Sistemas de Bose ideais MEFT, IST

Transcrição

1 Física estatística Sistemas de Bose ideais MEFT, IST It is a miracle that curiosity survives formal education. Albert Einstein ( )

2 Gás de Bose ideal Já sabemos que PV kt = log (z, V, T )= X p log [1 z exp ( E p )] N log (z, V, T )=X p hn p i = X p 1 z 1 exp( E p ) 1 Como vimos anteriormente (aula 17) z exp ( E p ) < 1 para todos os valores de E p do sistema. Temos uma complicação adicional: as séries divergem quando z! 1... por causa do termo correspondente a ~p = 0!

3 Gás de Bose ideal O termo corespondente a ~p =0(eE p = 0) pode ter uma contribuição tão importante como a série toda... Separamos das séries esse termo. No limite V!1, aproximamos os restantes termos da forma usual: P p! (V /h3 ) R d 3 p =(V /h 3 ) R 4 p 2 dp P kt = 4 h 3 Z 1 0 apple dp p 2 log 1 z exp p 2 2m 1 V log(1 z) N V = 4 h 3 Z 1 0 dp p 2 1 z 1 exp p 2 2m V z 1 z

4 Funções de Bose-Einstein No tratamento dos sistemas de Bose aparecem frequentemente integrais do tipo G v (z) = Z 1 0 x v 1 z 1 e x 1 dx com (0 apple z < 1 ^ v > 0) _ (z =1^ v > 1), que são conhecidas como funções de Bose-Einstein. Algumas notas sobre as funções de Bose-Einstein: Quando z! 0, G v (z) ' z (v) Definimos g v (z) = 1 (v) G v (z) = 1 (v) Z 1 0 x v 1 z 1 e x 1 dx

5 Relação de recorrência e expansão em série Temos a relação de g v (z) =g v 1 (z) Para z < 1 podemos expandir a integranda em série de Taylor: g v (z) = 1 (v) Z 1 x v X l=1 ze x l dx = 1X l=1 Para z 1, g v (z) ' z z l l v = z + z2 2 v + z3 3 v +

6 Funções de Bose-Einstein (cont.) As funções g v (z) sãocrescentes. Ovalormaiordez com significado físico é z! 1 Para z! 1(ev > 1), g v tende para a função zeta de Riemann, 1X 1 g v (1) = l v = (v) l=1 Alguns valores da função zeta: (2) = ' ; (4) = ' ; (6) = ' ' ; ' ; '

7 Afunçãog 3/ g 3/ z A função de Bose-Einstein g 3/2

8 De volta ao gás de Bose ideal Regressando ao gás ideal de Bose, N V = 1 3 g 3/2(z)+ 1 V z 1 z onde P kt = 1 3 g 1 5/2(z) log(1 z) V é o comprimento de onda térmico, h 2 = 2 mkt 1/2

9 Sobre os termos vindos de E p =0 Para z 1 (próximo do limite clássico) ambos os termos são da ordem de 1/N, pelo que são negligenciáveis. Éimediatoverque z 1 z = hn 0i onde hn 0 i é a o c u p a ç ã o m é d i a d o n í v e l ( d e u m a p a r t í c u l a ) com E p = 0. Quando z se aproxima de 1, o termo z (1 z)v = hn 0i V é finito e pode ser uma fracção significativa de N/V. AacumulaçãodepartículasnonívelE p = 0 leva ao fenómeno da condensação de Bose-Einstein.

10 Sobre os termos vindos de E p =0(cont.) OtermoV 1 log(1 z) é negligenciável para qualquer valor de z! [Mesmo que z se aproxime de 1] Temos, sucessivamente: i) z = hn 0 i/(hn 0 i + 1) ii) V 1 log(1 z) =V 1 log(hn 0 i + 1) iii) Otermo V 1 log(1 z) é da ordem de (log N)/N ) negligenciável! As expressões finais podem escrever-se N hn 0 i V = 1 3 g 3/2(z) P kt = 1 3 g 5/2(z)

11 Termodinâmica do gás de Bose Em geral é preciso proceder como anteriormente: eliminar a fugacidade z da equação para N/V e substituir na de P/kT. Energia interna: = Temos a relação log (z, V, T )=kt log (z, V, T V 3 5/2(z) g = 3 2 kt V 3 g 5/2(z) P = 2 3 u ; u = U V tal como nos gases ideais de Fermi e de Boltzmann!

12 Termodinâmica do gás de Bose (cont.) Capacidade calorífica: C V = Energia livre N,V A = NkT log z kt log (z, V, T ) Entropia: V U A T

13 Limite das altas temperaturas Para z pequeno (temperaturas elevadas/baixas densidades): utiliza-se a representação em série para g 3/2 e g 5/2 ; é possível inverter a série na expressão de n = N/V,para obter uma expansão de z em potências de (n ) 3 ; substitui-se z na expansão em série da equação de P/kT ; a equação de estado toma a forma de uma expansão de Virial, PV 1 NkT = X 3 a N l V l=1 l 1

14 Limite das altas temperaturas / baixas densidades (cont.) Os coeficientes de Virial são os mesmos apresentados no gás de Fermi: a 1 =1 ; a 2 = a 3 = PV NkT = 2 9 p 3 apple p 2 ' ' p 2 3 N V O segundo coeficiente de Virial é 3 /4 p 2 < 0 As correcções ao gás ideal não resultam de interacções moleculares, mas de efeitos quânticos! Efeito semelhante ao de uma força atractiva!

15 Limite das altas temperaturas / baixas densidades (cont.) Daqui podemos obter facilmente Cv Nk,usandoarelaçãoentre U e P, C v Nk = 3 apple N + 2 V que tende para o valor clássico C v = 3 2Nk quando T!1 Na região das altas temperaturas ( valor clássico e cresce com...! 0), C V é superior ao... mas se tudo correr bem, há-de tender para zero quando T! 0 C V passa por um máximo algures.

16 Gás de Bose no caso geral As expansões deixam de ser úteis se 3 N/V crescer. Nesse caso temos que usar as expressões gerais de P/kT, N/V e U. z obtém-se da expressão de N/V,quesepodeescreverem função do número de partículas em estados excitados (E p 6= 0), hn e i = N hn 0 i: 2 mkt 3/2 hn e i = V g 3/2(z) V 3 g 3/2(z) h 2 hn e i'n excepto se z ' 1.

17 Gás de Bose no caso geral (cont.) Como, para 0 apple z apple 1, 3 g 3/2 (z) apple g 3/2 (1) = 2, hn e iapple V Se N for menor que o número limite dado acima, z obtém-se usando hn e i'n na expressão do slide anterior. Se N for maior que esse número limite, os estados excitados recebem todas as partículas que podem, hn e i = V 3 3 2

18 Condensação de Bose-Einstein ) Easrestantespartículassãoempurradasemmassaparao nível zero!!! V 3 hn 0 i = N 3 2 É o fenómeno de condensação de Bose-Einstein. z é d a d o p o r que nesse caso é ' 1 z = hn 0i hn 0 i +1 Em resumo, 1, se z = 3 n (3/2) raiz de n = 1 3 g 3/2 (z), se 3 n apple (3/2)

19 Condensação de Bose-Einstein (cont.) Condensação de Bose-Einstein: acumulaçãodeumnúmero macroscópicamente grande de partículas num único estado quântico (E p = 0)! É um fenómeno de certo modo análogo à condensação de vapor no estado ĺıquido. Mas Bose-Einstein: é um fenómeno puramente quântico; ocorre mesmo na ausência de forças intermoleculares; ocorre no espaço dos momentos e não no espaço das configurações.

20 Temperatura crítica A condição para se dar a condensação de Bose-Einstein é 2 mk 3/2 3 N > VT 3/2 h 2 2 Mantendo N e V constantes, temos uma temperatura crítica T c para que ocorra a condensação, T < T c, " # 2/3 T c = h2 N 2 mk V 3 2 T c corresponde à condição N = V 3 c g 3/2 (1) que mostra que o comprimento de onda correspondente a T c é da ordem de grandeza da separação entre as partículas ) manifestam-se os efeitos quânticos.

21 As duas fases Para T < T c o sistema tem duas fases : uma fase normal, com hn e i = N (T /T c ) 3/2 partículas distribuídas nos estados excitados; uma fase condensada, com hn 0 i = N acumuladas no estado fundamental. hn e i partículas Se T > T c temos apenas a fase normal: hn 0 i/n =(1/N)z/(1 z) O(1/N) pois z < 1. Em resumo, hn 0 i N = ( 0, se 3 n apple (3/2) 3/2 1,se 3 n (3/2) T Tc

22 Novamente a termodinâmica Usando a expressão geral de z, podemos obter P/kT, U, A, S, C V,... Próximo de T = 0, C V / T 3/2

23 Notas finais No gás de fotões ou de fonões o espectro de energia é dado por E p = cp enãop 2 /2m, donde resulta C V / T 3 próximo do zero absoluto. Exemplo: He 4 ĺıquido. Apresenta uma transição que se associa à condensação de Bose-Einstein. ocorre a 2.18K; teoricamente, sem contar interacções, deveria ser 3.14K; He 3 (fermiões) não apresentam essa transição! A condensação de Bose-Einstein só pode ocorrer se o número de partículas se conservar: o tratamento dos fotões e fonões é mais simples!

24 Superfluidez do 4 He

25 Detecção experimental Distribuição de velocidades de átomos de rubídio: imediatamente antes do aparecimento da fase condensada (esquerda), imediatamente após a condensação (centro) e um condensado praticamente puro (direita). BEC produzido em 1995 por Eric Cornell e Carl Wieman (PN 2001)

26 Detecção experimental: BEC a temperaturas negativas! Distribuição de velocidades de átomos de potássio

27 Exemplos e exercícios Magnões: ver exercício 6. do teste de 11/6/2011 Bosões numa caixa com uma partição: ver exercício 2. do teste de 21/5/2012 Bosões com spin num campo magnético exterior: ver exercício 6. do teste de 11/6/2014 Superfluidez do 4 He e rotões: ver exercício 2. do teste de 27/5/2015

28 Notas finais finais É um tópico na moda: Utilização poĺıtica (!) ( Freedom, collectivism and quasi-particles, Alexei Kozhevnikov): Fermions are individualists, while bosons are collectivists (Kaganov & Lifshitz) fotões e fonões associados a ideias socialistas: propriedades colectivas, movimento colectivo, etc! condutividade em metais: os electrões emancipam-se e já não são propriedade individual dos átomos..^