Lista 7. Bases Matemáticas. Funções II

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1 Lista 7 Bases Matemáticas Funções II e) Esboce o gráfico de cos( x ) Dadas as funções f (x) = sen x e g(x) = π x, determine os domínios e as imagens das funções compostas f g e g f. Denotando por ı a função identidade, mostre que para toda função f vale que: a) ı f = f e f ı = f b) Se f é inversível, então f f = ı e f f = ı Em tempo, isso significa que a função identidade cumpre o papel de elemento neutro da operação de composição de funções. Para as funções abaixo encontre f (x + f (x+) f (x) ), f ( x), f (x + ) e, sendo 0: a) x b) x + c) x d) x + e) x x f) x + x a) Como o gráfico de f ( x ) está relacionado como o gráfico de f (x)? b) Esboce o gráfico de x. c) Esboce o gráfico de x. d) Esboce o gráfico de sen( x ) Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva abaixo: A B E D 7 Para cada par de funções f : A R R e g : B R R abaixo, determine os domínios máximo de definição de f (x), g(x),( f +g)(x), f (x)g(x), f (x) g(x), ( f g)(x) e (g f )(x) e finalmente as expressões para ( f g)(x) e (g f )(x): a) f (x) = (x + ) e g(x) = x b) f (x) = x(x) e g(x) = x c) f (x) = x(x) e g(x) = x d) f (x) = x e g(x) = x 7 Sejam f : R R e g : R R duas funções cujos gráficos estão apresentados a seguir

2 Gráfico de f (x) 8 0 Gráfico de g(x) 8 0 A partir desses gráficos, esboce o gráfico das seguintes funções: a) f (x) b) g(x) c) f (x) d) g(x) e) f ( x) f) g( x) g) f ( x ) ) g( x i) f ( x ) j) g(x) + k) g(x) + l) g(x) + m) f ( x) n) f (x) o) ( f + g)(x) p) ( f g)(x) q) ( f + g)( x ) 8 Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos x e y, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e mínimo local se existirem. a) x + b) (x + ) c) (x + ) d) (x + ) e) (x + ) f) x + g) cos x ) x i) x j) x k) (x ) l) sen(x) + m) sen(x) + + n) x + o) cos(x + π) p) + cos( x ) q) (x π) r) (x π) s) x t) x+ u) x v) f (x) = { { x x, se x < 0 +, se x 0 cos(x), se x < w) f (x) = cos(x ), se x { x x) f (x) = x, se x + < cos(x), se x + 9 Para cada par de funções f, g abaixo encontre o domínio e as expressões de f g, f f, g f e g g. a) b) f : R R, f (x) = x g : [, ) R, g(x) = x f : R R, f (x) = x g : (, ] R, g(x) = x

3 c) d) f : R R, f (x) = x g : R\{, } R, g(x) = (x)(x) f : R R, f (x) = sen(x) g : R + R, g(x) = x 0 Para as seguintes funções (x), decompona-a como compostas de funções mais simples a) (x) = sen(x ) b) (x) = sen(x + x ) c) (x) = cosec(cos(x)) d) (x) = sen( cos(x) x ) e) (x) = sec((x + ) (x + )) f) (x) = sen((sen 7 (x 7 + )) 7 ) g) (x) = tan(x + sen(x + (cos (x)))) ) (x) = x i) (x) = sen(cos( ax+b cx+d )) j) (x) = + +x k) (x) = + + x l) (x) = x xx m) (x) = e x n) (x) = e +x o) (x) = ln( + x ) p) (x) = e x+ q) (x) = tan( +x ) de f (x)? b) Se soubermos que o gráfico anterior é o gráfico de f (x) + como poderia ser o gráfico de f (x)? (Forneça pelo menos duas respostas distintas) c) Se soubermos que o gráfico anterior é o gráfico de f (x) + como poderia ser o gráfico de f (x)? (Forneça pelo menos duas respostas distintas) Os seguintes gráficos foram obtidos a partir do grafico da função f (x) = cos(x) através de translações, omotetias e módulos. Qual função que representa cada um dos gráficos a seguir: a) b) Dado o seguinte gráfico: c) 7 a) Se soubermos que o gráfico anterior é o gráfico de f (x + ) + como é o gráfico Encontre o domínio máximo de definição e esboce o gráfico das seguintes funções utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos x e y, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e mínimo local se existirem. a) x+7

4 b) x +x+ c) x+ x. d) t e) log (x ) f) log ( x ) g) log (x x ) ) tan(x + π) i) tan( x) + j) tan(x) k) tan( x ) l) tan(x x ) Faça os gráficos das seguintes funções modulares: a) x b) x + x c) x + x + x d) e) x x + x x + x +

5 Respostas dos Exercícios Dom f g = R, Im f g = {0}; Dom g f = R, Im g f = { π, 0, π}; a.) f (x) = x, f (x + ) = x +, f ( x) = x f (x+) f (x) e = x+ x = d.) f (x) = x +, f (x+) = (x+) +, f ( x) = ( x) + = x + f (x+) f (x) e = (x+) + x = 0x+ = 0x + a.)o gráfico de f ( x ) coincide com o gráfico de f (x) para x 0, isto é, do lado direito do eixo y. Para x < 0, o gráfico de f ( x ) é a reflexão do gráfico de f (x) relativamente ao eixo y. b.) x 7 a.) ( f g)(x) = ; (g f )(x) = x (x ) c.)dom f = R\{0, }, Dom g = x (x) R +, Dom( f + g) = Dom f g = R + \{0, }; Dom f /g = R + \{0, }; Dom f g = R + \{0, }, Dom g f = (, 0) (, + ) e ( f g)(x) = x( x) ; (g f )(x) = x(x) d.)dom f = R, Dom g = R, Dom( f + g) = Dom f g = R; Dom f /g = R; Dom f g = R, Dom g f = R e ( f g)(x) = x ; (g f )(x) = x 8 f (x) f (x) x 8 0 d.) sin x b.) f (x) 8 sin x O gráfico corresponde à função f (x) = se x < x se x < 0 x se 0 x < x+ se x a.)dom f = [, + ), Dom g = R, Dom( f + g) = Dom f g = [, + ); Dom f /g = [, + )\{0}; Dom f g = R, Dom g f = [, + ) e ( f g)(x) = x + ; (g f )(x) = x + b.)dom f = R\{0, }, Dom g = R, Dom( f + g) = Dom f g = R\{0, }; Dom f /g = R\{0, }; Dom f g = R\{0,, }, Dom g f = R\{0, } e j.) 8 a.) 8 0 (g(x) + f (x) g(x) 8 0

6 .0 x + r.) x b.) (x + ) x u.) e.) j.) (x + ) b.)( f g)(x) = x ; ( f f )(x) = x; (g f )(x) = + x ; (g g)(x) = x; d.)( f g)(x) = sen x; ( f f )(x) = sen(sen x); (g f )(x) = sen x; (g g)(x) = x; 0 b.) = g f, onde f (x) = x + x, g(x) = sen x; f.) = f g g f j g, onde f (x) = sen x, g(x) = x 7, j(x) = x + ; k.) = j f j f g, onde f (x) = + x, g(x) = x, j(x) = x; l.) = f g, onde f (x) = e x, g(x) = x x ln x a.)cos(x) + ) b.) cos(x) + c.) cos(x) + d.) m.) l.)

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