Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 2 Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.
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- Luiz Henrique Mendes Barreto
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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. 4º Teste de avaliação versão Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Num referencial o.n. xoy, a interseção da reta r paralela a Oy e passando no ponto de coordenadas 1,3, com a reta s que é a bissetriz dos quadrantes pares é o ponto P de coordenadas (A) 1,1 (B) 1, 1 (C) 3,3 (D) 3,3 z. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais. H I L J As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados G N ou lhes são paralelas. O ponto M tem coordenadas 4,4,4. A reta JE interseta o plano xoy no ponto de coordenadas F B C x E A O M P Q y (A) 4,0,4 (B) 4,8,0 (C) 8, 4,0 (D) 4,8,0 3. Considere, num referencial o.n. xoy, as retas r definida por x y 6, s definida por y x 4, t definida por x y 8 e z definida por y x 3. Quais das seguintes retas são paralelas? (A) t e z (B) r e s (C) r e t (D) s e t Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 01/013
2 x 1 y 1 y 0 4. Considere a condição Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xoy, o conjunto de pontos definidos por esta condição? 5. Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio ], [. Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função f? (A) Tem exatamente dois zeros (C) É par Não tem máximos nem mínimos Tem exatamente dois zeros É crescente no seu domínio O contradomínio é ] 1,1[ (B) Tem 3 zeros (D) Tem máximo e tem mínimo Não tem máximos nem mínimos É crescente no seu domínio Não é par O contradomínio é ] 1,1[ Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 01/013
3 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exato. 1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR]. O ponto Q tem coordenadas 4,4,0. O volume do sólido é igual a Determine a cota do ponto E. 1.. Determine uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto V e que contém o ponto B O plano PRV interseta o sólido. Determine a área da secção produzida pelo plano PRV no sólido dado. Nota: se não resolveu 1.1. pode considerar que a cota de E é 9. Na figura está representado, em referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio 5,4.1. Indique o contradomínio de f... Indique o conjunto solução da condição união de intervalos de números reais..3. Determine valores exatos dos zeros de f. f x 3. Apresente a sua resposta na forma de Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 01/013
4 3. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas caminha a uma velocidade constante. Seja f a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, t minutos depois de ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina quando ela chega à escola). Seja g a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, t minutos depois de ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e termina quando ela chega a casa). Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e g. Numa pequena composição, apresente, para cada uma das outras duas opções, uma razão pela qual a rejeita. Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 01/013
5 4. Na figura está representado um retângulo [ABCD]. Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 0 cm de comprimento por 16 cm de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a branco). A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais. Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo [ABCD] Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm x 0, Mostre que a área, em x, por A x 6x 36x 160 cm, da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de 4.. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa área Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira. Nota: Sempre que recorra à calculadora gráfica deve indicar todos os passos que efetuar, utilizando linguagem matemática, desenhar o(s) gráfico(s) que obteve e reproduzir a(s) tabela(s) que tenha necessidade de consultar, assinalando os valores que encontrou e que servem de resposta às perguntas colocadas. FIM Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 01/013
6 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 01/013
7 Cotações Grupo I. ( 5 x 10 pontos ) pontos Grupo II. 150 pontos pontos pontos pontos pontos.. 40 pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos TOTAL.. 00 pontos Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 01/013
8 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. 4º Teste de avaliação versão Grupo I 4 y 1. B) Num referencial o.n. xoy, a interseção da reta r paralela a Oy e passando no ponto de coordenadas 1,3, com a reta s que é a bissetriz dos quadrantes pares é o ponto P de coordenadas 1, 1. P: (1, -1) 5 x. (C) Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e - um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais. As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos z coordenados ou lhes são paralelas. O ponto M tem coordenadas 4,4,4. H I L J A reta JE interseta o plano xoy no ponto de coordenadas 8, 4,0, é suficiente imaginar um cubo simétrico do que tem F G E M N aresta [FB] relativamente ao plano BEF. 3. (A) Consideremos, num referencial o.n. xoy, as retas r definida por x y 6, s definida por y x 4, t definida por B C x A O P Q y x y 8 e z definida por y x 3. Para vermos quais são paralelas vamos começar por as colocar na forma reduzida: r definida por 1 y x 3, s definida por y x 4, t definida por y x 4e z definida por y x 3. As retas que são paralelas são t e z x 1 y 1 y 0 4. (D) Consideremos a condição Na figura, das opções dadas está representado, em referencial o.n. xoy, o conjunto de pontos definidos por esta condição. Porque o círculo tem centro no ponto (1,-1) e por isso excluímos (A) e porque tem raio a circunferência que o limita passa na origem pelo excluímos (C). E (B) fica excluído porque não verifica y (B) Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio ], [. Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 01/013
9 Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função f? Tem 3 zeros Não tem máximos nem mínimos Não é par Grupo II 1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR]. O ponto Q tem coordenadas 4,4,0. O volume do sólido é igual a Determinemos a cota do ponto E. Comecemos por reconhecer que a base da pirâmide tem área igual a metade da área da face do cubo. Então, sabendo que o volume total é 80 calculemos a altura da pirâmide que nos dá a cota de E: 3 8h 8h h A cota de E é Determinemos uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto V 0,4, 4 e que contém o ponto B4,,0. Calculemos o raio: r E Uma equação da superfície esférica x y 4 z O plano PRV interseta o sólido. Determinemos a área da secção produzida pelo plano PRV no sólido dado. P 4 6 R F 4 V 6 A 4 4. Na figura está representado, em referencial o.n. xoy, o gráfico de uma função f, de domínio 5,4.1. O contradomínio de f é [-1,4]. Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 01/013
10 .. Indiquemos o conjunto solução da condição f x 3. Apresentando a resposta na forma de união de intervalos de números reais. f x 3 x,3 3, 4.3. Determinemos os valores exatos dos zeros de f. f tem 3 zeros, dois de fácil leitura, 1 e 4, e um terceiro que é o zero da função afim cujo gráfico é uma reta que podemos considerar definida pelos pontos de coordenadas (,-1) e (3,3). A reta terá então declive 4, calculemos a ordenada na origem 3 43 b b 9. A função seria então definida pela condição y 4x 9 que tem como zero Os zeros de f são então 9 1, e x 9 4x 9 x 4 3. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas caminha a uma velocidade constante. Seja f a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, t minutos depois de ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina quando ela chega à escola). Seja g a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, t minutos depois de ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e termina quando ela chega a casa). Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e g. O gráfico correto é o (A) pois elas iniciam ambas a viagem com uma distância zero, razão que nos leva a rejeitar o gráfico (C). Além disso percorrem ambas a mesma distância o que nos leva a rejeitar o gráfico (B). 4. Na figura está representado um retângulo [ABCD]. Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 01/013
11 Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 0 cm de comprimento por 16 cm de largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a branco). A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais. Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo [ABCD] Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm x 0, Mostremos que a área, em cm, da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de x, por A x 6x 36x 160 A parte em metal constituída por 4 quadrados com lado x e dois triângulos iguais com base 0 - x e altura igual a 8 x ou seja metade de 16 x. Então a área pedida é: 0 x8 x A x 4x 4x 160 0x 16x x 6x 36x Determinemos o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calculemos essa área. A área da parte em metal é mínima quando x é 3 e essa área é 106 cm Determinemos o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em madeira. A área em madeira será dada por B x x 36x x 36x As áreas são iguais quando as curvas se intersetarem ou seja quando x = 6 cm. Professora: Rosa Canelas 11 Ano Letivo 01/013
12 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. 4º Teste de avaliação versão - Critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos B C A D B Grupo II (150 pontos) pontos pontos Reconhecer que área base da pirâmide é metade da área da face do cubo 5 Calcular a cota de E pontos Identificar as coordenadas de V e de B.. 4 Calcular o raio 5 Equação da superfície esférica pontos Identificar a secção. 5 Identificar as medidas do retângulo.. 5 Identificar as medidas do triângulo... 5 Calcular a área pontos pontos.. 15 pontos pontos Identificar os zeros inteiros. 5 Escrever a equação da reta. 6 Calcular o zero pontos Identificar o gráfico correto. 5 Apresentar uma razão para rejeitar (B). 5 Apresentar uma razão para rejeitar (C). 5 Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 01/013
13 Composição organizada e sem erros pontos pontos Identificar as medidas. 5 Fazer os cálculos pontos Apresentar o gráfico com tudo.. 10 Dar a resposta pontos Encontrar a função que dá a área em madeira 5 Encontrar a interseção das duas curvas 5 Apresentar o gráfico 5 TOTAL 00 pontos Professora: Rosa Canelas 13 Ano Letivo 01/013
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