(B) (x, y) = (7, 9) + k(3, 2), k å R. (D) (x, y) = (7, 9) + k(2, 3), k å R 4 (D) 1. (B) (x, y, z) = k(0, 0, 1), k å R

Transcrição

1 Geometria no plano e no espaço 3. Considere a reta r de equação = 2-3. Quais das seguintes equações representa a reta que contém o ponto de coordenadas (0, 8) e é perpendicular à reta r? (A) = (B) = 2-8 (C) = (D) = Considere a reta s de equação = Quais das seguintes equações representa a reta que contém o 2 ponto de coordenadas (1, 0) e é paralela à reta s? (A) = (B) (, ) = (7, 9) + k(3, 2), k å R (C) = (D) (, ) = (7, 9) + k(2, 3), k å R 5. Na figura do lado estão, num referencial o.n., as retas perpendiculares r, de equação = + 2, e AB. Tal como a figura sugere, o ponto A pertence ao 6 eio e à reta r e o ponto B pertence ao eio. Qual é o valor da área do triângulo [AB]? A r 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 B 6. Num referencial o.n. z, qual das seguintes condições define uma reta paralela ao eio? (A) { = 0 z = 1 (B) (,, z) = k(0, 0, 1), k å R = 1 + k (C) = 1 (D) = k, k å R z = k 7. Considere, num referencial o.n. z, a reta AB. Sabendo que os pontos A e B têm a mesma abcissa, indique qual das condições seguintes pode definir a reta AB. = 2 + 2k (A) = 2k, k å R (B) (,, z) = (2, 2, 2) + k(2, 0, 0), k år z = 1 = 2 + 2k (C) = 0 z = 1 + 2k, k å R (D) (,, z) = (2, 2, 2) + k(0, 2, 2), k år 8. Num referencial o.n. z, a reta r está definida pela equação: (,, z) = (- 4, 6, 3) + k(1, 2, - 2), k å R Quais são as coordenadas do ponto de interseção de r com o plano z? (A) (-7, 0, 9) (B) (7, 0, -9) (C) (0, 14, -5) (D) (0, -14, 5) 9. Num referencial o.n. z, as retas r e s são perpendiculares. Sabe-se que: a reta r está definida pela condição (,, z) = (-2, 0, 4) + k(a, 1, 1), k å R a å R \ { 0} ; a reta s está definida pela condição (,, z) = (-2, 0, 4) + k(-2, 5, -2), k å R. Qual é o valor de a? 3 2 (B) 4 3 (C) 5 4 (D)

2 Funções reais de variável real 17. Dada a função g definida por g() = log 125, sabe-se que o ponto P faz parte do seu gráfico e tem ordenada igual a 1. Qual é a abcissa de P? (B) 5 (C) 3 (D) ln ( ) 18. Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função g. Considere a função h definida por h() = In (g()). Qual pode ser o domínio de h? g (A) R + (B) ]-2, 2[ (C) R \ ]-, -2] (D) ]-2, 2[ ]2, + [ Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função quadrática g. Considere a função h definida por h() = In (g()). Qual pode ser o conjunto dos zeros de h? g (A) {-1, 3} (B) {0, 2} (C) {-1, 0, 2, 3} (D) {0, 1, 2} Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função f definida por f() = ( a ), a > 1. Seja M um ponto do gráfico de f, de abcissa não negativa, e seja g a função que dá a área do retângulo [MNP] em função de. N f M Qual das seguintes representações gráficas pode ser a da função g? P (A) (B) (C) (D) 87

3 Sucessões REais 5. s pais da Ambrósia vão começar a poupar todos os meses e durante os três anos do ensino secundário da filha, já a pensar nas propinas do seu curso superior. Eles têm em mente dois planos de poupança (durante 36 meses): 1. plano Começam por guardar 100 no primeiro mês e todos os meses aumentam em 5 a quantia a guardar, isto é, guardam 100; 105; 110; 2. plano Começam por guardar 100 no primeiro mês e todos os meses guardam mais 5% do que no mês anterior, isto é, guardam 100; 105; 110,25; 5.1 Indique, justificando, qual é o melhor plano de poupança para a Ambrósia. 5.2 Suponha que os pais da Ambrósia começaram por guardar 100 em janeiro de Com as características do 1.º plano, quando é que terão, pelo menos, ? Indique o mês e o ano. 6. Para um estudo estatístico, serão observados alguns automóveis de uma cidade. Na primeira semana serão observados 2500 automóveis e, em cada semana adicional, esse número aumentará 5%. 6.1 Verifique que, ao fim de n semanas, o número total de observações é igual a (1,05 n - 1) automóveis. 6.2 Usando a calculadora somente para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine o número mínimo de semanas em que serão observados, pelo menos, automóveis. Nota: nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais. en + n Seja (u n ) a sucessão definida por u n =, sendo e o número de Neper Justifique que (u n ) é uma progressão aritmética e calcule a sua razão. 7.2 Calcule o valor eato e um valor aproimado, com duas casas decimais, da soma de todos os termos entre o 3. e o 60., inclusive. 8. Devido aos maus resultados de uma equipa de futebol, o número de espetadores ao longo das várias jornadas foi decrescendo: na primeira jornada, na segunda jornada, na terceira, e assim sucessivamente, mantendo-se esse decrescimento constante. Numa análise a algumas jornadas, foi possível concluir que o número total de espetadores foi igual a Quantas foram as jornadas analisadas? 9. Considere os círculos seguintes, de raios 10, 120, 12, 172,8, e assim sucessivamente ,8 Supondo que se mantém a mesma lei de formação, calcule a soma das áreas dos primeiros 20 círculos. Apresente o resultado arredondado às unidades. 10. Um muro está construído da seguinte forma: na base (camada de baio) há 209 blocos e no topo (camada de cima) há 5 blocos. Sabe-se que o número de blocos em cada camada está em progressão aritmética. Determine o número de termos e a razão dessa progressão, sabendo que foram utilizados, no total, 3424 blocos. 113

4 Derivadas de funções 4. Considere uma função g, duas vezes diferenciável em R, e em que g () g () < 0. Em qual das figuras seguintes não pode estar representada parte do gráfico da função g? (A) (B) (C) (D) 5. A primeira derivada de uma função g, de domínio R, é dada por g () = ( )e. Quantos pontos de infleão tem o gráfico de g? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 6. Seja h uma função de domínio ]- 1, + [. Sabe-se que a segunda derivada de h, também de domínio ]- 1, + [, está definida por h () = ( - 3) 2 In ( + 1). Relativamente ao gráfico da função h, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A concavidade está voltada para baio no intervalo ]- 1, 3]. (B) A concavidade está voltada para baio no intervalo ]3, + [. (C) ponto de abcissa 0 é um ponto de infleão. (D) ponto de abcissa 3 é um ponto de infleão. 7. Na figura seguinte, - 1 é o único zero da função g e o ponto de abcissa 1 é o único ponto de infleão do gráfico de g. g 1 1 Qual é a afirmação necessariamente falsa? (A) g (- 1) = - 3 (B) g (0) = - 1 (C) g (1) = 0 (D) g (3) =

5 PREPARAR EXAME NACINAL (CNTINUAÇÃ) 14. Macário e a Guadalupe são dois namorados que se zangaram. Sabe-se que a probabilidade de o Macário ir ao centro comercial é igual a 20% e que a probabilidade de pelo menos um deles ir ao mesmo centro comercial é igual a 80%. Qual é a probabilidade de a Guadalupe ir ao referido centro comercial? (A) 60% (B) 65% (C) 70% (D) 75% 15. Uma empresa vai oferecer dois prémios a dois dos seus melhores empregados. Há, ao todo, 50 empregados, 20 dos quais do seo masculino. Além disso, há, no total, cinco casais. Sabe-se que os prémios saíram a um homem e a uma mulher. Qual é a probabilidade de eles formarem um casal? (A) (B) (C) (D) Numa livraria, a Lurdes eamina ao acaso um livro de 200 páginas e o Pompeu eamina, também ao acaso, uma revista de 100 páginas. Qual é a probabilidade de ambos abrirem o livro e a revista na mesma página? (A) (B) (C) (D) Considere as seguintes seis figuras geométricas: Escolhe-se uma figura ao acaso. Sejam os acontecimentos: A : «A figura escolhida é um polígono.» B : «A figura escolhida está pintada de preto.» C : «A figura escolhida não é um triângulo.» Qual é o valor de P(A (B C))? 3 (B) 2 3 (C) 4 (D) Sobre uma população de uma cidade, sabe-se que: 80% dos habitantes têm o cabelo castanho; 30% dos habitantes têm olhos azuis; todos os habitantes têm o cabelo castanho ou olhos azuis. Ao escolher um habitante ao acaso dessa cidade, qual é a probabilidade de ter olhos azuis, sabendo que tem o cabelo castanho? 3 (B) 4 (C) 8 (D) 9 226

6 Limites, continuidade E assíntotas 8. A função g, contínua num conjunto D \ {a}, pode ser prolongada por continuidade a D através da função: g() se 0 a g p () = lim g() se = a " a e Considere a função h definida por h() = , de domínio R \ {- 1} Usando processos analíticos, indique, o mais simplificadamente possível, a função prolongamento h p ao conjunto R. e Considere a função f, de domínio R \ {-1}, definida por: f() = se < se Mostre que f [3, + [ é contínua e f ]-, 3] é descontínua. 9.2 Verifique que 2 está entre f(0) e f(4). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve pelo menos duas casas decimais. 9.3 Sabe-se que não eiste um número no intervalo ]0, 4[ tal que f() = 2. Estará esta constatação em contradição com o teorema de Bolzano-Cauch? Justifique a sua resposta. 9.4 Justifique que f tem um máimo e um mínimo absolutos em [- 8, 2] Considere a função f, de domínio R, definida por: f() = 2 se < -1 se = -1 e se > Na figura ao lado está representada parte do gráfico da função f. Sabe-se que o ponto A pertence ao gráfico de f e tem abcissa -1. f A 10.1 Usando processos analíticos, mostre que, tal como a figura sugere, a função f é contínua no ponto Justifique que f tem um máimo e um mínimo absolutos em [-2, 0] Considere agora o segmento de reta [PQ], sendo: P o ponto do gráfico de f pertencente ao eio ; Q um ponto do gráfico de f de abcissa positiva e ordenada 0,2. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o comprimento do segmento de reta [PQ], arredondado às unidades. Apresente na sua resposta: parte relevante do gráfico da função f num referencial ; o segmento de reta [PQ] ; as coordenadas dos pontos relevantes, com duas casas decimais. 137