RACIOCÍNIO LÓGICO. Curso Superior de Tecnologia. Aula 02 TEORIA DOS CONJUNTOS

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1 Aula 02 TEORIA DOS CONJUNTOS 1. Definição de Conjuntos 2. Como se representa um Conjunto 3. Subconjunto, Pertinência e Continência 4. Conjunto das Partes 5. Operação com Conjuntos 1. União ou Reunião (Conjunção) 2. Intersecção ( Disjunção) 3. Diferença e Complementar 4. Quantidade de elementos de um conjunto 6. Exercícios

2 DEFINIÇÃO REPRESENTAÇÃO Simbologia... Conjuntos -> Letras MAIÚSCULAS ( A, B, C,... Z) Elementos -> Letras minúsculas (a, b, c,... z) Pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. Por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x x é par e positivo } = { 2,4,6,... }. Por diagramas RACIOCÍNIO LÓGICO Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. É a reunião, em um mesmo ambiente, de elementos com características iguais.. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12,... }. A Euler - Venn

3 SUBCONJUNTO Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B.

4 Curso Superior de PERTINÊNCIA Sendo x um elemento do conjunto A, escrevemos x A, onde o símbolo significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A, indicamos esse fato com a notação A. A { a, b, c,..., z} O conjunto que não possui elementos, é denominado conjunto vazio e representado por Φ Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.

5 CONTINÊNCIA Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A B.

6 PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(a), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A) ), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(a) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(a) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(a) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } (Ø é o conjunto vazio) Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8,...}, {1, 3, 5, 7,...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8,...} {1, 3, 5, 7,...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8,...} U {1, 3, 5, 7,...} = N.

7 IMPORTANTE a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Ø A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2 m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d}, o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {, {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

8 UNIÃO ( U ) - Conjunção RACIOCÍNIO LÓGICO OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A U B = { x x A ou x B}. Exemplo: {0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: a) A U A = A b) A U Ø = A c) A U B = B U A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A U S = S, onde S é o conjunto universo.

9 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS INTERSECÇÃO ( ) Disjunção Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção A B = {x x A e x B}. Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. RACIOCÍNIO LÓGICO Propriedades imediatas: a) A A = A b) A Æ = Æ c) A B = B A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A S = A, onde S é o conjunto universo. São importantes também as seguintes propriedades : P1. A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva) P2. A ( B C ) = (A B ) ( A C) (propriedade distributiva) P3. A (A B) = A (lei da absorção) P4. A (A B) = A (lei da absorção) Obs: Se A B = f, então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

10 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Diferença: A - B = {x x A e x B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. Propriedades imediatas: a) A - = A b) - A = c) A - A = d) (A B) (B A) ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

11 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é, que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B está contido em A, a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A. Simbologia: C A B = A - B. Caso particular: Se indicarmos por B o complementar de B em relação ao conjunto universo U observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x x B}. É óbvio, então, que: a) B U B' = b) B B' = Φ

12 UNIÃO DE CONJUNTOS Conjunto formado pelos elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos trabalhados. A B = {x/ x A ou x B} Exemplos: 1) Sejam A = {2,3,6,8} e B = {2,5,7,8}. A B = {2,3,5,6,7,8}.

13 em Gestão Financeira INTERSECÇÃO Conjunto formado pelos elementos que pertencem a todos os conjuntos com os quais trabalhamos simultaneamente. A B = {x/ x A e x B} Ex: A = {2,3,6,8} e B = {2,5,7,8} A B = {2,8}. A = {2,4,6,8,10,12}, B = {3,5,10} e C = {10,12,16] A B C = {10}.

14 DIFERENÇA DE CONJUNTOS A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que estão em A, mas não estão em B A - B = {x/ x A e x B} Da mesma forma que a diferença entre B e A é o conjunto formado pelos elementos que estão em B, mas não estão em A. B A = {x/ x B e x A}

15 Observação: Se tivermos B A, a diferença A B será chamada complementar de B em relação a A e será indicada por: C A B Dessa forma, temos que: C A B = A - B Por exemplo: A = {2,4,6,8,10,12,14} e B = {4,8,12} temos que C A B ={2,6,10,14}

16 O Número de elementos de 1 CONJUNTO FINITO O Número de elementos de um conjunto A finito representa-se por n(a). Exemplo: A = {a; b; c; d; e; f} O número de elementos de A é seis, ou seja: n(a) = 6 Aqui vai nos interessar obter o número de elementos da união de dois conjuntos

17 O Número de elementos de 2 CONJUNTOS FINITOS O diagrama a seguir representa dois conjuntos A e B, e a união A B pode ser representada pela figura toda. Agora, podemos estabelecer uma relação entre os números de elementos desses conjuntos. n(a B) = n(a) + n(b) - n(a B) 12 = O número de elementos de A B é o número de elementos de A somado ao número de elementos de B, diminuído do número de elementos de A interseção B. Observe o número de elementos de cada conjunto: n(a) = 6 n(b) = 8 n(a B) = 2 n(a B) = 12

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19 Analista - MPU Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 20 alunos praticam vôlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 17 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a a) 93. b) 103. c) 99. d) 110. e) 114