PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO: Exame tipo 12. O ano de escolaridade

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1 PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO: Eame tipo. O ano de escolaridade. PAB PAPBPA B Sendo A e B dois acontecimentos independentes, tem-se PAB PA PB. Assim, tem-se: P AB P A P B P A P B,,7,,7,79 Opção correta: (B). Aplicando o teorema de Carnot, tem-se: AC AB BC ABBC cosabc ˆ AC,,,, cosº AC,,,, cosº AC 5, 6 Opção correta: (B). Consideremos os seguintes acontecimentos e as respetivas probabilidades: A - aluno da escola que se desloca de autocarro B - aluno da escola que habita a menos de dez quilómetros da escola P A B PA, PB e A probabilidade pedida é dada por PA B e tem-se: P AB P AB P AB P A P B P AB P A P B P A B P B Substituindo os valores dados, obtém-se: P AB P A P B P A B P B 8 Assim, a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso, não se deslocar de autocarro para a escola e não habitar a menos de dez quilómetros da escola é 7,5%. Página 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora

2 . A soma de todos os elementos da linha de ordem n do triângulo de Pascal é n. n Como nlog n, trata-se da linha de ordem. O quinto elemento da linha seguinte é C. Opção correta: (C) P z um ponto genérico do plano mediador do segmento de reta AG e 6 M o ponto médio de AG. As coordenadas de M são,,, ou seja,,,6. Os vetores AG e MP são perpendiculares, logo AG MP. AG G A tem coordenadas 6, 6,. MP P M tem coordenadas,, z 6. AG MP 6, 6,,, z z 7. Sejam,, z5. As coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano FBC ficam determinadas pela conjunção das condições que definem estes conjuntos de pontos. O plano FBC define-se por 6. z,,,,k,,6,6, z,,k,,6 6 6 k k 5 6 k k k z 6k z 6k z O centro da superfície esférica é P 5,6,8. O raio da superfície esférica é igual a PB. PB O volume da esfera com centro no ponto P e cuja superfície contém o ponto B é igual a 68, cujo valor arredondado às décimas é 8,8. Página 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora

3 . O número de casos possíveis para a escolha de dois vértices do prisma é dado por 8 C. Os casos favoráveis a esses vértices serem etremos de uma diagonal de uma face do prisma é igual ao número total de diagonais das faces do prisma, ou seja, 6. 6 A probabilidade pedida é dada por 8, cujo valor arredondado às milésimas é C,9. i 7 5. z cos isin e 7 7 z z i 7 e i 7 e Im z sin,8 7 Opção correta: (A) a a lna 6. h ln a e e ae a 8a Opção correta: (D) ln ln 6. he e e e h e e e e e e e ln ln ln ln h h Má. Rel. Página 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora

4 h é crescente em h é decrescente em,ln. ln,. ln ln ln h ln e e e é o máimo relativo de h (também absoluto). 6. Os comprimentos das bases do trapézio ABCD são dados por t t ht e e t t t t t h e e e e A altura do trapézio ABCD é dado por t t t t t t A área de ABCD é dada, em função de t, por t t t t t e e e e t t t e e. O problema pode ser resolvido através da determinação da solução da equação t t t e e,, no intervalo,. Página 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora

5 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, obtém-se: O valor de t para o qual a área do trapézio ABCD é igual a, é aproimadamente, Um vetor diretor da reta r tem coordenadas,,. Um vetor normal ao plano tem coordenadas,,. O produto escalar destes vetores é nulo, pelo que são perpendiculares; assim, a reta r é (estritamente) paralela ao plano ou está contida nesse plano. O ponto de coordendas,, pertence à reta, mas não pertence ao plano, logo a reta r é estritamente paralela ao plano. Opção correta: (A) 7. n n e n lim lim n n e Opção correta: (A) 8. Sendo i, tem-se z i i e ; logo, o afio de z w é a imagem do afio de w pela rotação de centro na origem e amplitude, composta com a homotetia de centro na origem e razão. Assim, para que o afio de z w pertença ao º quadrante, o afio de w tem de pertencer ao º quadrante, ou seja, k t k k. 5 Página 5 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora

6 5 k t k k t 5k k 5 Como t, Por outro processo:, resulta 5 t 5. i z e, 5 i e t w e i t 5 zw e. Para que o afio de z w pertença ao º quadrante, tem-se: k t k k k t k k k t k k Como t,, resulta 5 t A função f é contínua em se tiver limite nesse ponto, ou seja, se: lim f lim f f cos cos sin lim f lim lim lim sin cos sin sin cos sin cos sin sin lim lim sin cos cos e e lim lim lim e f lim lim ln ln ln * Cálculos auiliares: e e lim lim e e e e lim lim lim ln ln Página 6 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora

7 e * lim lim ln Como lim f lim f é contínua nesse ponto., a função f não tem limite em e, portanto, não 9. O gráfico da função f apenas pode ter uma assíntota não vertical, já que o seu domínio é apenas ilimitado à direita. Verifiquemos se, a eistir, se trata de uma assíntota horizontal. e lim f lim ln Conclui-se que o gráfico da função f tem uma assíntota horizontal de equação. 9. g f g f cos f sin g g, g f g f g (Em alternativa, pode ser resolvida a equação Opção correta: (C) g, em,.) Página 7 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora

8 . Se PX,6, então PX, e, também, P X 8, (tendo em conta que X é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal de valor médio ). Assim, tem-se: P 8 X P X P X 8,, Opção correta: (A). O período deste oscilador harmónico é por f, é. T Opção correta: (B) T ; logo, a frequência, sendo dada.. Como f tem um etremo relativo em k e admite derivada no seu domínio, temse f k Como o gráfico da função h tem um ponto de infleão de abcissa k e é duas vezes diferenciável em (produto de duas funções duas vezes diferenciável em ), tem-se h k.. Sabe-se ainda que f k Determinemos a segunda derivada de h : h f g f g f g f f h f f f f f f f A conjugação destas informações, permite-nos obter o valor de k : h k f k k f k f k k Página 8 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora

9 Como f k, obtém-se: f kk k k. A soma dos seis primeiros termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo 6 u e razão, é dada por u. Assim, tem-se: 6 6 G u G u G u. 6 O terceiro termo da progressão é dado por Opção correta: (C) u G G 6 6 u.. f f c f f c f f lim c c lim lim c c f c c f fc c f fc f fc f c lim c c c sin cos f cos sin f f c cos c tan c f c sin c tan c Como c,, tem-se c, e: tan c c c c 6 6 FIM Página 9 9 Propostas de resolução - Eame-tipo.º ano de escolaridade 9, Raiz Editora