MECÂNICA - MAC Prof a Michèle Farage. 14 de março de Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional

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1 Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional MECÂNICA - MAC Prof a Michèle Farage 14 de março de 2011

2 Problemas espaciais Vários problemas reais envolvem representações no espaço tridimensional.

3 Vetores unitários Seja o vetor A, representado na figura abaixo. O vetor unitário relativo a A é definido como U A = A A e apresenta as seguintes características: 1. tem magnitude 1; 2. é adimensional e 3. aponta na mesma direção que o vetor A

4 Vetores unitários Os vetores unitários do sistema de eixos cartesianos são i, j e k, e apontam nas direções x, y e z.

5 Vetores cartesianos As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas na solução de problemas tridimensionais, são simplificadas se os vetores são representados primeiro na forma vetorial cartesiana. Sistema de coordenadas da mão direita: Um sistema coordenado é da mão direita se o polegar dessa mão apontar na direção positiva do eixo z quando os dedos são dobrados em torno desse eixo, orientados a partir do eixo x positivo para o eixo y positivo.

6 Componentes retangulares de um vetor Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo dos eixos de coordenadas x, y e z, dependendo de como se orienta em relação aos eixos.

7 Componentes retangulares de um vetor O vetor A pode ser definido como: A = A x + A y + A z A = A x i + A y j + A z k

8 Componentes retangulares de um vetor O vetor A pode ser definido como: A = A x + A y + A z A = A x i + A y j + A z k A projeção de A no plano xy é A : A = A x + A y

9 Componentes retangulares de um vetor e a intensidade de A é: A = (A x ) 2 + (A y ) 2

10 Componentes retangulares de um vetor e a intensidade de A é: A = (A x ) 2 + (A y ) 2 e a intensidade de A é: A = (A ) 2 + (A z ) 2 = (A x ) 2 + (A y ) 2 + (A z ) 2

11 Componentes retangulares de um vetor e a intensidade de A é: A = (A x ) 2 + (A y ) 2 e a intensidade de A é: A = (A ) 2 + (A z ) 2 = (A x ) 2 + (A y ) 2 + (A z ) 2 Portanto, a intensidade de A é a raiz quadrada da soma dos quadrados de todas as componentes.

12 Orientação de um vetor cartesiano A direção ou orientação de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos diretores coordenados α, β e γ, medidos entre o vetor e as direções positivas x, y e z respectivamente, que variam de 0 o a 180 o.

13 Orientação de um vetor cartesiano Os cossenos diretores são dados por: cos α = A x cos β = A y A A que devem obedecer à seguinte relação: cos γ = A z A cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 o que pode ser derivado da definição de vetor unitário: ou: u A = A A = A x A i + A y A j + A z A k u A = cos αi + cos βj + cos γk

14 Soma e subtração de vetores A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k A + B = (A x + B x )i + (A y + B y )j + (A z + B z )k A B = (A x B x )i + (A y B y )j + (A z B z )k Generalizando para o caso de sistemas de forças concorrentes: F R = F = F x i + F y j + F z k

15 Exercícios 1. As forças F e G estão aplicadas em um gancho. F tem intensidade de 100kN, forma 60 o com o plano xy, e sua projeção em xy forma 45 o com o eixo x. G tem intensidade de 80kN, α = 111 o e β = 69, 3 o. a. Encontrar a resultante e representá-la como um vetor cartesiano; b. Calcular a intensidade da resultante e os ângulos diretores.

16 Exercício 1 Etapas da resolução: 1. Empregando geometria e trigonometria, escrever as 2 forças na forma de vetor cartesiano;

17 Exercício 1 Etapas da resolução: 1. Empregando geometria e trigonometria, escrever as 2 forças na forma de vetor cartesiano; 2. Somar as duas forças.