XII Encontro Gaúcho de Educação Matemática Inovar a prática valorizando o Professor Porto Alegre, RS 10 a 12 de setembro de 2015

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1 Inovar a prática valorizando o Professor REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS E O CONCEITO DE NÚMEROS REAIS Janice Rachelli Universidade Federal de Santa Maria - UFSM Centro Universitário Franciscano - UNIFRA janicerachelli@gmail.com Eleni Bisognin Centro Universitário Franciscano - UNIFRA eleni@unifra.br Resumo: Este trabalho é resultado de um estudo realizado na disciplina de Análise Real: ensino e aprendizagem tendo como propósito a construção do conjunto dos números reais e analisar as diferentes representações semióticas utilizadas. Trata-se de uma pesquisa bibliográfica, de cunho teórico, em que foram analisados os aspectos históricos com vistas a enfatizar a necessidade de extensão dos números racionais e construído o conceito de número real por meio de intervalos aninhados, cortes de Dedekind, classes de equivalência de sequências de Cauchy e a noção de supremo e ínfimo de um conjunto. Foi utilizada a teoria dos registros de representação semiótica, de Duval, para fundamentar a análise das representações. Palavras-chave: Números reais; representações semióticas; ensino superior. 1. Introdução O conceito de número está associado à capacidade de contar e medir. Os homens primitivos utilizavam os números apenas para a contagem, porém, com a vida em sociedade e o estabelecimento do regime de propriedades e das relações comerciais, tornou-se necessário criar formas práticas de registrar medidas de grandezas. Para medir, estabelece-se uma unidade fixa de uma grandeza e encontra-se quantas dessa unidade são necessárias para obter a quantidade da grandeza que tem-se. Nem sempre se possui quantidades inteiras da unidade e precisa-se usar frações ou parte da unidade para representar a quantidade total. Os matemáticos gregos tratavam a questão da medida usando o conceito de grandezas comensuráveis. Dois segmentos e são ditos comensuráveis se existem números inteiros e tais que, ou seja, a razão entre a medida dos segmentos e é um número racional. Porém, os pitagóricos descobriram que há grandezas que não são comensuráveis, chamadas de grandezas incomensuráveis, como por exemplo, o número que exprime o comprimento da diagonal de um quadrado de

2 lado 1 tomando o comprimento do lado como unidade de medida. Isso não significa que o tamanho da diagonal seja impreciso ou inexato, mas que essa medida não pode ser expresso por meio de uma fração. Esse fato impulsionou a criação de um sistema numérico, o conjunto dos números irracionais, capaz de medir o contínuo e que completou uma lacuna dos racionais. O problema que envolve a relação entre o descontínuo aritmético e contínuo geométrico, ou seja, a passagem dos números naturais aos pontos que na reta se sucedem, sem buracos, esteve sempre presente ao longo da história da matemática até a criação dos números reais. O propósito desse trabalho é analisar os diferentes tipos de representação utilizados na construção do conceito de número real. Será utilizada a noção de intervalos aninhados, cortes de Dedekind, sequências de Cauchy e a noção de supremo e ínfimo de um conjunto para construção do conceito de número real e para fundamentar essa análise será utilizada a teoria dos registros de representação semiótica, de Duval. 2. Representação Semiótica A teoria dos Registros de Representação Semiótica desenvolvida pelo psicólogo e filósofo francês Raymond Duval tem servido de base para várias pesquisas que se referem à aquisição do conhecimento matemático e à organização de situações de aprendizagem desses conhecimentos. A matemática trabalha constantemente com objetos abstratos e, segundo Duval (2003) ao olhar para a história do desenvolvimento da matemática, observa-se que o desenvolvimento das representações semióticas, foi uma condição essencial para a evolução do pensamento matemático. Assim, para apropriar-se de um determinado objeto matemático, o sujeito deve recorrer a sua representação. Para Duval (2012), uma figura geométrica, um enunciado em linguagem natural, uma fórmula algébrica, um gráfico são representações semióticas que são essenciais à atividade cognitiva do pensamento, pelo fato de desempenharem um papel primordial no desenvolvimento das representações mentais, na realização de diferentes funções cognitivas e na produção de conhecimentos. Para o autor, a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação (DUVAL, 2003, p. 14). As representações semióticas são definidas como as produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e funcionamento (DUVAL, 2012, p. 269).

3 O termo registro de representação semiótica é usado para indicar diferentes tipos de representação como, por exemplo, escrita em linguagem natural, sistemas de escrita (numérica, algébrica ou simbólica), figuras geométricas (planas e em perspectiva) e gráficos cartesianos. A articulação entre esses diferentes registros de representação é condição necessária para a compreensão em matemática. Conforme afirma Duval, (...) é essencial, na atividade matemática, poder mobilizar muitos registros de representação semiótica (figuras, gráficos, escrituras simbólicas, língua natural, etc...) no decorrer de um mesmo passo, poder escolher um registro no lugar de outro. E, independente de toda comodidade de tratamento, o recurso a muitos registros parece mesmo uma condição necessária para que os objetos matemáticos não sejam confundidos com suas representações e que possam também ser reconhecidos em cada uma de suas representações (DUVAL, 2012, p. 270). Nesse sentido, é que apresentamos, neste trabalho, diferentes registros de representação utilizados na construção do conceito de número real. 3. Conceituando número real Conceituando número real por meio de Intervalos Aninhados Para obter uma definição mais geral do contínuo numérico, será utilizada a definição de números irracionais por intervalos aninhados. De acordo com Courant e Robbins (2000), uma sequência,,,,, de intervalos sobre a reta numérica com pontos extremos racionais, e com cada um, contido no anterior, ou seja,, e de tal forma que o comprimento do n-ésimo intervalo tenda a zero na medida em que aumenta, é chamada de sequência de intervalos aninhados. Os números reais são definidos, via intervalos aninhados, com base no Postulado Fundamental da Geometria, como segue. Correspondendo a cada uma destas sequências de intervalos aninhados existe precisamente um ponto sobre a reta numérica que está contida em todos eles. Este ponto é chamado, por definição, de número real; se não for um número racional, é chamado de número irracional (COURANT; ROBBINS, 2000, p. 79). Por exemplo, ao considerar a sequência de intervalos aninhados 1,1+,! 1,2,3,., tem-se que e que 1 ". Ou seja, existe um número racional que pertence a todos os intervalos aninhados. Além disso, o comprimento do intervalo é igual a suficientemente grande. que pode tornar-se suficientemente pequeno quando for Neste exemplo, o número 1, pode ser representado no registro de representação algébrica e no registro de representação geométrica via intervalos aninhados, conforme mostra o Quadro1, a seguir.

4 Quadro 1 - Representação de um número real por meio de intervalos aninhados. Representação algébrica! 1 ", onde 1,1+, 1,2,3,., com Representação geométrica A definição de um número irracional por uma sequência de intervalos aninhados corresponde à determinação do valor de alguma quantidade observável por uma sequência de medidas de exatidão cada vez maior. Quanto menor for o comprimento do intervalo, mais próximo estaremos do número racional ou irracional que pertence a todos os intervalos aninhados. Conceituando número real por meio de Cortes de Dedekind O matemático Richard Dedekind ( ) publicou em 1872 uma obra intitulada Continuidade e números irracionais, onde estabeleceu uma maneira diferente de definir números irracionais. Dedekind usou ideias abstratas ao invés de utilizar sequências específicas de intervalos aninhados. Seu procedimento tem por base a ideia de um corte onde todo ponto da reta determina uma decomposição da mesma em duas partes de tal forma que todo ponto de uma delas está à esquerda de todo o ponto da outra. A construção envolve a correspondência entre pontos da reta e números e, a partir dessa correspondência, Dedekind observa a incompletude do conjunto dos números racionais. Para definir um corte considera-se P um ponto sobre a reta. Todos os pontos da reta se repartem em duas classes: a classe A, dos pontos que estão à esquerda de P, e a classe B, dos pontos que estão à direita de P, de tal modo que cada elemento b da classe B seja maior do que cada elemento a da classe A. O ponto P, que produz a repartição, pode pertencer à classe A ou à classe B. Sempre que numa reta se tem uma repartição dos seus pontos em duas classes A e B, diz-se que se tem um corte, do qual A e B são as classes constitutivas (CARAÇA, 1951, p. 58).

5 Como exemplo seja P, tal que P 2 =2. Considere o conjunto como sendo o conjunto de todos os números racionais com quadrado menor que 2 e o conjunto de todos os números racionais com quadrado maior que 2, ou seja, {$ %;$ <2} e {$ %;$ >2}. Os conjuntos e juntos incluem todos os racionais, pois não existe número racional cujo quadrado é 2. Neste caso, não existe um maior elemento em e nem um menor elemento em, pois o número que satisfaz a condição $ 2, com $>0 é 2, que não é racional. Tem-se que num corte existem três possibilidades, sendo que uma e somente uma deve ser válida: a) existe um maior elemento, em ; b) existe um menor elemento. em ou c) não existe nem um maior elemento em e nem um menor elemento em. O caso em que possui um maior elemento, e um menor elemento. é impossível, pois nesse caso o número racional / 01 seria maior que, e menor que. e, portanto, não poderia pertencer a nenhum dos dois. Quando não há nem um maior número racional em, nem um menor número racional em, o corte, segundo Dedekind, define um número irracional. É o que ocorre com 2. por Dedekind: Assim, os números reais são definidos através da seguinte definição, estabelecida Chamo número real ao elemento de separação das duas classes dum corte qualquer no conjunto dos números racionais; se existe um número racional a separar as duas classes, o número real coincidirá com esse número racional; se não existe tal número, o número real dir-se-á irracional (CARAÇA, 1951, p. 62). Esta definição constitui um registro de representação expresso por meio da linguagem natural. No Quadro 2, a seguir, o número real 2 é representado por meio de uma representação algébrica e uma representação geométrica. Representação geométrica Quadro 2 - Representações do número real 2 por meio de corte de Dedekind. Representação algébrica O número 2 é o elemento de separação das duas classes {$ %;$ <2} e {$ %;$ >2} do corte de Dedekind no conjunto dos números racionais.

6 Conceituando número real por meio de sequências de Cauchy Georg Cantor ( ) abordou o problema da criação dos números reais de um ponto de vista diferente do adotado por Dedekind. Começando, como Dedekind, com o conjunto dos números racionais, Cantor utilizou a noção de sequência de Cauchy para definir número real. De acordo com Lima (1976), uma sequência 2, 3 é dita uma sequência de Cauchy, se dado arbitrariamente um número real 4>0, é possível obter 5 6, tal que se, > 5 e > 0 implicam,, <4. Cantor associou a toda sequência de Cauchy de números racionais, um número real. O número racional r era ele próprio, associado a uma sequência constituída pelo próprio elemento. Mas existem sequências, como, por exemplo, a sequência 1, 1,4, 1,41, 1,414,..., gerada por um algoritmo clássico para o cálculo de 2, que não está associada a nenhum número racional. Além disso, duas sequências podem convergir para o mesmo número real. Cantor definiu então uma relação de equivalência no conjunto de todas essas sequências. O conjunto dos números reais corresponde então ao conjunto das classes de equivalência de sequências de Cauchy. Segundo Lima (1976), uma sequência de números reais é convergente, se e só se, ela for de Cauchy. Este é o critério de convergência de Cauchy que estabelece uma maneira de saber se uma dada sequência é convergente, sem se ter o conhecimento de seu limite, o qual pode não ter uma representação fracionária ou decimal simples. Porém, considerando apenas racionais, existem sequências de Cauchy, de números racionais, que não convergem para um número racional. O Quadro 3, a seguir, mostra um exemplo de sequência de Cauchy, representada por meio de uma representação numérica, geométrica e na linguagem natural, que não converge para um número racional. Quadro 3 - Representações de uma sequência de Cauchy que converge para 2. Representação numérica, 1,, 1,4,, 1,41,, 9 1,414,, : 1,4142,, ; 1, Representação geométrica Representação por meio da linguagem natural e numérica. A sequência, 1,, 1,4,, 1,41,, 9 1,414,, : 1,4142,, ; 1,41421,... é uma sequência de Cauchy que converge para 2, que não é um racional.

7 Pelo fato de haver sequências de Cauchy de racionais, que não convergem para um número racional, diz-se, que o conjunto dos racionais não é completo. De acordo com o processo de Cantor o conjunto dos números reais pode ser construído a partir dos números racionais. Para isso, considera-se o conjunto de todas as sequências de Cauchy de números racionais. Seja < o conjunto cujos elementos são subconjuntos de. O conjunto dos números reais é então formado pelas classes de equivalência de sequências de Cauchy. A definição de números reais através de classes de equivalência de sequências de Cauchy é equivalente à definição dada por Dedekind via cortes, visto que para cada número real, racional ou irracional, que representa um corte, pode-se construir sequências de Cauchy que convergem para este número. Sobre a diversificação de registros de representação semiótica, Duval considera que na medida em que a matemática tende a diversificar os registros de representação, sua aprendizagem específica pode contribuir fortemente para o desenvolvimento das capacidades cognitivas globais do indivíduo (DUVAL, 2003, p ). Conceituando número real por meio de supremo e ínfimo de um conjunto O conjunto dos números reais também pode ser definido por meio da definição de supremo ou ínfimo de um conjunto. Lima (1976), Figueiredo (2013) e Rudin (1971) apresentam os números reais usando esta definição. Inicialmente consideram-se as definições de cota superior e cota inferior que são utilizadas para definir o supremo e o ínfimo de um conjunto. Seja um subconjunto de um corpo ordenado =. Um elemento, = é uma cota superior de, se, $, para todo $, nesse caso é um conjunto limitado superiormente. Um elemento. = é uma cota inferior de, se. $, para todo $. Se chama-se possuir uma cota inferior ele é limitado inferiormente (FIGUEIREDO, 2013, p. 7). Se é um conjunto limitado superiormente o supremo do conjunto, denotado é definido como sendo a menor das cotas superiores de e se é limitado inferiormente o ínfimo do conjunto, denotado por CD, é definido como sendo a maior das cotas inferiores de. Lima (1976) mostra que o conjunto {$ %;$ <2, $>0} não tem supremo e {$ %;$ >2,$>0} não tem ínfimo no conjunto dos números racionais, isto é, não existe um número racional tal que $ 2.

8 Desta forma, pode-se concluir que existem subconjuntos de números racionais tais que o supremo ou o ínfimo não pertencem aos subconjuntos dados. Daí, a necessidade de construir um conjunto mais amplo que satisfaça a condição de possuir ínfimo ou supremo. Figueiredo (2013) define o conjunto dos números reais como sendo um corpo ordenado onde todo subconjunto, não vazio, constituído de elementos positivos, tem um ínfimo (FIGUEIREDO, 2013, p. 9). Se existe um número racional, que é ínfimo do subconjunto o número real coincidirá com esse número racional; se não existe tal número que seja ínfimo deste subconjunto, o número real será chamado de irracional. O Quadro 4, a seguir, mostra as representações dos conjuntos {$ %;$ 0} e {$ %;$ >2,$>0} sendo que ínfimo de pertence a e é um número racional, enquanto que o ínfimo de é um número irracional que não pertence ao conjunto. Representação algébrica Representação geométrica Quadro 4 - Representações dos conjuntos e {$ %;$ 0}; {$ %;$ >2,$>0} Cada um dos processos de construção do conjunto dos números reais e seus diferentes modos de representação proporcionam distintas caracterizações do conceito de número real e cada uma delas destaca propriedades importantes do conceito. 4. Considerações finais Acredita-se que a utilização de várias representações de um objeto matemático, em particular dos números reais, como apresentado neste trabalho, deve fazer parte dos recursos didáticos utilizados pelos professores para o desenvolvimento de atividades em sala de aula e podem auxiliar os alunos a compreenderem o conceito de número real. Estudar os diferentes processos de construção do conjunto dos números reais e utilizar as diferentes representações propiciam, que as características que não são claramente explicitadas por meio de um registro, podem ser identificadas em outro. Acredita-se que mostrar a equivalência entre os diferentes modos de construção do conjunto dos números reais e suas representações pode desempenhar um papel importante na compreensão do

9 conceito de número real e cada um dos registros propicia a exploração de propriedades e características do conceito complementando-se entre si. Referências CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Tipografia Matemática, COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática?. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. (org.) Aprendizagem em Matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, p , DUVAL, R. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo do pensamento. Trad. MORETTI, M. T. Revemat, Florianópolis, v. 7, n. 2, p , FIGUEIREDO, D. G. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: Projeto Euclides, 1976, v.1. RUDIN, W. Princípios de Análise Matemática. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1971.