t 2 se t 0 Determine a expansão em série de potências para a função F (x) = ( 1) n y2n (2n)!, ( 1) n t4n (2n)! (2n)! ( 1) n t4n 2 dt = ( 1) n t 4n 2 )

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1 MAT456 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia Escola Politecnica - a. Prova - 8// Turma A a Questão (,) a) Seja cos (t ) f(t) = t se t se t = Determine a expansão em série de potências para a função F (x) = x =. x f(t)dt em torno de b) Calcule uma aproximação para F () com erro inferior a. Solução: (a) Sabe-se que: Assim escolhendo y = t, temos: cos y = cos (t ) = n= ( ) n yn (n)!, ( ) n t4n (n)!, n= y R t R Logo: = F (x) = = = cos (t ) = = cos t t = ( ) n t4n (n)!, ( ) n t4n t R, t R, t (n)! x ( x ) ( x f(t)dt = ( ) n t4n dt = ( ) n t 4n ) (n)! (n)! dt ( ( ) n t 4n ) x = ( ) n x 4n (4n ) (n)! (4n ) (n)! Portanto: F (x) = ( ) n x 4n (4n ) (n)! (b) Para x = : F () = ( ) n (4n ) (n)!

2 Tomando a n = (4n ) (n)!, vemos que para qualquer n>, a n é positiva, decrescente, e tem ite nulo no innito. Logo F () converge pelo critério das séries alternadas e se aproximarmos F () da seguinte maneira: F () cometemos um erro determinado por: k ( ) n (4n ) (n)! Erro < a k+ = Para que este erro seja sempre menor que, então: (4k + ) (k +! (4k + ) (k + )! < (4k + ) (k + )! > Logo, precisamos escolher k que satisfaça a inequação acima. Escolhendo k =, temos que (4k + ) (k + )! = 7 4! = 68 < Escolhendo k =, temos que (4k + ) (k + )! = 6! = 79 > Assim k satisfaz a inequação e portanto: F () ( ) n (4n ) (n)! =! + 7 4!

3 a Questão: (,5) a) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série n= x n 4 n n(ln n) b) Determine a expansão em série de potências da função f(x) = ln (x ) em torno de x =. Qual o raio de convergência? Calcule f (457) (). c) Dê a fórmula (sem calcular as integrais resultantes) dos coecientes b,..., b n que minimizam a expressão [ e x n b k sen (kx) dx k= Indique claramente a extensão adotada! Solução: (a) Do enunciado temos que a n = a n+ q = = a n x n 4 n, assim usando o critério da razão: n(ln n) x n+ 4 n n(ln n) ( 4 n+ (n + )(ln (n + )) xn = n n + (ln n) ) (ln (n + )) x 4 Calculando os ites: (I) n n + = + n = (II) (ln n) [ (ln (n + )) = ln n ln (n + ) Tomando f(x) = [ ln x, temos que: ln (x + ) ln n [ = ln (n + ) x + ln x [ = ln (x + ) /n [ = /(n + ) n + = n Portanto: q = x 4 Para a série convergir absolutamente q <, então x < 4, isto é x < então o raio de convergência é: Para os extremos (x = ±), obtemos a série: n= R = n(ln n)

4 Considere f(x) = x ln. Note que para x >, f é contínua, decrescente, positiva e com ite nulo x no innito. Como dx b ( ) x ln x = dx b ( b x ln x = = b ln x b ln b + ) = ln ln temos que a série converge pelo critério integral. Logo o intervalo de convergencia é: [, (b) A série que queremos obter é do tipo: a n (x ) n n= Portanto f(x) = ln (x ) = ln [(x ) + e f (x) = (x ) + = + ( ) x ( ) x Vemos que f (x) é a soma de uma PG de razão q = e primeiro termo. módulo da razão tem de ser menor que, logo [ ( ) f x n (x) = n (x )n = ( ) n+ Integrando f(x) = = n= n= e x < = x < = R= ( ) f n (x )n (x)dx + C = ( ) dt + C = n= n+ ( ) n (x )n+ + C, x < (n + ) n+ n= Calculando para x = obtemos C = ln e portanto: Para tanto o (x ) ( ) n n n+ dt + C n= f(x) = ln + ( ) n (x ) n+ (n + ) n+ (n + ) n=, x < Note que para calcular a 457 temos que escolher n = 456 pois a n multiplica x n e a série de potências que calculamos tem x n+ no termo geral, assim como a 457 = f (457) () 457! = f (457) () f (457) () = 456! 457! 457 c) Considere f(x) = e x para < x < π. Seja f a expansão ímpar de f no intervalo [ π, π. A série de Fourier de f dará uma expansão para f em [, π em série de senos. Logo: b k = π π f(x) sen (kx)dx = π f(x) sen (kx)dx b k = π e x sen (kx)dx, k n

5 a Questão: (,5) a) Determine a série de senos da função f(x) = π x, < x < π. Solução: b) Seja S : R R a soma da série obtida no item (a). Determine S(x) e esboce o gráco da função y = S(x). c) Calcule a soma da série n. (a) Seja f a expansão ímpar de f no intervalo [ π, π. A série de Fourier de f dará uma série senos para f em [, π. Logo: b k = π π f(x) sen (kx)dx = π f(x) sen (kx)dx = π (π x) sen (kx)dx Usando o método da integral por partes, com u = π x u = e v = sen (kx) v = b k = π [ (π x) cos (kx) k π Logo a série de senos de f é dada por: [ cos (kx) dx = π. k π k S(x) = k= sen (kx) k sen (kx) k π = ( π ) = π k k cos (kx) k : b) O gráco da soma da série de senos é dado por: Pelo teorema da convergência, no intervalo de [ π, π, S(x) vale f(x) nos pontos onde f é contínua e vale a média dos ites laterais nos pontos de continuidade. Assim de [ π, π, podemos escrever S(x) como: π x, se < x π S(x) = π x, se π x <, se x = e nos demais intervalos do tipo [ π + kπ, π + kπ consideramos a extensão periódica de S denida em [ π, π. Ou, expandindo S(x), para todo eixo real, então: π (x kπ), se kπ < x π + kπ S(x) = π (x kπ), se π + kπ x < kπ, se x = kπ, k Z. c) Pela identidade de Parseval: a + (a n + b n) = π π [f(x) dx

6 Assim, no caso do exercício: Logo: 4 n = [ f(x) dx = π π π = π (π x) π = π π = π n = π 6 [f(x) dx = π (π x) dx

7 MAT456 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia Escola Politecnica - a. Prova - 8// Turma B a Questão (,) a) Seja cos (t 4 ) f(t) = t 4 se t se t = Determine a expansão em série de potências para a função F (x) = x =. x f(t)dt em torno de b) Calcule uma aproximação para F () com erro inferior a. Solução: (a) Sabe-se que: Assim escolhendo y = t 4, temos: cos y = cos (t 4 ) = n= ( ) n yn (n)!, ( ) n t8n (n)!, n= y R t R Logo: = F (x) = = = cos (t 4 ) = = cos t4 t 4 = ( ) n t8n (n)!, ( ) n t8n 4 t R, t R, t (n)! x ( x ) ( x f(t)dt = ( ) n t8n 4 dt = ( ) n t 8n 4 ) (n)! (n)! dt ( ( ) n t 8n ) x = ( ) n x 8n (8n ) (n)! (8n ) (n)! Portanto: F (x) = ( ) n x 8n (8n ) (n)! (b) Para x = : F () = ( ) n (8n ) (n)!

8 Tomando a n = (8n ) (n)!, vemos que para qualquer n>, a n é positiva, decrescente, e tem ite nulo no innito. Logo F () converge pelo critério das séries alternadas e se aproximarmos F () da seguinte maneira: F () cometemos um erro determinado por: k ( ) n (8n ) (n)! Erro < a k+ = Para que este erro seja sempre menor que, então: (8k + 5) (k +! (8k + 5) (k + )! < (8k + 5) (k + )! > Logo, precisamos escolher k que satisfaça a inequação acima. Escolhendo k =, temos que (8k + 5) (k + )! = 4! = < Escolhendo k =, temos que (8k + 5) (k + )! = 6! = 5 > Assim k satisfaz a inequação e portanto: F () ( ) n (8n ) (n)! = 5! + 4!

9 a Questão: (,5) a) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série n= x n 9 n n(ln n) b) Determine a expansão em série de potências da função f(x) = ln (x ) em torno de x = 4. Qual o raio de convergência? Calcule f (457) (4). c) Dê a fórmula (sem calcular as integrais resultantes) dos coecientes b,..., b n que minimizam a expressão [ e x n b k sen (kx) dx k= Indique claramente a extensão adotada! Solução: (a) Do enunciado temos que a n = a n+ q = = a n x n 9 n, assim usando o critério da razão: n(ln n) x n+ 9 n n(ln n) ( 9 n+ (n + )(ln (n + )) xn = n n + (ln n) ) (ln (n + )) x 9 Calculando os ites: (I) n n + = + n = (II) (ln n) [ (ln (n + )) = ln n ln (n + ) Tomando f(x) = [ ln x, temos que: ln (x + ) ln n [ = ln (n + ) x + ln x [ = ln (x + ) /n [ = /(n + ) n + = n Portanto: q = x 9 Para a série convergir absolutamente q <, então x < 9, isto é x < então o raio de convergência é: Para os extremos (x = ±), obtemos a série: n= R = n(ln n)

10 Considere f(x) = x ln. Note que para x >, f é contínua, decrescente, positiva e com ite nulo x no innito. Como dx b ( ) x ln x = dx b ( b x ln x = = b ln x b ln b + ) = ln ln temos que a série converge pelo critério integral. Logo o intervalo de convergencia é: [, (b) A série que queremos obter é do tipo: a n (x 4) n n= Portanto f(x) = ln (x ) = ln [(x 4) + e f (x) = (x 4) + = + ( ) x 4 ( ) x 4 Vemos que f (x) é a soma de uma PG de razão q = e primeiro termo. módulo da razão tem de ser menor que, logo [ ( ) f x 4 n (x) = n (x 4)n = ( ) n+ Integrando f(x) = = n= n= e x 4 < = x 4 < = R= ( ) f n (x 4)n (x)dx + C = ( ) dt + C = n= n+ ( ) n (x 4)n+ + C, x 4 < (n + ) n+ n= Calculando para x = 4 obtemos C = ln e portanto: Para tanto o (x 4) ( ) n n n+ dt + C n= f(x) = ln + ( ) n (x 4) n+ (n + ) n+ (n + ) n=, x 4 < Note que para calcular a 457 temos que escolher n = 456 pois a n multiplica x n e a série de potências que calculamos tem x n+ no termo geral, assim como a 457 = f (457) () 457! = f (457) () f (457) () = 456! 457! 457 c) Considere f(x) = e x para < x < π. Seja f a expansão ímpar de f no intervalo [ π, π. A série de Fourier de f dará uma expansão para f em [, π em série de senos. Logo: b k = π π f(x) sen (kx)dx = π f(x) sen (kx)dx b k = π e x sen (kx)dx, k n

11 a Questão: (,5) a) Determine a série de senos da função f(x) = x π, < x < π. Solução: b) Seja S : R R a soma da série obtida no item (a). Determine S(x) e esboce o gráco da função y = S(x). c) Calcule a soma da série n. (a) Seja f a expansão ímpar de f no intervalo [ π, π. A série de Fourier de f dará uma série senos para f em [, π. Logo: b k = π π f(x) sen (kx)dx = π f(x) sen (kx)dx = π (x π) sen (kx)dx Usando o método da integral por partes, com u = x π u = e v = sen (kx) v = b k = π [ (x π) cos (kx) k π + Logo a série de senos de f é dada por: [ cos (kx) dx = π. k π k S(x) = k= sen (kx) k + sen (kx) k π = π ( ) π = k k cos (kx) k : b) O gráco da soma da série de senos é dado por: Pelo teorema da convergência, no intervalo de [ π, π, S(x) vale f(x) nos pontos onde f é contínua e vale a média dos ites laterais nos pontos de continuidade. Assim de [ π, π, podemos escrever S(x) como: x π, se < x π S(x) = x + π, se π x <, se x = e nos demais intervalos do tipo [ π + kπ, π + kπ consideramos a extensão periódica de S denida em [ π, π. Ou, expandindo S(x), para todo eixo real, então: (x kπ) π, se kπ < x π + kπ S(x) = (x kπ) + π, se π + kπ x < kπ, se x = kπ, k Z. c) Pela identidade de Parseval: a + (a n + b n) = π π [f(x) dx

12 Assim, no caso do exercício: Logo: 4 n = [ f(x) dx = π π π = π (x π) π = π π = π n = π 6 [f(x) dx = π (x π) dx