Todos os materiais do MathSuccess são escritos utilizando a ortografia anterior ao Acordo Ortográfico de 1990

Transcrição

1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A EXAME MODELO 7 Todos os materiais do MathSuccess são escritos utilizando a ortografia anterior ao Acordo Ortográfico de 990 Site: Facebook: EXAME MODELO N.º 7 JUNHO DE 09 Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09

2 CADERNO Neste grupo a utilização de calculadora gráfica é permitida. Na resposta aos itens de escolha múltipla, seleccione a opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos itens de resposta aberta apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eacto..... P00/00 PMC05.. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio e desvio padrão igual 0,. Sabe-se que P X P X. Qual é o valor de P, X,, arredondado às centésimas? A 0,8 B 0,84 C 0,95 D 0,98.. Um ponto P desloca-se sobre uma recta numérica durante um intervalo de tempo I de tal forma que a sua abcissa é dada por: sen cos t t t, t I Qual é a fase deste oscilador harmónico? A 6 B C 5 D 6 Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09

3 . Na figura está representado em referencial o.n. Oyz a pirâmide ABCDE. Sabe-se que: AB,, e AE 8, 5,0 B,, e C,,7.. Seja o plano paralelo ao plano ABC que contém o ponto E. E e que uma equação cartesiana que define o plano é 4 y z 45. Mostre que 0,,.. Considere a superfície esférica centrada no ponto E e tangente ao plano ABC. Escreva uma condição cartesiana que defina a superfície esférica... Tal como sugerido na figura, além dos vértices, estão também assinalados mais quatro pontos: um sobre a aresta AB, dois sobre a aresta CD e um sobre a aresta CE. Escolhem-se, simultaneamente e ao acaso, três desses pontos assinalados. Qual é a probabilidade de definirem o plano ABC? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09

4 . Considere todas as sequências que se podem formar com todas as nove letras da palavra CONSOANTE. Algumas destas sequências satisfazem as seguintes condições: as vogais ocupam posições consecutivas; os dois O não ocupam posições consecutivas. Quantas são estas sequências? A 440 B 60 C 40 D Entre os funcionários de uma empresa tecnológica alguns são licenciados em Engenharia Informática e outros em Engenharia de Telecomunicações. Sabe-se que: o número de funcionários que são licenciados em pelo menos um destes dois cursos é o quíntuplo do número de funcionários que são licenciados em Engenharia Informática; entre os funcionários que não são licenciados em Engenharia Informática, quatro em cada onze são licenciados em Engenharia de Telecomunicações. Escolhe-se ao acaso um dos funcionários desta empresa. Qual é a probabilidade de ser licenciado em Engenharia Informática? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09 4

5 5. Na figura está representada uma bola suspensa numa mola que oscila verticalmente. Admita que a distância, em centímetros, que a bola se encontra do solo, t segundos após o início do movimento oscilatório é dada pela função d, definida por: t, com t 0 0,t 8 4e sen d t Durante o quarto segundo do movimento eistem eactamente dois instantes tais que passados três segundos e meio a distância da bola ao solo diminui 5%. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora determine esse instante. Na sua resposta deve: equacionar o problema; reproduzir o(s) gráfico(s) que considerar necessário(s) para a resolução do problema bem como a(s) coordenada(s) de algum (ou alguns) ponto(s) relevante(s); apresentar o instante pedido, em segundos, arredondado às décimas. Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09 5

6 6. Na figura estão representados em referencial o.n. Oy, a circunferência definida por e s. y 5 e as rectas r Sabe-se que: a circunferência está centrada no ponto A e contém o ponto B cuja abcissa é e a ordenada é positiva; a recta r é tangente à circunferência no ponto B e intersecta o eio Oy no ponto C ; a recta s intersecta o eio O no ponto A e o eio Oy no ponto C. Qual é, em graus arredondados às unidades, a inclinação da recta s? A 7º B 6º C 98º D 9º Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09 6

7 7. Seja u n uma sucessão de termos positivos tal que: u n u n 6, n Sabe-se que u, u e u 6 são três termos consecutivas de uma progressão geométrica de razão r, com r. Estude quando à monotonia a sucessão v definida por n v n un rn. 8. Na figura estão representados no plano compleo os pontos A, B, C, D, P e Q, a circunferência centrada na origem e que contém o ponto de coordenadas,0, e a recta r, bissectriz dos quadrantes ímpares. Sabe-se que: o ponto P pertence à circunferência e é o afio do número compleo z o ponto Q é o afio do número compleo z as rectas verticais a tracejado são paralelas ao eio imaginário e as rectas horizontais a tracejado são paralelas aos eio real. Qual dos seguintes pontos pode ser o afio do número compleo z i z? A A B B C C D D FIM DO CADERNO Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09 7

8 CADERNO Neste grupo a utilização de calculadora gráfica não é permitida. Na resposta aos itens de escolha múltipla, seleccione a opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos itens de resposta aberta apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eacto P00/00 PMC Numa caia estão seis bolas indistinguíveis ao tacto, umas numeradas com o número 0 e outras numeradas com o número. Considere a eperiência aleatória que consiste em etrair, simultaneamente e ao acaso, quatro bolas da caia e seja X a variável aleatória: X : «soma dos números das quatro bolas etraídas» P X. 5 Sabe-se que 0 Qual é o valor médio da variável aleatória X? A B 4 C 5 D Seja f uma função de domínio e contradomínio 0,. Qual é o contradomínio da função g, de domínio, definida por A, B,5 C,5 D, g 6arccos f? Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09 8

9 0. Em, conjunto dos números compleos, considere: 5 i w i 4i i 00 cos sen sen cos, com, w i w Determine de modo que w seja um número real negativo..... P00/00 PMC05.. Num referencial o.n. Oyz considere, para a \ 0, a recta r e o plano definidos por: y z r : e : a z y a a A recta r e o plano são paralelos. Qual é o valor a? A 4 B C D 4.. Considere, num referencial o.n. Oy, a elipse de focos F e F pertencentes ao eio O, definida pela equação: d P F d P, F, 6 Em que P é um ponto do plano. Sabe-se que o ponto de coordenadas 4, 5 pertence à elipse. Qual é a distância focal? A 6 B 0 C 4 6 D 4 0 Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09 9

10 . Considere a função f de domínio tal que a sua derivada, também de domínio f é dada por: Mostre que f 4e e f e e e estude a função f quanto ao sentido das concavidades e à eistência de pontos de infleão do seu gráfico. Na sua resposta deve: indicar os intervalos onde a o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baio; indicar os intervalos onde a o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima; indicar a(s) abcissa(s) dos pontos de infleão do gráfico de f.. Considere a função h definida em, por: h.. Considere a sucessão u n definida por cos cos tg se 0 e se 0 u n n ln n. Qual é o valor de hu lim u n n? A B C D.. Mostre que a função h tem pelo menos um zero no intervalo,. Item etra: Determine o valor de 0 h lim. Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09 0

11 .. Na figura estão representados em referencial o.n. Oy, a circunferência trigonométrica e o trapézio ABCD. C D O E y A B Sabe-se que: o ponto E pertence à circunferência trigonométrica e ao eio O ; os pontos A e D pertencem à circunferência trigonométrica e são simétricos em relação ao eio O ; a recta BC é tangente à circunferência trigonométrica no ponto E ; os pontos B e C são simétricos em relação ao eio O ; é a amplitude em radianos do ângulo EOA, com,0 Mostre que a área do trapézio ABCD é dada em função de por h. 4. Sejam a, b e c três números reais maiores do que tais que: log b a 4 log c a 6 Então, o valor de log ab b 4 c logb 6 a é: A B 4 C 6 D 8 Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09

12 5. Sejam f e g duas funções de domínio e uma recta r tais que: ln ln f e g é diferenciável em a equação reduzida da recta r é da forma y m, com m \ 0 a recta r é assimptota do gráfico de f a recta r é tangente ao gráfico de g num ponto de abcissa a pertencente ao seu domínio; g a g a a Qual é o valor de a? FIM DO CADERNO FIM DO EXAME MODELO 7 Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09

13 Cotações Caderno. 8 pontos... pontos.. pontos pontos. 8 pontos 4. pontos 5. pontos 6. 8 pontos 7. pontos 8. 8 pontos Total Caderno 05 pontos Caderno 9. 8 pontos 0. pontos. 8 pontos. pontos... 8 pontos.. pontos.. pontos 4. 8 pontos 5. pontos Total Caderno 95 pontos Total Caderno Caderno 00 pontos Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09

14 Solucionário Caderno.. A.. D.. y z B 4. 8% 5. t, segundos e t,8 segundos. 6. C 7. v n é monótona crescente. 8. B Caderno 9.. B 9.. B A.. C. O gráfico da função f tem a concavidade voltada para baio em, e em,, tem a concavidade voltada para cima em, e em, e tem pontos de infleão em, em e em... B I. E. 4. C 5. a Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Junho de 09 4

15 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A EXAME MODELO 7 Site: Facebook: EXAME MODELO N.º 7 JULHO DE 09 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 5

16 CADERNO... Tem-se que: P X P X, pelo que,5 0,, pelo que,5 0,, e,5 0,,5 0,6, Portanto:,, P X P X P X P X 0,687 0,9545 0,8 Resposta: A.. Tem-se que: t sen t cos t sen t cos t 4 sen t cos t cos t sen t 4cos tcos sen tsen cos sen cos t 6 6 4cos t 4cos t 4cos t Logo, a fase desde oscilador harmónico é 6. Resposta: D Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 6

17 ... Tem-se que: E A AE B BA AE B AB AE,,,, 8, 5,0 0,, ABBA os vectores AB e BC são dois vectores não colineares paralelos ao plano ABC e portanto, paralelos ao plano. Assim, como BC C B,,7,,,,4 e sendo n a, b, c, um vector normal a, vem que: n 0 abc,,,, 0 a b c 0 c a b c a b AB n BC 0 abc,,,, 4 0 a b 4c 0 a b c 0 a b a b 0 c a b c a b c a b c b b b c a b a b 0 a 4b 0 a 4b a b ab Portanto, b n b, b,, com \ 0 b, pelo que, fazendo b, vem que 4,, n. Assim, como E0,,, pertence ao plano, uma sua equação cartesiana é: 4 0 y z y 6 z 0 4 y z 45.. Sejam P o ponto onde a esfera é tangente ao plano ABC e r a recta perpendicular ao plano ABC que contém o ponto E. Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 7

18 Tem-se que: um vector director da recta r é n 4,, ( e ABC são paralelos), pelo que, como E pertence a r, uma equação vectorial que a define é:, y, z 0,, k 4,,, k uma equação cartesiana do plano ABC é: 4 y z y z 0 4 y z a recta r intersecta o plano ABC no ponto P, pelo que as suas coordenadas são da forma: P 0 4 k, k, k, k Como P pertence plano ABC, vem que: 4 0 4k k k 40 6k 6 4k k k 4 k Logo, 0 4,,,, P. a medida do raio da superfície esférica é dada por EP. EP Como EP P E,, 0,, 8,4,, vem que : y z y z O número de casos possíveis é 9 C, que é o número de maneiras de escolher três dos nove pontos assinalados na figura. Para definir o plano ABC os três pontos escolhidos têm de pertencer a ABC. Como no plano ABC estão assinalados sete pontos, começa-se por escolher três desses sete pontos. O número de maneiras de o fazer é 7 C. No entanto, se escolhermos três dos quatro pontos da aresta CD, o número de maneiras de o fazer é 4 C, e os três pontos da aresta AB, o número de maneiras de o fazer é C, não formamos um plano, pois estaremos a escolher pontos colineares. Logo, o número de casos favoráveis é 7 C 4 C C, pelo que a probabilidade pedida é dada por: C C C C Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 8

19 . Comecemos por agrupar as quatro vogais, o A, o E e os dois O num bloco. Os O não podem ficar em posições consecutivas, pelo que podem ser colocados de três maneiras distintas: O O O O O O Para cada uma destas maneiras, as restantes duas vogais permutam entre si nas restantes duas posições de! maneiras distitnas, pelo que, dentro do bolo, as quatro vogais podem ser colocadas de! maneiras distintas. Como temos também dois N, para cada uma destas maneiras, o bloco e as restantes cinco letras permutam entre si de 6! maneiras distintas (o bloco e as restantes cinco letras são seis elementos a permutar onde dois são iguais, os N).! 6!! De uma outra forma, o bloco e as restantes cinco letras vão ocupar seis posições. Das seis posições escolhem-se duas para os N. O número de maneira de o fazer é 6 C. Para cada uma destas maneiras, o bloco e as restantes três letras distintas, permutam entre si de 4! maneiras distintas. Logo, uma resposta ao problema é! 6! 6! 60. Outra resposta é! 6! C 4! 60. Resposta: B 4. Sejam I e T os acontecimentos: I : «o funcionário é licenciado em Engenharia Informática» T : «o funcionário é licenciado em Engenharia de Telecomunicações» Do enunciado sabemos que PI T 5PI Pretende-se determinar PI. 4 P T I. e que Tem-se que: PI T 5PI PI PT PI T 5PI PT PI T 4PI 4 P T I 4 4P I 4P I P T I PT I PT PI T P I PT PT I Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 9

20 Portanto, como por um lado PT PI T 4PI e por outro PT PI T 4P I, vem que: 4P I 4 4P I 44P I 4 P I 44P I 4 4P I 48P I 4 P I P I 48 A probabilidade do funcionário escolhido de ser licenciado em Engenharia Informática é 8%. 5. Sabemos que durante o quarto segundo de movimento eistem dois instantes, t e t, tais que passados três segundos e meio desses instantes, a distância da bola ao solo diminui 5%. Tem-se que dt é a distância da bola ao solo num certo instante t e que,5 três segundos e meio após esse instante t. Assim, pretende-se terminar os instantes t,4 tais que:,5 0,5,5 0,85 d t d t d t d t d t d t é a distância da bola ao solo Utilizando o editor de função da calculadora gráfica, definem-se as funções y d t e y d t,5 0,85 : d t,5 0,85 d t t t t t, em que t, e t,8. Portanto, 6. Tem-se que: o ponto B tem abcissa e pertence à circunferência, pelo que: Como a ordenada de B é positiva, vem que y 5 4 y 5 y y y y, pelo que, B. Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 0

21 as coordenadas do ponto A são,0 e como C pertence ao eio Oy, a suas coordenadas são da forma C 0, y C. a recta BC é tangente à circunferência no ponto C, pelo que é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência. Logo, os vectores BC e BA são perpendiculares e portanto BC BA 0 Como BC C B 0, y,, y e BA A B,0,, C C, vem que: BC BA 0, y, 0 6 y 0 y 7 y 7 C 0,7 C C C C o declive da recta AC é dado por y C C y A A 7 0 7, pelo que, como o declive é negativo, a sua inclinação é: 0 arctg 7 80º 98º Resposta: C 7. A sucessão n u é uma progressão aritmética de razão 6 pois un un 6 un un 6, n e portanto: u u 6 e u6 u 56 u 0 Logo, u, u e u 6 são três termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão r, com r, vem que: r u u u u 6 Assim: u u u 6 u 0 u u u u u u 60 u 6 u u 0 u u u 6 0u 8u 6 u Portanto, o termos geral de n u u 6 6 un u n 6 6n 6 6n 4 e r 4. u u u é Então, v n un 6n 4 rn 4n. Para estudar a monotonia da sucessão v n, estudamos o sinal de v n v. n Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09

22 Tem-se: v n 6 n 4 6n 4 6n 6 4 6n 4 6n 6n 4 6n 4n 6n 4 4n vn 4 n 4n n 4 4n 4n 4n 4n 4n 4n 6n 8n 4n 8n6n 4n 4n 4n 4n 0 0 4n 4n 4n 4n 4 4 0, n Como n n n v é monótona crescente., vem que 0 v n v n 0 4n4n, n, pelo que a sucessão 8. Observando a figura, conclui-se que o ponto P, afio de z pertence à região do plano compleo definida por: z 0 Arg z 4 Portanto, sendo o argumento principal de z vem que i z e e i, com 0. 4 Também por observação da figura conclui-se que as coordenadas do ponto Q são,, pelo que z i. i e i i e i i i z z i i e i cos isen i e e Logo, i i i sen cos sen cos sen cos Tem-se que 0 0, pelo que: 4 z i 0 sen sen 0 Re z 0 elimina A e D z i 0 cos cos 0 cos Im z elimina C Logo, o afio de z i z só pode ser o ponto B. Resposta: B Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09

23 CADERNO 9.. Seja n o número de bolas brancas. A soma dos números das quatro bolas etraídas é zero se as quatro estiverem numeradas com o número 0, pelo que: n n n C4 C4 C4 n P X 0 C 6 4 n 4 C Logo, na caia estão quatro bolas numeradas com o número 0 e duas com o número, pelo que a soma das quatro bolas retiradas pode ser 0 (as quatro com o número 0), (três com o número 0 e uma com o número ) ou (duas com o número 0 e duas com o número ), ou seja, X 0,,. Assim: 5 4 C C 6 C P X 0, P X e P X C C C Portanto, a média da variável aleatória X é Resposta: B 9.. Como o contradomínio da função f é 0,, vem que 0 f,, pelo que: 0 f f f Como a função y arccos é estritamente decrescente no seu domínio, vem que: f arccos arccos f arccos arccos f 6 6arccos f 6 4 6arccos f 6 f f 4 6arccos 6 6arccos 5 Logo, o contradomínio da função g é,5. Resposta: B Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09

24 0. Tem-se que i i i i i i i e i i 00 0, pelo que: 5 i 00 i i 6i i i w i 4i i i 4 i i i 4 i i i i 5 5i 5 5i 7 i i 4 i i 4 i i i 4 i i 9 0 Escrevendo w na forma trigonométrica, vem: w sendo um argumento de w, tem-se w e i 4 Como tg cos isen, com.ºq, pelo que 4 4 i4 w cos sen isen cos cos 4 isen 4 e, vem que: w w e i 4 e i 4 4 e i4 w Tem-se que w é um número real negativo se o seu argumento for da forma k, k, pelo que: 4 k, 4 k 4 k, 4 k k, k 6 4 Assim: se k 0 ;, 6 6 se 7 k ; 7, se 4 5 k ; 5, se 6 k ;, Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 4

25 .. Tem-se que: um vector director da recta r é r, a, a a z y a y z, pelo que um vector normal do plano é n a,, A recta r e o plano são paralelos, pelo que os vectores r e n são perpendiculares, e portanto: r n a a a a a a a a 0,,,, a 4 a 0 a 0 4 a 0 a 0 a 4 Como a \ 0, vem que a 4. Resposta: A.. Como d P, F d P, F 6 e d P, F d P, F a (eio maior), vem que a6 a 8. Portanto, a equação reduzida da elipse é da forma 8 y y b 64 b. Mas o ponto de coordenadas 4, 5 pertence à elipse e portanto, substituindo, vem: b 64 b 64 b b b 0 Assim, sendo F c,0 e F c b 40,0, com c 0, vem que: a b c c c c c c c Logo, a distância focal é c Resposta: C. Tem-se que: f e e e e e e Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 5

26 e e e e e e 4 4 e e 4e e f e e e e e e 4 Fazendo um quadro de variação do sinal de f, vem: e e 0 g Gráfico de g p.i. p.i. p.i. Portanto, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baio em,,, tem a concavidade voltada para cima em, e em, e tem pontos de infleão em, em e em. e em. n n lim limln ln lim lnlim ln 0, pelo que: n n n n.. Tem-se que un h un h e e lim lim lim lim lim u n e lim Limite notável Resposta: B Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 6

27 .. Tem-se que: para,0 a função h é contínua pois é a soma e o produto entre funções contínuas no seu domínio (funções polinomiais e trigonométricas); para 0, a função h é contínua pois é a soma, o produto e a composição entre funções contínuas no seu domínio (funções polinomiais e eponenciais); em 0 a função h é contínua se lim h lim h h : lim h lim cos cos tg cos 0 cos 0 tg lim h lim e e h 0 cos 0 cos 0 tg Logo, a função h é contínua em 0. A função h é contínua em,, pelo que é contínua em,,. h cos cos tg 4 h 0 h e. Como e, vem que e e, pelo que 0 Assim, como h e pelo menos um zero no intervalo,. e e portanto h 0. h têm sinais contrários, pelo corolário do teorema de Bolzano-Cauchy, a função h tem Item etra: sen h cos cos tg cos tg sen cos sen sen lim lim lim lim lim. cos sen sen sen lim lim lim lim lim cos cos 0 Limite notável Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 7

28 .. Consideremos a seguinte figura, em que F é o ponto de intersecção do lado AD com o eio O : A área do trapézio ABCD é dada por AD BC EF. Mas AD AF, BC BE e EF OF, pelo que: AD BC AF BE ABCD A EF OF AF BE OF As coordenadas do ponto A são cos,sen, com cos 0 e sen 0 tg 0. Assim, AF sen, BE tg e OF cos e portanto:,tg, com, e as do ponto B são sen A AF BE OF sen tg cos sen cos ABCD cos sen sen sen sen cos cos cos cos sen sen sen cos sen cos cos sen sen cos sen cos cos cos cos tg cos cos cos tg h, com,0 Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 8

29 4. Tem-se que: logb b logab logba log a log a 4 b b log c a 6 c a 6 Portanto: 6 4 c a logb ab logb 4log 6 b ab logb 4 6 logb a logb b logb a a a 6 a a 4 logb a 5 log b 4 a 4 5 logb a 5 4log ba Resposta: C 5. Tem-se que: o declive da recta r, assimptota do gráfico de f, é dado por: ln ln ln ln e f e e m lim lim lim lim lim ln e ln e ln lim lim lim ln e ln lim lim lim 0 Limite notável ln lim e ln 0 ln lim i) Logo, a equação reduzida da recta r, assimptota oblíqua do gráfico de f, quando, é y. i ) Tem-se que lim 0. e e lim Limite notável Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 9

30 a recta r é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa g, pelo que a g é igual ao declive da recta r, isto é: a g O ponto de tangência é a, g a, pelo que como este ponto pertence a r, vem que g a a. Então: g a g a a a aa a a a a 0 a a0a 0a 0 4 a a a a a 4 4 Como a, vem que a. FIM Matemática A Eame Nacional do Ensino Secundário Eame Modelo 7 Proposta de Resolução Junho de 09 0