Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

Transcrição

1 niversidade Federal de Santa atarina entro de iências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM Pré-cálculo 1 a lista complementar de exercícios (31/07/2017 a 04/08/2017) 1. Representar, através de uma propriedade conveniente, os seguintes conjuntos: = {1, 1, 2, 2, 4, 4}: = {4, 5, 6, 7, 8, 9}; = { 4, 3, 2, 1, 0, 1}; (d) D = {6, 7, 8, 9, 10,...}; E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. 2. onsidere o conjunto = {1, 2, {2}, 3} e diga, para cada uma das sentenças abaixo, se é verdadeira ou falsa: 1 ; 2 ; {2} ; (d) 3 ; {3} ; (f) {1} / ; (g) /. 3. Observando o diagrama de Venn-Euler ao lado, escrever por enumeração os conjuntos: ; ; dos elementos que pertencem a e ; (d) dos elementos que pertencem a ou ; dos elementos que pertencem a e não a ; (f) dos elementos que pertencem a e não a. 4. Representar por enumeração os seguintes conjuntos: = {x Z x é divisor de 14}; = {x Z x é múltiplo de 3}; (g) = {x N x < 30 e x é primo}; E = {x N x é par e primo}; G = {x x é letra da palavra arara}. 5. Representar por enumeração os seguintes conjuntos: = {x N 5 < x < 2}; = {x x = 2m + 1 e m N}; (d) D = {x Z 10 < x < 10 e x é primo}; (f) F = {x N x > 3 e x é par e primo}; = {x x = 2m e m N}; (d) D = {x x = 3m e m N}; E = {x x = 5m 1 e m N}; (f) F = {x N 7 < 2x < 11}; (g) G = {x N 5 < 2x 3 < 13}; (h) H = {x N 21 < 5x 3 < 25}; (i) I = {x N 19 < 5x 7 < 22}. 1

2 Observação: O conjunto acima também pode ser escrito como = {2m m N}. Tente reescrever, D e E da mesma forma. 6. onsidere = {1,, {1, 5}, {1}, 5} e determine se é verdadeiro ou falso: 1 ; {1} ; 5 ; (d) {5} ; {{1}} ; (f) {5, 1} ; (g) / ; (h) { } /. 7. onsidere = {, 1, 2, {2}, {1, 2}} e diga se é verdadeiro ou falso: ; ; 1 ; (d) 2 / ; {2} ; (f) {2} ; (g) {1, 2} ; (h) {1, 2} / ; (i) {1} ; (j) {1} ; (k) {, 1, {2}} ; (l) {{2},, {1, 2}} ; (m){, {1}, {2}}. 8. Diga se é verdadeiro ou falso: {1, 4, 5, 6} {1, 4}; {1, 3} ; {2} ; (d) 1 {1, {1}}; 1 {1, {1}}; (f) {1} {1, {1}}; (g) {1} {1, {1}}; (h) {, {1}}. 9. Diga se é verdadeiro ou falso: {, {1}}; {1, {2}}; {1, {2}}; (d) {1} / {1, {2}}; {2} / {1, {2}}; (f) {4, 5, {4}} {4, 5}; (g) {4, 5, {4}} {4, {4}}; (h) {4, {5}, {4}} {5}; (i) {4, {5}, {4}} {4, }. 10. Determinar todos os subconjuntos do conjunto = {1, 2, 3, 4, 5} que tenham exatamente 3 elementos. 11. onsidere = {a, b, c} e = {m, n, p, q} e determine por enumeração os conjuntos: ; ; ; (d) ; ; (f). 12. onsidere = {x N 2 x < 8} e = {3, 4, 6} e determine por enumeração os conjuntos: ; ; ; (d). 13. No diagrama de Venn-Euler abaixo, cada região foi denominada com um número entre parênteses. Indicar as regiões que determinam: ; ; ; (d) ; ; (f) ; (g) ; (h) ; (i) ; (j) ; (k) ; (l) ; (m) ; (n) ; (o) ; (5) (2) (7) (1) (3) (4) (6) (p) ; (q) ; (r) ; (s). 2 (8)

3 14. onsiderando o diagrama de Venn-Euler do exercício anterior, indicar as regiões que determinam: X = [( ) ] ( ); Z = ( ) [ ( )]; (d) Y Z; Y = [( ) ] [( ) ( )]; X (Y Z). 15. onsidere o diagrama de Venn-Euler do exercício 13. sando apenas os conjuntos,, e seus complementares e apenas a operação de intersecção, caracterize cada uma das oito regiões do diagrama. 16. Se fosse possível desenhar um diagrama de Venn-Euler envolvendo quatro conjuntos,, e D (mais o conjunto universo ), quantas regiões ficariam determinadas? Você consegue generalizar sua resposta para mais conjuntos? 17. Sejam e subconjuntos de tais que: n() = 31, n() = 16, n() = 130 e n( ) = 83. Determine n( ). tenção: os conjuntos = {x N x < 10}, = {0, 2, 4, 6, 8}, = {1, 3, 7} e D = { 2, 1, 0, 2, 3, 5} são válidos para os exercícios 18 até Determine por enumeração os seguintes conjuntos: D; ; ; (d) ; ; (f) D; (g) D; (h) D. 19. Determine por enumeração os seguintes conjuntos: D; ; ; (d) ; ; (f) D. 20. Determine por enumeração os seguintes conjuntos: ; ; ; (d) ; D; (f) D ; (g) ; (h) ; (i) ; (j). 21. Determine por enumeração os seguintes conjuntos: ; ; D ; (d) ; ; (f) ; (g) D ; (h) ; (i). Observação: lembre-se de que Y X = X Y. 22. Determine por enumeração os seguintes conjuntos: ( ); ( ) ; ( ). 23. hama-se diferença simétrica dos conjuntos X e Y ao conjunto X Y = (X Y ) (Y X). Nessas condições, determine por enumeração: D; ( D) ( D). s respostas iguais obtidas acima são apenas coincidência ou acontecem para quaisquer conjuntos? 24. Determine por enumeração os seguintes conjuntos: ( D); ( ) ( D). 3

4 s respostas iguais obtidas acima são apenas coincidência ou acontecem para quaisquer conjuntos? 25. Determine por enumeração os seguintes conjuntos: ( D); ( ) ( D). s respostas iguais obtidas acima são apenas coincidência ou acontecem para quaisquer conjuntos? 26. No diagrama de Venn-Euler ao lado, pinte as regiões que determinam o conjunto (ver definição no exercício 23). 27. tilizando-se do diagrama ao lado, verifique que a igualdade n( ) = n() + n() + n() n( ) n( ) n( ) nem sempre é verdadeira. Em seguida, complete tal igualdade de modo que ela se torne sempre verdadeira, quaisquer que sejam os conjuntos, e. (8) (5) (2) (7) (1) (3) (4) (6) 28. Em uma classe com 50 alunos sabe-se que: 26 falam francês, 31 falam inglês, 8 não falam francês e nem inglês. Quantos falam francês ou inglês? Quantos falam as duas línguas? 29. Sejam e subconjuntos de tais que n() = 9, n() = 11, n( ) = 5 e n() = 22. Determine: n( ); n( ); n( ); (d) n( ). 30. Determine todas as possibilidades para o conjunto sabendo que {4, 5} {0, 4, 5, 6}. 31. Determine o número de subconjuntos de {x N 1 x < 40}. 32. Sabe-se que é um conjunto com 30 elementos. outro conjunto? É possível que seja o conjunto das partes de algum 33. onsidere os conjuntos = {0, 1, 2, 3, 7, 9, 12, 13}, = {0, 1, 2, 5, 8, 9, 10}, = {0, 2, 4, 7, 8} e o conjunto universo = {x N x < 14} e determine por enumeração os seguintes conjuntos: X = [( ) ] ( ); Y = {[( ) ] [( ) ( )]} ( ) [ ( )]; X Y. 4

5 34. onsidere os conjuntos = {1, 5, 9}, = {1, 6, 7, 8, 9} e o conjunto universo = {x N 0 < x < 14} e determine por enumeração os seguintes conjuntos: ; ; ; (d). s respostas iguais obtidas em cada par de itens acima são apenas coincidência ou acontecem para quaisquer conjuntos e? 35. No diagrama de Venn-Euler abaixo, pinte a região que determina o conjunto ( D) {[( ) ( )] D} (D ). Observação: a configuração ao lado não é a mais geral possível envolvendo quatro conjuntos (ver exercício 16). D 36. Sejam e conjuntos tais que n() = 30, n( ) = 60 e n( ) = 20. Determine: n(); n( ); n( ). 37. Sejam, e conjuntos tais que n() = 17, n() = 20, n() = 15, n( ) = 7, n( ) = 5, n( ) = 6 e n( ) = 36. Determine: n( ); n( ); n( ( )); (d) n( ( )). Lista de exercícios retirada e adaptada de. Z. ranha e M.. Rodrigues Exercícios de Matemática - vol. 1, Revisão de 1 o grau. Segunda edição, Editora Policarpo, São Paulo,