Técnicas de Lugar das Raízes. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello 1

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1 Técnicas de Lugar das Raízes Carlos Alexandre Mello 1

2 Introdução Lugar das raízes é um método de análise e projeto para estabilidade e resposta de transiente É uma representação gráfica dos polos de um sistema de malha fechada à medida que os parâmetros do sistema variam A técnica dá uma visão qualitativa do desempenho de um sistema de controle e também serve como uma ferramenta quantitativa que dá mais informações do que os métodos já discutidos A técnica pode ser usada para descrever qualitativamente o desempenho de um sistema quando vários parâmetros são mudados 2

3 Introdução Os polos de sistemas de malha aberta são facilmente encontrados; o mesmo não acontece com sistemas de malha fechada Os polos de KG(s)H(s) são fáceis de serem encontrados, mas os polos de [1 + KG(s)H(s)] dependem da fatoração do denominador e variam com K 3

4 Introdução Representação de números complexos como vetores a) s = σ + jω; b) (s + a) = (σ + a) + jω; σ+a c) Representação alternativa para (s + a); d) (s + 7) s 5 + j2 σ+a 4

5 Introdução No caso mais geral, considere a função: Magnitude de F(s) em qualquer ponto s Ângulo θ de F(s) em qualquer ponto s 5

6 Introdução Exemplo 1: Dado F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)] Encontre F(s) no ponto s = -3 + j4 Solução gráfica: Traçamos vetores das raízes dos polinômios (tanto zeros quanto polos) até o ponto dado no plano complexo... 6

7 Introdução Exemplo 1 (cont.): F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)] s = -3 + j4 V 1 : V 1 = 20 V 1 = tg -1 (4/2) = 116º V 2 : V 2 = 25=5 V 2 = tg -1 (4/3) = 127º V 3 : V 3 = 17 V 3 = tg -1 (4/1) = 104º s V 3 V 2 V 1 V 1 7

8 Introdução Exemplo 1 (cont.): = = 116º - (127º + 104º) = -115º Assim, F(s) = 0, º no ponto s = -3 + j4 8

9 Introdução Exemplo 2: Dado encontre F(s) para s = j 9

10 Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes? Considere o exemplo abaixo: Variando K... 10

11 Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes? Considere o exemplo abaixo: Plotagem dos polos da Tabela anterior Lugar das raízes Em geral, vamos considerar o ganho positivo, ou seja, K 0. 11

12 Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes? O lugar das raízes mostra as mudanças na resposta de transiente com a variação de K Nesse exemplo, os polos são reais para ganhos menores que 25 Sistema Sobreamortecido No ganho 25, o sistema tem polos reais iguais Sistema Criticamente Amortecido Acima de ganho 25, o sistema é Subamortecido Observe que, nesse caso, a parte real do polo permanece constante 12

13 Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes? Como a parte real do polo permanece constante, o tempo de amortecimento (Ts) também é constante Lembrando que ele é inversamente proporcional à parte real do polo Ao aumentarmos o ganho, a taxa de amortecimento diminui e a porcentagem sobressinal aumenta O tempo de pico diminui com o aumento do ganho Nesse exemplo, como o lugar das raízes nunca cruza para o semi-plano direito, o sistema é sempre estável, independente do valor do ganho A análise também é aplicável a sistemas com ordem maior que 2 13

14 Propriedades do Lugar das Raízes A partir das propriedades do lugar das raízes, é possível fazer seu rascunho para sistemas de alta ordem sem precisar fatorar o polinômio do denominador Considere um sistema de controle de malha fechada geral que tem função de transferência: 14

15 Propriedades do Lugar das Raízes Para tal sistema, um polo s existe quando o polinômio no denominador é igual a zero, ou: KG(s)H(s) = -1 = 1 (2k + 1)180º, k = 0, ±1, ±2, ±3,... Onde -1 está representado em sua forma polar Isso significa que um valor de s em KG(s)H(s) gera um número complexo e, se o ângulo desse número for um múltiplo ímpar de 180º, aquele valor de s é um polo para algum valor de K Considerando: KG(s)H(s) = 1 e KG(s)H(s) =(2k + 1)180º Então: K = 1/( G(s) H(s) ) 15

16 Propriedades do Lugar das Raízes Vamos considerar novamente o exemplo anterior e a tabela associada ao valor de K: Pela tabela, quando o ganho é 5, temos polos em -9,47 e -0,53. KG(s)H(s) = K/[s(s + 10)] Para s = -9,47, temos KG(s)H(s) = 5/(-9,47.(-9, )) = -1 K = 10 => polos em -8,87 e -1,13 => KG(s)H(s) = -1 K = 35 => KG(s)H(s) =

17 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 1: Considere o sistema abaixo A função de malha aberta é: A função de malha fechada é: 17

18 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 1 (cont.): Considere o ponto -2+3j = (θ 1 + θ 2 ) (θ 3 + θ 4 ) = -70,55º Assim, j não faz parte do lugar das raízes Ou ainda, -2+3j não é polo de T(s) para qualquer K Para o ponto -2 + j 2/2 θ 1 = 19,47º θ 2 = 35,26º θ 3 = 90º θ 4 = 144,73º =(θ 1 + θ 2 ) - (θ 3 + θ 4 ) = -180º Assim, -2+j 2/2 faz parte do lugar das raízes -2+3j 18

19 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 1 (cont.): Para o ponto -2 + j 2/2, o ganho K é: K = L 3 L 4 /(L 1 L 2 ) = ( 2/2)( 3/ 2)/[( 9/ 2)( 3/ 2)] = 0,33 Assim, o ponto -2 + j 2/2 é um ponto do lugar das raízes para um ganho de 0,33 19

20 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 2: dado um sistema com re-alimentação unitária que tem a seguinte função à frente: Calcule o ângulo de G(s) para o ponto (-3 + j0) Determine se o ponto está no lugar das raízes Se sim, ache o ganho K 20

21 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 2 (cont.): 21

22 Esboçando o Lugar das Raízes O lugar das raízes pode ser obtido varrendo-se todo ponto no plano s para localizar os pontos cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180 Obviamente, essa tarefa é muito custosa Podemos simplificar o processo com algumas regras: 1) Número de ramos: Cada ponto em malha fechada se desloca à medida que o ganho é variado. Se definimos um ramo como sendo o caminho que um polo atravessa, então haverá um ramo para cada polo em malha fechada O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha fechada 22

23 Regras: Esboçando o Lugar das Raízes 2) Simetria: O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real Os polos complexos sempre aparecem com seus conjugados 3) Segmentos do Eixo Real: Usamos a propriedade que o ângulo deve ser um múltiplo ímpar de 180º para determinar onde existem segmentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes 23

24 Regras: Esboçando o Lugar das Raízes 3) Segmentos do Eixo Real: Considere a contribuição dos polos e zeros nos pontos P1, P2, P3 e P4 abaixo A contribuição de um par de polos ou zeros complexos é nula (são simétricos, então seus ângulos se anulam) A contribuição de polos ou zeros reais à esquerda do respectivo ponto é zero (o ângulo é de zero grau) Assim, a única contribuição é de polos e zeros reais à direita do respectivo ponto (forma um ângulo de 180º) 24

25 Regras: Esboçando o Lugar das Raízes 3) Segmentos do Eixo Real: No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real O número ímpar de polos ou zeros garante que o múltiplo de 180º seja ímpar No exemplo anterior, os segmentos do eixo real do lugar das raízes ficam entre -1 e -2 e entre 3 e -4 25

26 Regras: Esboçando o Lugar das Raízes 4) Pontos de Início e Término: Início do lugar das raízes: ganho zero Término do lugar das raízes: ganho infinito O lugar das raízes começa nos polos finitos ou infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s) Considere o sistema abaixo: 26

27 Esboçando o Lugar das Raízes Regras: 4) Pontos de Início e Término: Considerando: N = Numerador D = Denominador Temos: Quando K 0: Quando K : 27

28 Regras: Esboçando o Lugar das Raízes 4) Pontos de Início e Término: Quando K 0: Com isso, concluímos que o lugar das raízes começa nos polos de G(s)H(s), a função de transferência de malha aberta (os polos de T(s) são os mesmos de G(s) e H(s)) Quando K, os polos de T(s) se aproximam à combinação dos zeros de G(s) e H(s). O lugar das raízes, então, termina nos zeros de G(s)H(s) Observe que são os polos e zeros da função de malha aberta!! 28

29 Regras: Esboçando o Lugar das Raízes 4) Pontos de Início e Término: No exemplo anterior, o lugar das raízes começa nos polos -1 e -2 e termina nos zeros -3 e -4 O lugar começa em -1 e -2 e se move no eixo real no espaço entre esses polos indo de um para o outro Eles se encontram em algum lugar entre -1 e -2 e partem como números complexos conjugados até se encontrarem em algum ponto entre -3 e -4, onde eles caminham em direção a esses zeros 29

30 Regras: Esboçando o Lugar das Raízes 4) Pontos de Início e Término:

31 Regras: Esboçando o Lugar das Raízes 5) Comportamento no Infinito: O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. A equação das assíntotas é dada pela interseção com o eixo real em σ a com ângulo θ a, como segue: # = Número de... k = 0, ±1, ±2, ±3,... O número de polos deve ser maior que o de zeros!! 31

32 Esboçando o Lugar das Raízes Exemplo: esboçar o lugar das raízes para o sistema: Polos: 0, -1, -2, -4 Zeros: -3 Primeiro, calculamos as assíntotas: σ a = [( ) (-3)]/(4 1) = -4/3 θ a = (2k + 1)π/(4 1) = (2k + 1)π/3 = π/3, para k = 0 π, para k = 1 5π/3, para k = 2 A partir daqui, os ângulos se repetem... 32

33 Esboçando o Lugar das Raízes Exemplo (cont.): O número de linhas é igual à diferença entre o número de polos finitos e o número de zeros finitos Polos e zeros Assíntota Assíntota -4/3 Assíntota 33

34 Esboçando o Lugar das Raízes Exemplo (cont.): Pela regra 4, o lugar começa nos polos de malha aberta e termina nos zeros de malha aberta Existem mais polos do que zeros Assim, devem existir zeros no infinito As assíntotas dizem como chegar nesses zeros no infinito A forma final pode ser vista a seguir... 34

35 Esboçando o Lugar das Raízes Exemplo (cont.): Forma final Inicia nos polos e termina nos zeros: Começa entre -1 e 0 e segue para infinito Começa em -2 e termina em -3 Começa em -4 e termina em infinito Assíntota Assíntota Assíntota 35

36 Esboçando o Lugar das Raízes Exemplo 2: Esboce o lugar das raízes para o sistema de re-alimentação unitária com função de transferência à frente: 36

37 Esboçando o Lugar das Raízes Exemplo 2 (cont.): 37

38 Refinando o Esboço Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Ponto de Saída Ponto de Entrada 38

39 Refinando o Esboço Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Nos pontos de entrada e saída, os ramos fazem um ângulo de 180º/n com o eixo real, onde n é o número de polos de malha fechada partindo do ponto de saída ou chegando no ponto de entrada Na figura anterior, os ramos formam um ângulo de 180º/2 = 90º com o eixo real Como o ganho cresce a partir dos polos (como em -1 e - 2) até o ponto de saída, o ganho será máximo nesse ponto O ganho pode ser maior à medida que o lugar das raízes caminha pelo plano complexo, mas ele será máximo nesse ponto em relação ao eixo real apenas 39

40 Refinando o Esboço Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Analogamente, o ganho no ponto de entrada é o ganho mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros Para encontrar os pontos: Três soluções possíveis... 40

41 Refinando o Esboço Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 1: Derivar K = -1/[G(σ)H(σ)] em relação a σ Exemplo: Para todos os pontos no lugar das raízes: Resolvendo para K: = 0 σ 1 =-1,45 σ 2 = 3,82 41

42 Refinando o Esboço Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 2: Os pontos de entrada e saída satisfazem a relação: z i e p i são os negativos dos zeros e polos!!! Exemplo: Considerando o exemplo anterior: Polos: -1 e -2 Zeros: 3 e 5 σ 1 =-1,45 σ 2 = 3,82 42

43 Refinando o Esboço Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 3: O terceiro método é a busca pelo máximo e mínimo ganho através de recursos computacionais 43

44 Refinando o Esboço Interceptação com o Eixo jω Considere um exemplo anterior: Como os polos estão no semiplano esquerdo, o ponto de interceptação com o eixo imaginário indica no lugar das raízes o ponto que separa uma operação estável do sistema de uma operação instável do sistema 44

45 Refinando o Esboço Interceptação com o Eixo jω Para encontrar o ponto de interceptação com o eixo jω, podemos usar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte maneira: Forçando uma linha de polinômio ímpar ser nula na Tabela de Routh obtém-se o ganho; retornando uma linha para a equação de polinômios par, com esse vsalor de K, buscam-se as raízes, obtendo a frequência de cruzamento com o eixo imaginário 45

46 Refinando o Esboço Interceptação com o Eixo jω Exemplo: Na função abaixo, encontre a frequência e o ganho K para o qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Tabela Routh: 46

47 Refinando o Esboço Interceptação com o Eixo jω Exemplo (cont.): A única linha de polinômio ímpar que pode ser completamente anulada é a de s 1 No caso, temos: -K 2 65K = 0 K = -74,65 e 9,65 Se usarmos K = -74,65, então provocamos mudança de sinal com o último elemento da Tabela (21K). Assim, vamos usar K = 9,65 Considerando esse valor de K e retornando para s 2 : (90 K)s K = 80,35s ,7 = 0 s = ±j1,59 Assim, o lugar das raízes corta o eixo jω em ±j1,59 para um ganho 9,65 47

48 Refinando o Esboço Ângulos de Chegada e Partida É possível também calcular os ângulos de chegada e de partida dos polos e zeros Nesse caso, o uso de uma ferramenta computacional é mais apropriado 48

49 Resumo Regras Básicas para Esboçar o Lugar das Raízes Número de ramos é igual ao número de polos em malha fechada O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real O lugar das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s) O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. As equações das assíntotas são definidas por: 49

50 Resumo Regras Adicionais para Refinar o Esboço O lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o ganho é mínimo e entra no eixo real no ponto onde o ganho é máximo O lugar das raízes cruza o eixo imaginário no ponto onde G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O critério de Routh- Hurwitz pode ser usado para determinar esse ponto de cruzamento Ângulos de partida e de chegada podem ser calculados precisamente Todos os pontos do lugar das raízes satisfazem à relação G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O ganho é dado por: 50

51 Exemplo 1 Considere o sistema abaixo: Esboce o lugar das raízes e encontre: a) O ponto exato e ganho onde o lugar cruza o eixo jω b) O ponto de saída do eixo real c) A faixa de K na qual o sistema é estável 51

52 Exemplo 1 (cont.) Polos de G(s): -2 e -4 Zeros de G(s): 2 ± j4 No. de zeros = No. de polos Não se calculam as assíntotas. 52

53 Exemplo 1 (cont.) Polos: -2 e -4 Zeros: 2 ± j4 O lugar começa entre os polos e termina nos zeros sendo simétrico em relação ao eixo real 53

54 Exemplo 1 (cont.) Polos: -2 e -4 Zeros: 2 ± j4 54

55 Exemplo 1 (cont.) 55

56 Exemplo 1 (cont.) a) Cruzamento com o eixo imaginário Tabela de Routh: s 2 s 1 (K + 1) (20K + 8) (6 4K) 0 Essa linha pode ser anulada com K = 3/2 s 0 56

57 Exemplo 1 (cont.) a) Cruzamento com o eixo imaginário Considerando a linha anterior de equação par para o ganho definido, temos: Assim, o cruzamento com o eixo imaginário se dá em ±j3,9 com ganho K = 3/2 57

58 Exemplo 1 (cont.) b) Pontos de entrada e saída Polos: -2 e -4 Zeros: 2 ± j4 σ 1 = 5,28 σ 2 = -2,88 Pelo esboço do lugar das raízes, só pode ser esse valor 58

59 Exemplo 1 (cont.) c) A faixa de K na qual o sistema é estável Pela letra (b) e considerando K > 0, a faixa é 0 < K < 1,5 59

60 Lugar das Raízes para Sistema de Re- Alimentação Positiva Considere o sistema abaixo: 60

61 Regras: Lugar das Raízes para Sistema de Re- Alimentação Positiva 1. Número de ramos: Mesmo que antes 2. Simetria: Mesmo que antes 3. Segmentos no Eixo Real: O lugar das raízes para sistemas de re-alimentação positiva existem à esquerda de um número par de polos e/ou zeros finitos de malha aberta 4. Pontos de Início e Término: Mesmo que antes 5. Comportamento no Infinito: Assíntotas: 61

62 Exercícios Sugeridos (Nise) Cap. 8, Problemas: 1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 19, 21 (menos a letra d) Ferramenta gratuita para desenhar Lugar das Raízes: s.html 62

63 A Seguir... Projeto Através do Lugar das Raízes 63