Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT.

Transcrição

1 1/12 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 4 - Seções 4.1 e 4.2 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT.

2 Números e Funções Reais Números reais: segmentos comensuráveis e incomensuráveis e a reta real Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 3/12 Segmentos comensuráveis e incomensuráveis Para medir um segmento AB fixamos um segmento-padrão u o qual chamamos de segmento unitário. Definimos a medida de u como sendo 1. Se n 1 pontos decompuserem o segmento AB em n segmentos justapostos de medidas iguais à medida de u diremos que u cabe n vezes em AB e que a medida de AB é igual a n.

4 4/12 Segmentos comensuráveis e incomensuráveis Se ocorrer do segmento u não caber um número exato de vezes em AB, então a medida do segmento AB não será um número natural. Neste caso, procuramos um outro segmento w que caiba n vezes no segmento unitário u e m vezes em AB. Se encontrarmos este segmento w diremos que AB e u são comensuráveis. A medida de w será a fração 1 n e a medida de AB será m vezes a medida de w, portanto m n.

5 5/12 Segmentos comensuráveis e incomensuráveis Por muito tempo se pensou que dois segmentos fossem sempre comensuráveis, até que no século quatro antes de Cristo um discípulo dos pitagóricos observou que o lado e a diagonal de um quadrado são segmentos incomensuráveis.

6 6/12 Segmentos comensuráveis e incomensuráveis Vejamos o argumento: Supondo que existisse um segmento w o qual cabe n vezes no lado AB e m vezes na diagonal AC do quadrado ABCD, então tomando u = AB como sendo a unidade de comprimento, a medida de AC seria igual a m n e a de AB seria igual a 1. Portanto, pelo teorema de Pitágoras, teríamos que ( ) m 2 n = donde teríamos m 2 = 2n 2. Entretanto esta última igualdade é um absurdo pois na decomposição de m 2 em fatores primos o primo 2 aparece um número par de vezes enquanto na decomposição de 2n 2 essa quantidade é ímpar.

7 7/12 A reta real Com a existência de segmentos incomensuráveis, ficou claro que os números naturais juntamente com as frações são insuficientes para medir todos os segmentos. Foi ampliado então o conceito de número e introduzido os números irracionais.

8 8/12 A reta real Para termos uma idéia mais viável do que são esses novos números, imaginemos uma reta na qual foram fixados dois pontos: A origem O e um ponto distinto A. Tomemos o segmento OA como unidade de comprimento. A reta OA é chamada de a reta real. A origem divide a reta em duas semirretas. Aquela que contém A chama-se semirreta positiva e a outra chama-se semirreta negativa. Diremos que pontos sobre a semirreta positivo estão à direita de O e pontos sobre a outra semirreta estão à esquerda de O.

9 9/12 A reta real Dado um ponto X sobre a reta real OA, se o segmento OA couber um número exato n de vezes em OX diremos que a abcissa de X é o número natural n ou o número negativo n conforme X esteja à direita ou à esquerda da origem O. Caso X coincida com a origem sua abcissa será 0 (zero). O conjunto Z formado pelo zero e pelas abcissas dos pontos X tais que o segmento unitário cabe um número exato de vezes em X, chama-se o conjunto dos números inteiros. Observe que Z = N {0} N, em que N é o conjunto dos números negativos.

10 10/12 A reta real Mais geralmente, se o ponto X é tal que o segmento OX comensurável com o segmento OA, isto é, existe um segmento w que cabe um número n de vezes em OA e um número m de vezes em OX, diremos que a abcissa de X é m n ou m n, conforme X esteja à direita ou à esquerda de O. O conjunto Q formado pelas abcissas dos pontos X tais que o segmento OX é comensurável com o segmento OA, chama-se o conjunto dos números racionais.

11 11/12 A reta real Finalmente, se tomarmos um ponto X de modo que os segmentos OX e OA sejam incomensuráveis, inventamos um número x chamado de número irracional o qual será a abcissa do ponto X. Esse número é, por definição, a medida do segmento OX se X estiver à direita de O ou denotado por x onde x é a medida do segmento OX se X estiver à esquerda de O. O conjunto R formado pelos números racionais e irracionais é chamado de conjunto dos números reais.

12 . 12/12 Obrigado!