Aula 2 - Representação e arredondamento

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1 Aula 2 - Representação e arredondamento Prof. Dino Franklin 1 / 54

2 Erros e desastres clássicos encontramos diversos exemplos de desastres devidos à utilização de algoritmos numéricos fora do contexto para que foram preparados, mas também devidos à simples acumulação de erros de arredondamento ou até representação errada de resultados José Matos, Gazeta da Matemática 2 / 54

3 Erro na órbita da sonda Mars Climate Orbiter (MCO) 1999 após 9 meses de viagem, durante a entrada em orbita a sonda MCO caiu - prejuízo de U$ 125 bi à NASA. Causa do desastre: Os dados de leitura da rota estavam em [libra-força] e o software de controle os tratava como se estivessem em [newtons] 3 / 54

4 Explosão da Ariane , logo após a decolagem o foguete saiu da rota e explodiu prejuízo de 7.5 bi à ESA Causa do desastre: Erro de overfow no SRI (Inertial Reference System) duplicado [reengenharia da Ariane 4] Conversão de um valor em 64 bits para 16 bits 4 / 54

5 Alteração da composição do parlamento estadual alemão 1992, inicialmente o Partido Verde tinha 5% dos votos (percentual mínimo para se ter direito a 1 assento no Parlamento); Uma nova recontagem foi sugerida visto que a composição não propiciava a formação de uma maioria; Após nova recontagem manual, foi descoberto que o PV tinha, na verdade, 4,97% dos votos, portanto sem direito a assento no Parlamento. 5 / 54

6 Acumulação do erro no sistema antimíssil Patriot 1991, míssil Scud atingiu uma barraca e matou 25+ soldados americanos e feriu 100+ A zona estava sendo protegida pelo sistema antimíssil Patriot 0.1d b 9.5 x / 54

7 Índice da bolsa de Vancouver 1982, inicia-se um índice da bolsa de Vancouver com o valor 1000 O índice era reajustado depois de cada operação 22 meses depois o índice estava em 520 o que era inconsistente com o desempenho das ações que faziam parte da sua composição Após revisão o valor correto foi encontrado e era 1098,892 Razão do erro: truncamento, ao invés de arredondamento nos reajustes. 7 / 54

8 Representação de números inteiros no computador digital Números inteiros base β 2 n 0, representação: n = +/- (n -k n -k+1 n -k+2 n 0 ) n = +/- ( n -k β k + n -k+1 β k-1 + n -k+2 β k n 0 β 0 ) Com ni : i = 0, -1, -2,, -k 0 ni < β e n -k 0 8 / 54

9 Representação de números inteiros no computador digital Exemplo d = 3 x x x x 10 0 armazenado: n -3 =3 ; n -2 =2; n -1 =5; n 0 =6 Exemplo b = 1x2 6 +0x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +0x2 0 armazenado: n -6 =1 ; n -5 =0; n -4 =0; n -3 =1; n -2 =0; n -1 =1; n 0 =0 9 / 54

10 Representação de números inteiros no computador digital Exercício 1 Em geral a quantidade de bits designados para representar um valor inteiro corresponde à quantidade de bits do computador. Assim sendo, desconsiderando o sinal, qual é o maior e o menor números que podem ser representados em um computador de 32bits? E em um computador de 64 bits? E considerando o sinal? (Complemento de 2) 10 / 54

11 Representação de números inteiros no computador digital Se não considerarmos o sinal, os menores e maiores valores representáveis seriam Para 32 bits O menor: b = 0 d O maior: b = d Para 64 bits O menor: b = 0 d O maior: b = d 11 / 54

12 Representação de números inteiros no computador digital Considerando a representação do sinal por complemento de 2 Para 32 bits O menor: b = 2-31 = d O maior: b = = d Para 64 bits O menor: 2-63 = d O maior: = d 12 / 54

13 Representação de números reais no computador digital Notação de ponto fxo Representando x 0: Exemplo n x=± i=k x i. β i k 0 e n>0 0 x i <β β =10 e x= = i= 3 x i. β i =3 x x x x x x 10 2 armazenado: x -3 =3 ; x -2 =4; x -1 =0; x 0 =7; x 1 =1; x 2 =2 13 / 54

14 Representação de números reais no computador digital Notação de ponto futuante Representando x 0: x=±d. β e, n d= i=k d i. β i onde e é o expoente - mantissa 0 d i <β, i=1,2,...,t onde t é a precisão (dígitos significativos) Em geral, k=1. Logo, se x 0, então d 1 0 Sistema com ponto futuante normalizado 14 / 54

15 Representação de números reais no computador digital Exemplos (Ponto Flutuante) β=10 a) x=0.72=(7 x x 10 2 ) x 10 0 =0.72 x 10 0 b ) x= 17.45= (1 x x x x 10 4 )x 10 2 = x 10 3 c) x=0.0004=(4 x 10 1 )x 10 3 =0.4 x / 54

16 Representação de números reais no computador digital Exercício Represente os números em β=2 na notação de ponto futuante a) b) / 54

17 Representação de números reais no computador digital Respostas Represente os números em β=2 na notação de ponto futuante a) b) = x 2 4 = x / 54

18 Notação F F(β, t, m, M) onde: β representa a base; t, a quantidade de dígitos signifcativos m representa o limite inferior do expoente (<0) M representa o limite superior do expoente Representação: +/- 0.d 1 d 2 d 3 d 4...d t x β e 18 / 54

19 Notação F Exercício Supondo F(10, 3, 2, 2), represente: a) x = 0.72 b) x = c) x = d) x = e) x = / 54

20 Notação F Respostas com F(10, 3, 2, 2), tem-se: a) x = 0.72 = 0.72 x 10 0 b) x = = x 10 2 c) x = = x 10 4 (overfow) d) x = = x 10-1 e) x = = 0.4 x 10-3 (underfow) 20 / 54

21 Limitações da máquina Exercício Dada a função f(x)=x 3-3, e uma máquina com F(10, 10, 10, 10). Determinar x tal que f(x)=0 em [0,2]. f( x 10 1 ) = -0.2 x 10-8 f( x 10 1 ) = 0.4 x 10-8 Essa máquina não contém o número x, tal que f(x)=0 21 / 54

22 Notação F Exercício Quantos e quais números podem ser representados pelo sistema F(2,3,1,2)? - supondo ponto futuante normalizado sinal : + ou - β = 2 dígitos t = 3 ou seja: d 1 =1; d 2 ={0, 1} e d 3 ={0,1} m...m : -1, 0, 1, 2 Representação: +/- 0.d 1 d 2 d 3 x β e Quantidade = sinal x d 1 x d 2 x d 3 x e + 0 Quantidade = 2 x 1 x 2 x 2 x = / 54

23 Notação F Respostas Os números que podem ser representados pelo sistema F(2,3,1,2) são: x 2-1 = 0.25 d x 2 0 = 0.5 d x 2 1 = 1 d x 2 2 = 2 d x x x / 54

24 Mudanças de base Relembrando a) (2 para 10) b) (2 para 10) c) 13 (10 para 2) d) 3.8 (1 para 2) e) 12.2 (4 para 3) 24 / 54

25 Mudanças de base Exercício Passe os números dados abaixo β=10 para F(2,3,1,2): a) 0.38 b) 5.3 c) / 54

26 Representação do ponto futuante nos computadores Padrão IEEE Binary Point Arithmetic Standard (revisada 2008). Processadores de 32 bits (s) (c) mantissa (d) (s) sinal (1 bit) (c) característica (8 bits) - de 0 a 255 (d) mantissa (23 bits) x = (-1) s x 2 c-127 x (1+d) 26 / 54

27 Representação do ponto futuante nos computadores Padrão IEEE Binary Point Arithmetic Standard (revisada 2008). Processadores de 64 bits (s) (c) mantissa (d) (s) sinal (1 bit) (c) característica (11 bits) - de 0 a 2047 (d) mantissa (52 bits) x = (-1) s x 2 c-1023 x (1+d) 27 / 54

28 Representação do ponto futuante nos computadores Exemplos a) Qual o número (em decimal) codifcado usando a representação IEEE 754 de 64 bits: De acordo com a fórmula x = (-1) s x 2 c-1023 x (1+d) x=( 1) ( ) x= / 54

29 Representação do ponto futuante nos computadores Exemplos b) x = 0.1 d usando a IEEE 754 (32bits): Obs: o (1+d) na fórmula desloca a mantissa em 1 bit (para a esquerda) x = (-1) s x 2 c-127 x (1+d) Qual é o erro da representação? = x / 54

30 Representação do ponto futuante nos computadores Representação de não números (IEEE 754) Infnito Positivo Negativo: bit de sinal com (1) NaN bit de sinal: 0 ou 1 bits da característica: todos 1 bits da mantissa: qualquer coisa, exceto tudo 0 30 / 54

31 Arredondamento A problemática Suponha 15/7 x 1 = 15 7 x 2 = x 3 = Supondo ainda que t = 4 qual é melhor? / 54

32 Arredondamento Defnição arredondar x por outro com t menor, consiste em encontrar x, tal que x x seja o menor possível. Do exemplo anterior: = = / 54

33 Arredondamento Regra formal Supondo x e x em F(β, t, m, M) Se x = 0, então x = 0 Se x 0, escolhe-se s e e, tal que: (i) x =s. β e, onde β 1 (1 1 2 β t ) s < β t Se e [-m, M], x não pode ser representado Se e a [-m,m] (ii) então s+ 1 2 β t = 0.d 1 d 2 d 3...d t d t e trunca-se no d t x = (sinal) 0.d1 d 2 d 3...d t x β e 33 / 54

34 Arredondamento Exemplos para F(10, 3, 5, 5) Intervalo de s da fórmula: β 1 (1 1 2 β t ) s < β t 10 1 ( ) s < ou seja s < Ex. 1: x 1 = (i) x 1 = como 4 [ 5,5], (ii) x 1 = = x 1 = / 54

35 Arredondamento Ex. 2: x 2 = Ex. 3: x 3 = Ex. 4: X 4 = Ex. 5: x 5 = / 54

36 Arredondamento Ex. 2: x 2 = x2 = x 10-3 Ex. 3: x 3 = x3 = x 10 1 Ex. 4: X 4 = Overfow Ex. 5: x 5 = Underfow 36 / 54

37 Operações aritméticas com ponto futuante Todas as operações com ponto fltlante no compltador digital são arredondadas E consequentemente, as propriedades da transitividade e distributividade não se aplicam 37 / 54

38 Operações aritméticas com ponto futuante Suponha F(10, 3, _, _ ) Ex. 1: =? Ex. 2: ( ) = = ( ) = = 19.6 sem arredondamento = ( ) = = = = 52.4 sem arredondamento = / 54

39 Efeitos numéricos Cancelamento Ocorre na subtração de números quase iguais, onde o expoente do resultado é igual ao dos números Ex.: Para F(10, 10, 10, 10), = = = perd 39 / 54

40 Efeitos numéricos Cancelamento continuação Ex. alternativa x y= x y x+ y = diferença na precisão: x / 54

41 Efeitos numéricos Propagação do erro Quando uma operação parcial é muito maior que o resultado fnal Ex. Calcular e-5.25 usando a série de Taylor (t=5) e x = k=0 ( 1) k x k k! 41 / 54

42 Efeitos numéricos Propagação do erro continuação do Ex. O resultado exato é x10-2 e 5.25 = e 5.25 = Para os 20 primeiros termos, = x10-2 Causa da diferença? - Para subtrações com os valores de ordem 10 1, os termos < 10-3 são desconsiderados e.g = / 54

43 Efeitos numéricos Propagação do erro continuação do Ex. alternativa e x = 1 e x e x = k=0 x k k! Nessa abordagem, não há subtrações. Logo não há o efeito de cancelamento. 43 / 54

44 Efeitos numéricos Instabilidade numérica Quando um erro intermediário tende a aumentar em cálculos iterativos Ex.: A resolução da integral pode ser calculada por Sabendo-se que 1 I 0 =e I n =e 1 x n e x dx 0 I n =1 n I n 1 e x dx=e 1 (e 1)= / 54

45 Efeitos numéricos Instabilidade numérica continuação Ex. Com a fórmula recursiva e I0, pode-se calcular I 1 = 1 1 (0.6321) = I 2 = 1 2 (0.3679) = I 3 = 1 3 (0.2642) = I 4 = 1 4 (0.2074) = I 5 = 1 5 (0.2074) = I 6 = 1 6 (0.1480) = I 7 = 1 7 (0.1120) = / 54

46 Efeitos numéricos Instabilidade numérica continuação Ex. Analisando os dados: ~ I 0 =I 0 +ϵ 0 e ~ I n =1 n ~ I n 1 ϵ n = ~ I n I n ϵ n = nϵ n 1 ; n=1,2,... ϵ n = nϵ n 1 = (n) ( (n 1))ϵ n 2 =...=( 1) n n!ϵ 0 onde ~ I n é o valor calculado, I n o exato e ϵ 0 o erro inicial Ou seja, no n-ésimo passo, o erro tende a aumentar de um fator n 46 / 54

47 Efeitos numéricos Instabilidade numérica continuação Ex. alternativa: (torna o processo estável) Como I n 0 quando n, pode-se supor, e.g., I 20 =0 e calcular I 19, I 18,... pois o erro vai diminuindo ~ I n =I n +ϵ n e ~ I n 1 = 1 ~ I n n ϵ n 1 =( 1) n ϵ n n ; n=1,2,... ϵ 0 = ϵ 1 = ϵ 2 ϵ n 2 =...=( 1)n n! 47 / 54

48 Efeitos numéricos Modelos mal condicionados Modelos em que uma pequena variação nos dados da entrada causam grande variação nos resultados Ex.: Dado o sistema linear x+ y=2 x+1.01 y=2.01 cuja solução é (x, y) = (1, 1) Porém, se alterado para x+ y=2 x+1.01 y=2.02 a solução torna-se (x, y) = (0, 2) 48 / 54

49 Efeitos numéricos Modelos mal condicionados Continuação do Ex. x+ y=2 x+1.01 y=2.01 x+ y=2 x+1.01 y= / 54

50 Efeitos numéricos Número de condicionamento condição relativa: c r 1 signifca que o problema bem condicionado É calculado para um ponto (região) específco No caso de sistemas lineares c r = A -1. A *norma Em geral c r = f (x) / f(x) *módulo 50 / 54

51 Efeitos numéricos Ex. Analisar a instabilidade do problema em um ponto qualquer: f (x)=(ln 1 x ) 1 8 calculando a derivada: portanto, a condição relativa f ' (x)= 1 8 x (ln 1 x ) 9 8 c r = f ' (x) f (x) = 1 8 x ln 1 x nos pontos x=0 e x=1, cr Logo, muito mal condicionado 51 / 54

52 Modelos bem postos Considerações Um problema bem posto tem boa probabilidade de ser resolvido numericamente. Se o problema não for bem posto, ele precisa ser reformulado para ser tratado numericamente. 52 / 54

53 Experiência - Implementação Implemente um programa que simula o crescimento de uma população de coelhos cuja fórmula para cada nova geração é dada por: Suponha x 0 = 0.4 x i+1 = k. x i (1 x i ) e k, taxa de crescimento, de: a) 0.95 b) 3.5 c) 3.6 Analise o comportamento da população para cada k. O sistema é bem-condicionado? 53 / 54

54 Referências Capítulo 2 do livro Cálculo Numérico de Neide Bertoldi Artigo Erros da matemática podem levar ao desastre de José Matos, publicada na Gazeta de Matemática vol / 54