} e que o espaço próprio do valor próprio 5 é {(t, 0, 0) : t R}, qual é a única afirmação verdadeira? 1 1 A) M 1 = B) M 1 = C) M 2 = D) M 1 =

3 Problema 3 Supondo que R 4 está munido com o produto interno usual, considere as afirmações seguintes. I. ( 1, 0, 3, 1) = 11. II. O coseno do ângulo entre ( 1, 0, 3, 1) e (2, 0, 1, 3) é III. O conjunto {(0, 1, 0, 0), ( 2/2, 0, 2/2, 0), ( 2/2, 0, 2/2, 0)} é uma base ortonormal do hiperplano {(x, y, z, w) R 4 : w = 0}. IV. dist((2, 0, 1, 4), ( 2, 0, 1, 4)) = 3 (2, 0, 1, 4). Qual é a lista completa de afirmações verdadeiras? A) I e II ; B) II e III; C) I e IV; D) I, II e III. Problema 4 Considere as seguintes afirmações sobre a matriz [ ] A = I. O complemento ortogonal de Nul(A T ) é uma reta. II. O complemento ortogonal de Lin(A) é um plano. III. O triângulo de vértices (0, 3), ( 1, 1) e (0, 0) está contido em Lin(A T ). IV. O plano {( a, b, a): a, b R} é perpendicular a Nul(A). Qual é a lista completa de afirmações verdadeiras? A) III e IV; B) II e III; C) III; D) I e IV. 3

4 Problema 5 Considere uma cadeia de Markov com 3 estados possíveis e a seguinte matriz de transição: 1/2 0 1/2 M = 1/2 1/ /2 1/2 (a) (1 val.) Verifique que a matriz M é uma matriz estocástica regular (existe uma potência M k com entradas estritamente positivas). 1/4 1/4 1/2 Solução: M 2 = 1/2 1/4 1/4. 1/4 1/2 1/4 (b) (1.5 val.) Deduza o vetor estacionário para a matriz M e mostre que é um vetor próprio de M. 1/3 Solução: q = 1/3, e para a verificação basta fazer o produto Mq e concluir: Mq = 1q. 1/3 (c) (1 val.) Qual é o valor próprio associado ao vetor estacionário? Quais as suas multiplicidades algébrica e geométrica, respetivamente? Solução: da equação Mq = 1q, conclui-se que λ = 1 é o valor próprio associado ao vetor estacionário, que tem ambas as multiplicidades iguais a 1. 4

5 Problema 6 Seja T : P 2 P 3 a transformação linear entre o espaço P 2 dos polinómios de grau menor ou igual a 2, e o espaço P 3 dos polinómios de grau menor ou igual a 3 definida por T (p(t)) = 3p (t) + 4p(t) em que p representa a primeira derivada do polinómio p. t 0 p(x) dx, (a) (1.5 val.) Determine a matriz que representa T nas bases canónicas de P 2 na partida, e P 3 na chegada Solução: [T ] = / /3 (b) (1 val.) Descreva explicitamente o núcleo da transformação T. O que pode concluir sobre a injetividade da transformação T? Solução: o núcleo da transformação T é o conjunto zero, i.e. Nuc T = {0}, em que 0 é o zero de P 2, 0 = 0(1) + 0(t) + 0(t 2 ), logo T é injetiva. (c) (1 val.) Descreva explicitamente o espaço imagem de T. O que pode concluir sobre a sobrejetividade da transformação T? Solução: a imagem da transformação T é o espaço gerado pelos polinómios T (1) = 4 t, T (t) = 3 + 4t 1 2 t2 e T (t 2 ) = 6t + 4t t3, i.e. o conjunto Im T = L{4 t, 3 + 4t 1 2 t2, 6t + 4t t3 }, que não gera todos os polinómios de grau menor ou igual a 3, logo T não é sobrejetiva. 5

6 Problema 7 Considere o subespaço W gerado pelos vetores u 1 = 1/3 e u 2 =, i.e. W = L{u 1, u 2 }. Seja 1/3 1 ainda o vetor y = 1. 0 (a) Determine o vetor de W mais próximo do vetor y e indique a que distância fica de y. Solução: trata-se do vetor projeção ortogonal de y em W que é igual a 1/3, e cuja distância a y é igual a 1. (b) Verifique que o vetor projeção ortogonal de y em W se pode calcular como UU T y, em que U é a matriz com os vetores coluna u 1 e u 2. Solução: é só verificar que UU T y = 1/3. 6