Tópicos. - Cálculo numérico. - Representação de números. - Análise e representação de erros

Transcrição

1 Tópicos Tópicos - Cálculo numérico - Representação de números - Representação de números em diferentes bases - Conversão de números da base b para a base decimal - Representação de números em computadores digitais - Análise e representação de erros - Fontes de erros e incertezas - Tipos de erros - Precisão e exatidão - Valores aproximados e erros - Erros de arredondamento - Erros de truncatura

2 Cálculo numérico Cálculo numérico - O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos através do computador. - Uma solução obtida via cálculo numérico é sempre numérica (solução aproximada). - Os métodos analíticos fornecem normalmente o resultado em termos de funções matemáticas. - Uma solução numérica - é uma aproximação do resultado exato, - pode ser obtida com um elevado grau de exatidão. - Uma solução numérica é calculada para problemas que - não possuem solução analítica; ou - possuam solução analítica, mas é muito cara em termos computacionais (tempo e/ou recursos).

3 Representação de números em diferentes bases Representação de números em diferentes bases - Tópicos desta secção: - Representação de números inteiros - Representação de números reais nos formatos de ponto fixo e ponto flutuante - Conversão de números inteiros - Conversão de números reais nos formatos de ponto fixo e ponto flutuante - Aritmética de ponto flutuante

4 Representação de números em diferentes bases Representação de números em diferentes bases - É comum para a maioria dos computadores, o uso de uma base numérica distinta da base decimal. - Em geral, os números são armazenados na - base 2 (binária) mais comum - base 8 (octal) ou - base 16 (hexadecimal). - A representação de números inteiros é ligeiramente distinta da representação de números reais.

5 Representação de números inteiros Representação de números inteiros - Um número inteiro N é representado, na base b, por um conjunto de dígitos a i em que - a i = 0,1,, b-1 - i assume um intervalo de valores que depende da base em uso. - As bases mais utilizadas: b a i 2 0,1 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

6 Representação de números inteiros - Há pelo menos duas maneiras de se representar um número inteiro N: - no sistema posicional - na forma polinomial - No sistema posicional - os dígitos são agrupados numa sequência, - a dimensão da contribuição de cada dígito no número depende da posição que ocupa; - um número N é escrito com o seguinte formato: N = (a n a n-1... a 1 a 0 ) b - Na forma polinomial - fica claramente explicitada a contribuição de cada dígito para o valor de N; - um número N é escrito com o seguinte formato: N = a n b n + a n-1 b n a 1 b + a 0

7 Representação de números reais Representação de números reais - Um número pode ser representado usando dois formatos: - com ponto fixo (por exemplo, 12.34); - com ponto flutuante ou vírgula flutuante (por exemplo, x10 2 ).

8 Representação de números reais formato com ponto fixo Representação de números reais formato com ponto fixo - Na representação de um número real X no formato com ponto fixo, este é composto por - uma parte inteira X i - uma parte fracionaria X f tal que X f = X X i. - Por exemplo, para X = 12.34, - X i = 12 - X f = 0.34

9 Representação de números reais formato com ponto fixo - Representação de um real em formato com ponto flutuante (semelhante à notação científica):. d 1 d 2 d 3...d p b e, em que - d k (k = 1,2,...,p) são os dígitos da parte fracionária com d k { 0,..., b-1 } e d 1 0 (se normalizado), - b é o valor da base (geralmente 2, 8, 10 ou 16), - p é o número de dígitos da parte fracionária, e - e é um expoente inteiro. - Um número real em formato com ponto flutuante é composto por três partes: - o sinal, - a parte fracionária (significando ou mantissa) e - o expoente. - Estas três partes tem um comprimento total fixo que depende - do computador e - do tipo de número (precisão simples, dupla ou estendida).

10 Representação de números reais formato com ponto fixo - Por exemplo, o número x representado por - d 1 = 4; d 2 = 2; d 3 = 7; d 4 = 3 - b = 10 - p = 4 - e = 2 - composto por - sinal: + (omitido) - mantissa: expoente: 2

11 Representação de números reais formato com ponto fixo - A representação de um número pode ser diferente entre os fabricantes do computadores, logo - um mesmo programa implementado em computadores que utilizam formatos diferentes - pode fornecer resultados diferentes. - O formato utilizado pela maioria dos computadores é padrão IEEE 754 (para binários): Propriedade Precisão Simples Dupla Estendida Comprimento total bits na mantissa bits no expoente sinal expoente máximo expoente mínimo maior número 3.40 x x x menor número 1.18 x x x dígitos decimais (precisão)

12 Conversão de números inteiros Conversão de números inteiros - Considera-se a conversão de um inteiro da base decimal para a base binária. - Um dos métodos é o das divisões sucessivas que consiste no seguinte (para um número N): - N (base decimal) e os sucessivos quocientes q i são divididos por 2 (base binária), - são guardados os restos r i { 0, 1 } até que o último quociente seja q n = 1; - ou seja, N = 2 q 1 + r 0 ; q 1 = 2 q 2 + r 1 ; q 2 = 2 q 3 + r 2 ;... ; q n-1 = 2 q n + r n-1 - o último quociente somente será 0 se N = 0 (q n = 0 N = 0); - então, N = (q n r n-1... r 1 r 0 ) 2 N = q n 2 n + r n-1 2 n-1 + r n-2 2 n r r (sistema posicional) (forma polinomial)

13 Conversão de números inteiros - Método das divisões sucessivas para converter um inteiro N (decimal) para uma qualquer base b: - divide-se N e os sucessivos quocientes q i por b - guarda-se os restos r i {0,..., b-1} até que o último quociente seja q n {1,..., b-1}; - ou seja, N = b q 1 + r 0 ; q 1 = b q 2 + r 1 ; q 2 = b q 3 + r 2 ;... ; q n-1 = b q n + r n-1 - o último quociente somente será 0 se N = 0 (q n = 0 N = 0); - então, N = (q n r n-1... r 1 r 0 ) b N = q n b n + r n-1 b n-1 + r n-2 b n r 1 b 1 + r 0 b 0 (sistema posicional) (forma polinomial)

14 Conversão de números reais formato com ponto fixo Conversão de números reais formato com ponto fixo - Considere-se a conversão de um real da base decimal para a base binária - Dado um número real X, este é composto por - uma parte inteira X i e - uma parte fracionaria X f - Para se converter este número X na base binária utiliza-se - o método das divisões sucessivas para converter X i e - o método das multiplicações sucessivas para converter X f - O método das multiplicações sucessivas consiste em - multiplicar-se X f por 2, extraindo-se a parte inteira do resultado (que pode ser 0); - o resto é novamente multiplicado por 2, - repetindo-se o processo até que - o resto fracionário seja 0 ou - se obtenha um padrão repetitivo (o número fracionário será periódico).

15 Conversão de números reais formato com ponto fixo - Exemplo 1: - Seja X f = , então x 2 = ; x 2 = ; x 2 = ; x 2 = Ou seja, = (0.1101) 2

16 Conversão de números reais formato com ponto fixo - Exemplo 2: - Considere o número X f = x 2 = 0.2; 0.2 x 2 = 0.4; 0.4 x 2 = 0.8; 0.8 x 2 = 1.6; 0.6 x 2 = 1.2; 0.2 x 2 = 0.4;... o processo de multiplicações sucessivas repete a sequencia de dígitos 0011 infinitamente. - Portanto, 0.1 = ( ) 2

17 Conversão de números reais formato com ponto fixo - Estes exemplos mostram que num computador, onde o espaço para representação de um número é finito, estes números terão que ser arredondados. - A forma polinomial de um número fracionário na base 2 é dada por: X f = Portanto, um número real X = X i + X f pode ser representado na base 2 por - Forma polinomial: X = a n 2 n + a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a a Sistema posicional: X = (a n a n-1... a 1 a ) 2

18 Conversão de números reais - em formato com ponto flutuante Conversão de números reais - em formato com ponto flutuante - Seja um computador com - dois dígitos (p = 2), - base b = 2, - expoente e { -1, 0, 1, 2 }. - Como os números reais são normalizados (d 1 0) todos eles serão da forma: e ou e, e { 1, 0,1,2}. - Considerando a conversão de binário para decimal de um número positivo menor do que 1:.10 2 = = 1/2 + 0 = 1/2, e.11 2 = = 1/2 + 1/4 = 3/4,

19 Conversão de números reais - em formato com ponto flutuante - Os únicos números positivos representáveis neste computador são: = 1/2 1/2 = 1/ = 3/4 1/2 = 3/ = 1/2 1 = 1/ = 3/4 1 = 3/ = 1/2 2 = = 3/4 2 = 3/ = 1/2 4 = = 3/4 4 = 3 - O zero é representado de uma forma especial: - todos os dígitos d k da mantissa são nulos, - o expoente é nulo; - ou seja,.00 2 x O mais importante a reter sobre os números em formato com ponto flutuante é que - são discretos e - não contínuos como na Matemática.

20 Conversão de números reais - em formato com ponto flutuante - O conceito de existir sempre um número real entre dois números reais quaisquer não é válido. - As consequências da falha deste conceito podem ser desastrosas (verificar com o exemplo): - considere-se as seguintes representações em binário: = e = se estes dois números forem armazenados naquele hipotético computador (dois dígitos para a mantissa), eles serão igualmente representados por:.10 2 x isto significa que tanto como são vistos como por aquele computador. - Esta é uma das grandes causas da ocorrência de erros de arredondamento nos processos numéricos.

21 Aritmética de ponto flutuante Aritmética de ponto flutuante - OVERFLOW: ocorre quando uma operação aritmética resultar num número que seja maior, em valor absoluto, que o maior número representável. - UNDERFLOW: ocorre quando uma operação aritmética resultar num número que seja menor, em valor absoluto, que o menor número representável diferente de zero. - Seja um hipotético computador com - dois dígitos da mantissa (p = 2), - base b = 10, - expoente e {-5,, 5};.d 1 d 2 x 10 e - Quando dois números são somados ou subtraídos, o processo é o seguinte: - os dígitos do número de menor expoente são deslocados para alinhar as casas decimais; - o resultado é então normalizado (o expoente é ajustado de forma a normalizar a mantissa, d 1 0); - por fim, o resultado é arredondado para dois dígitos para caber na mantissa (p = 2).

22 Aritmética de ponto flutuante - Exemplo 1: os números são armazenados no formato especificado, - as casas decimais são alinhadas, - a operação de adição é efetuada; - por fim, o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: =.43 x x 10-1 =.43 x x 10 1 =.4364 x x 10 1 O resultado da adição é 4.4 em vez de

23 Aritmética de ponto flutuante - Exemplo 2: os números são armazenados no formato especificado, - as casas decimais são alinhadas e - a operação de adição é efetuada; - O resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: =.37 x x 10 3 =.37 x x 10 3 =.00 x x O resultado da subtração é 0 em vez de 1.

24 Aritmética de ponto flutuante - Exemplo 3: 1234 x os números são armazenados no formato especificado, - a multiplicação é efetuada utilizando 2p = 4 dígitos na mantissa; - o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: 1234 x =.12 x 10 4 x.16 x 10-1 =.12 x 10 4 x.16 x 10-1 =.0192 x x O resultado da multiplicação é 19 em vez de

25 Aritmética de ponto flutuante - A perda de precisão quando dois números aproximadamente iguais são subtraídos é das maiores fontes de erro nas operações de ponto flutuante. - Uma das causas de se cometer erros quando se usa um computador deve-se à conversão de base: - um número é fornecido ao computador na base 10 e - armazenado na base 2. - Enquanto que - para um número inteiro, a representação é exata; por exemplo, = para um número real com parte fracionária, a representação - que tem que ser arredondado para ser armazenado em formato com ponto flutuante.

26 Conversão de números na base b para a base decimal Conversão de números na base b para a base decimal - Tópicos desta secção: - Conversão de números inteiros - Conversão de números reais fracionários - Número binário infinito

27 Conversão de números inteiros da base b para a base decimal Conversão de números inteiros da base b para a base decimal - Considere-se a conversão da base binária para a decimal. - Seja o número N representado na base binária por N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) 2 - A sua representação na base decimal pode ser obtida simplesmente pelo polinómio N = a m 2 m + a m-1 2 m a a 0 - A operacionalização deste polinómio pode ser obtida - pelo Algoritmo de Horner e - pela Divisão de Ruffini.

28 Conversão de números inteiros da base b para a base decimal Algoritmo de Horner - O número N pode ser obtido na base decimal através do cálculo da sequência: b m b m-1 = a m = a m x b m b m-2 = a m x b m b 1 = a x b 2 b 0 = a x b 1 e então, N = b 0

29 Conversão de números inteiros da base b para a base decimal - Exemplo (algoritmo de Horner): seja o número (11101) 2. b 4 = a 4 = 1 b 3 = a x b 4 = x 1 = 3 b 2 = a x b 3 = x 3 = 7 b 1 = a x b 2 = x 7 = 14 b 0 = a x b 1 = x 14 = 29 portanto, (11101) 2 = 29 10

30 Conversão de números inteiros da base b para a base decimal - Generalizando esta metodologia para converter um inteiro na base b para decimal: - Seja N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) b - A sua representação na base decimal pode ser obtida da seguinte forma: c m c m-1 = a m = a m-1 + b x c m c m-2 = a m-2 + b x c m c 1 = a 1 + b x c 2 c 0 = a 0 + b x c 1 então, N = c 0

31 Conversão de números inteiros da base b para a base decimal Divisão de Ruffini - equivalente ao algoritmo de Horner, - difere apenas na disposição dos coeficientes a i e b i : a m a m-1... a 2 a 1 a x b m... 2 x b 3 2 x b 2 2 x b 1 b m b m-1... b 2 b 1 b 0 então, N = b 0

32 Conversão de números inteiros da base b para a base decimal - Exemplo (Divisão de Ruffini): seja o número (11101) 2 a 4 a 3 a 2 a 1 a x b 4 2 x b 3 2 x b 2 2 x b 1 2 x 1 2 x 3 2 x 7 2 x 14 b 4 b 3 b 2 b 1 b portanto, (11101) 2 = 29 10

33 Conversão de números inteiros da base b para a base decimal - Generalizando esta metodologia para converter um inteiro na base b para decimal. Seja N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) b - A sua representação na base decimal pode ser obtida da seguinte forma: a m a m-1... a 2 a 1 a 0 b b x c m... b x c 3 b x c 2 b x c 1 c m c m-1... c 2 c 1 c 0 e então, N = c 0

34 Conversão de números reais Conversão de números reais - Considere-se um número fracionário com representação finita na base binária: X f = (0.a 1 a 2 a n ) 2 - O valor de X f na base decimal será dado por X f = n 2 -n - Esta soma pode ser calculada - diretamente, ou - utilizando Algoritmo de Horner e a Divisão de Ruffini com algumas modificações.

35 Conversão de números reais - Algoritmo de Horner (caso de um número fracionário na base 2): b n = a n b n-1 = a n-1 + (1/2) x b n b n-2 = a n-2 + (1/2) x b n b 2 = a 2 + (1/2) x b 3 b 1 = a 1 + (1/2) x b 2 b 0 = (1/2) x b 1 e então, N = b 0

36 Conversão de números reais - Exemplo (algoritmo de Horner): converter o número ( ) 2 b 5 = a 5 = 1 b 4 = a 4 + (1/2) x b 5 = 1 + (1/2) x 1 = 3/2 b 3 = a 3 + (1/2) x b 4 = 1 + (1/2) x (3/2) = 7/4 b 2 = a 2 + (1/2) x b 3 = 0 + (1/2) x (7/4) = 7/8 b 1 = a 1 + (1/2) x b 2 = 1 + (1/2) x (7/8) = 23/16 b 0 = (1/2) x b 1 = (1/2) x (23/16) = 23/32 e então, ( ) 2 = 23/32 =

37 Conversão de números reais - Divisão de Ruffini (caso de um número fracionário na base 2): a n a n-1... a 2 a 1 1/2 (1/2) x b m... (1/2) x b 3 (1/2) x b 2 (1/2) x b 1 b n b n-1... b 2 b 1 b 0 e então, N = b 0

38 Conversão de números reais - Exemplo: Converter o número ( ) 2 a 5 a 4 a 3 a 2 a /2 (1/2) x b 5 (1/2) x b 4 (1/2) x b 3 (1/2) x b 2 (1/2) x b 1 (1/2) x 1 (1/2) x (3/2) (1/2) x (3/4) (1/2) x (7/8) (1/2) x (23/16) b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b / / / /16 23/32 1 3/2 7/4 7/8 23/16 23/32 e então, ( ) 2 = 23/32 =

39 Número binário infinito Número binário infinito - Uma outra situação que pode ocorrer é quando o número binário for infinito: X f =( 0,α 1 α 2...α n β 1 β 2...β m) 2 em que β 1 β 2...β indica que a sequência de dígitos m β 1 β 2...β se repete infinitamente. m - Em geral, um número fracionário tem representação infinita periódica na base b da seguinte forma: X f = ( α 1 b 1 + α 2 b α n b n ) + ( β 1 b 1 + β 2 b β m b m ) bm n onde as expressões entre parênteses podem ser calculadas - diretamente ou - utilizando qualquer um dos métodos descritos anteriormente. b m 1

40 Operações com números em binário - Adição binária Operações com números em binário - Adição binária - Uma adição no sistema binário é realizada da mesma forma que a adição no sistema decimal. - A adição é realizada de acordo com as seguintes regras (considerando os dois operandos positivos): = = = = 0 (e vai 1 para o dígito de ordem superior) = 1 (e vai 1 para o dígito de ordem superior) - Para somar números com mais de 2 algarismos, - utiliza-se o mesmo processo de transporte para a coluna posterior, usado na adição decimal. Exemplo: = ( = 8 10 ) [1] [1] [1]

41 Operações com números em binário - Adição binária - Quando um dos operandos são números binários negativos, o processo a aplicar é o seguinte: - dois operandos negativos: - adicionam-se os dois números considerando o valor absoluto de cada um deles e - atribui-se o sinal de negativo; - um deles é negativo: - verifica-se qual dos dois números tem maior valor absoluto, - subtraí-se o menor valor absoluto ao maior e, - atribui-se o sinal do maior em valor absoluto.

42 Operações com números em binário - Subtração binária Operações com números em binário - Subtração binária - A subtração é análoga à adição, sendo realizada de acordo com as seguintes regras: 0-0 = = 1 (e pede emprestado 1 para o dígito de ordem superior) 1-0 = = 0 - A operação 0-1 resulta em 1, mas com o transporte de 1 para a coluna à esquerda, que deve ser - acumulado ao subtraendo e, por consequência, - subtraído do minuendo (em a-b, a o minuendo e b é o subtraendo). Exemplo 1: = ( = 2 10 ) [1]

43 Representação de números em computadores digitais Representação de números em computadores digitais - As representações de números inteiros e reais apresentadas na secção anterior não são suficientes, pois é necessário distinguir-se, por exemplo, o sinal do número. - Como não existe a representação do sinal + ou - na memória de um computador, o recurso utilizado é acrescentar um bit ao número para representar o sinal; este bit é denominado de bit de sinal. - Representação de inteiros pode ser: - em Sinal-Módulo e - em Complemento à base (a b e a b-1) - Representação de números reais pode ser: - em ponto flutuante normalizado

44 Representação de inteiros em Sinal-Módulo Representação de inteiros em Sinal-Módulo - A representação mais direta de inteiros é a de Sinal-Módulo (ou Sinal-Magnitude), onde - o valor absoluto do número inteiro é obtido diretamente a partir dos algoritmos discutidos antes, e - o sinal é representado por um dígito adicional colocado à esquerda do número. - Na representação binária, o bit de sinal ocupa a posição do bit mais significativo. - Supondo que o computador dispõe de q dígitos para a representação, um inteiro na base b será representado no computador através da seguinte sequência de dígitos (denominada palavra): a q-1 a q-2...a 1 a 0 em que { a 0, a 1,, a q-2 } { 0, 1,, b-1 } e a q-1 { 0, 1 } representa o sinal do número. - Por exemplo, no sistema binário convenciona-se usar - a q-1 = 0 para + e - a q-1 = 1 para -.

45 Representação de inteiros em Sinal-Módulo - A conversão do número internamente representado por a q-1 a q-2...a 1 a 0 para o sistema decimal é realizado através de uma fórmula semelhante à forma polinomial: N = ( 1) a q 2 q 1 ( a k ) bk, k=0 em que, N o número inteiro na base decimal q-2 é o índice do dígito mais à esquerda que representa o valor absoluto de N b a base, às vezes denominada de radix (um inteiro maior que 1) a k um dígito válido na representação (a k { 0,..., b-1 }), k = 0, 1,, q-2 a q-1 { 0, 1 } e representa o bit de sinal - Os valores para as quantidades expressas dependem da arquitetura e do compilador utilizado. - Por exemplo, um dado compilador possui 4 modelos de representação de inteiros com 1, 2, 4 e 8 bytes, também denominados de espécies.

46 Representação de inteiros em Sinal-Módulo - Sendo para todos os casos b = 2, o valor absoluto do maior número inteiro que pode ser representado p internamente para cada espécie N max, (p = 1, 2, 4, 8) é o seguinte: p N max 8p 2 = k=0 2 k = p 2 = 2 8p 1 1 = {127 (p=1) (p=2) (p=4) (p=8)

47 Representação de números inteiros em Complemento a b-1 Representação de números inteiros em Complemento a b-1 - A representação de números inteiros positivos em Complemento a b-1 é idêntica à em Sinal-Módulo. - A representação dos números negativos é obtida efetuando-se: (b - 1) menos cada algarismo do número. - Por exemplo, calcular o complemento a b 1 do número b = 10, logo complemento a b-1 será complemento a 9; - como = 702, o complemento a 9 do número -297 é 702.

48 Representação de números inteiros em Complemento a b-1 - Para se obter o complemento a b 1 de um número binário, - deve-se subtrair cada algarismo de 1 (b - 1 = 1); - como se trata de binários, basta inverter todos os bits. - Por exemplo, - o complemento a 1 (C1) do número (usando 4 dígitos) é : = Quantidade de números inteiros diferentes que se podem representar com n posições num sistema de base b: - total: b n - Por exemplo, na base 2, podem-se representar os seguintes números: = 2 números com um dígito (0, 1), = 4 números com dois dígitos (00, 01, 10, 11), = 8 números com três dígitos (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111), -...

49 Representação de números inteiros em Complemento a b-1 - A tabela seguinte apresenta a representação em C1 dos números binários de 4 dígitos: Decimal Binário em C1 Decimal (positivo) (igual a sinal-módulo) (negativo) Binário em C Note-se que há 2 representações para o zero.

50 Representação de números inteiros em Complemento a b-1 - A representação na base b = 10 com 3 dígitos varia de 000 a 999 (10 3 = 1000 representações), - representando os números de -499 a -1 com 500 a 998; - representando os números de +1 a +499 com 1 a 499; - representando o zero (0) com 000 ou Faixa de representação em C1 dos números binários com n dígitos: - menor inteiro negativo: -(2 n-1 1) - maior inteiro positivo: 2 n-1 1

51 Representação de números inteiros em Complemento a b-1 - Na aritmética em complemento a b-1, - basta somar os números, - sendo que um número negativo será representado por seu complemento a b 1. - Por exemplo, a soma decimal de 123 com -418 é: - Sinal-Módulo = Complemento a 9 (b - 1) -418 é representado por = = = 295, em que 704 é o C9 de -295 (704 está na faixa negativa).

52 Representação de números inteiros em Complemento a b Representação de números inteiros em Complemento a b - A representação dos números negativos em complemento a b é obtida - subtraindo-se da base b cada algarismo do número. - Por exemplo, na base b = 10 com 3 dígitos: 1000 x. - Uma forma alternativa é - subtrair cada algarismo de (b 1), isto é, calcular o complemento a b-1, e depois - somar 1 ao resultado. - Por exemplo, calcular o complemento a b (base = 10) do número com 3 dígitos: - usando C10: = 703; - representar o número em C9 e somar 1 ao resultado: = = Por exemplo, calcular o complemento a 2 (base = 2) do número com 4 dígitos: - usando C2: = 1101; - representar o número em C1 e somar 1: = = 1101.

53 Representação de números inteiros em Complemento a b - Tabela com a representação em C2 dos números binários de 4 dígitos: Decimal Binário em C2 Decimal (positivo) (igual a sinal-módulo) (negativo) Binário em C Comparando com a tabela anterior (para C1), - os números positivos têm a mesma representação de C1 e - o zero passou a ter apenas uma representação, - o que permitiu representar mais um número (neste caso, mais um negativo, o -8). - A faixa de representação em C2 dos números binários com n dígitos é a seguinte: menor inteiro negativo: - 2 n-1, maior inteiro positivo: 2 n-1 1.

54 Representação de números reais Representação de números reais - Representação de números reais em computadores denomina-se por - representação de ponto flutuante normalizado. - Nesta representação um número é representado internamente através de uma notação científica: - um bit de sinal s (interpretado como positivo ou negativo), - um expoente inteiro exato e - uma mantissa inteira positiva M, sendo que apenas um número limitado de dígitos é permitido para e e M.

55 Representação de números reais - Tomando todas estas quantidades juntas, estas representam o número x = s (0.d 1 d 2...d n ) b e em que, - s é o sinal do número, - os dígitos d 1, d 2,, d n - formam a mantissa M = 0.d 1 d 2...d n e - são limitados pela base b (0 d i b-1, i = 1,, n e d1 0), - o expoente e é limitado ao intervalo e { e min,..., e max }, - n 1 - denomina-se de número de dígitos do sistema e - define o tamanho da mantissa M - O valor zero não pode ser normalizado e tem representação especial: - com mantissa nula (todos dígitos iguais a zero) e - expoente o menor possível.

56 Representação de números reais - O conjunto formado pelo zero e por todos os números em notação de ponto flutuante - é chamado de Sistema de Ponto Flutuante na base b com n algarismos significativos, e - denota-se por F(b, n, e min, e max ). - Um computador apenas pode representar os valores de e e M com os dígitos na base b. - Um computador digital (b = 2) dispõe sempre de um tamanho de palavra finito: - o número total de bits que podem ser utilizados para representar s (1 bit), - o expoente e - a mantissa, é sempre fixo, para um dado tipo de números reais. - Por exemplo, um número real de precisão simples é normalmente representado por 4 bytes (32 bits): - 1 bit é utilizado para representar o sinal, - 8 bits são utilizados para representar o expoente e - os restantes 23 bits para representar a mantissa.

57 Representação de números reais - Um número real será representado na memória do computador como x = s e 7 e 6... e 1 e 0 d 1 d 2...d 22 d 23, em que s,e 0,...,e 7, d 1,...,d 23 { 0, 1 }. - Exemplo: - Considere-se dois números binários com 8 algarismos significativos em F(2, 8, -4, 5): - n 1 = => (-1) 0 x 2 2 x ( ) = n 2 = => (-1) 0 x 2 2 x ( ) = Observe que, no sistema de representação utilizado, - n 1 e n 2 são dois números consecutivos, ou seja - não se pode representar nenhum outro número que tenha valor intermédio. - Portanto, por exemplo, a quantidade não tem representação exata neste sistema, sendo representada por n 1 ou n 2, - o que gerará um erro, denominado Erro de Arredondamento.

58 Representação de números reais - Assim, - os números reais podem ser representados por uma reta contínua, - em notação de ponto flutuante apenas se podem representar pontos discretos da reta real. - Conversão de um número x representado na base b para a base decimal: x = ( 1) s b e n ( d k ) b k. k=1 - A tabela mostra alguns valores para um dado computador que usa o padrão IEEE 754. Espécie REAL (4) REAL (8) REAL (10) n e min e max X min x x x X max x x x X eps x x x 10-34

59 Representação de números reais - Como no sistema normalizado d 1 0 e dado que a base é 2, - então primeiro dígito da mantissa no sistema normalizado será sempre igual a 1 e - por esta razão não é armazenado (é o denominado bit escondido). - Esta normalização permite um ganho na precisão, pois pode-se considerar que a mantissa é armazenada em 24 bits. - Os números do sistema F = F ( b, n, e min, e max ) contêm as características: - O menor número positivo que pode ser representado neste sistema é x min = 0.1 b e min Isto significa que qualquer número x tal que x min < x < x min não poderá ser representado pelo computador - ocorre underflow. Os compiladores podem ser instruídos para - terminar o processamento neste ponto, disparando uma mensagem de erro, ou - seguir o processamento arredondando x = 0

60 Representação de números reais - O maior número positivo que pode ser representado neste sistema é x max = 0.(b 1)(b 1)...(b 1) n vezes Isto significa que qualquer número x tal que ( k) b e max = (b 1) n b be max = (1 b n ) b e max k =1 x < x max ou x > x max não poderá ser representado pelo computador ocorre overflow. Os compiladores normalmente tomam duas possíveis providências quando detetam um overflow: - param o processamento do programa emitindo uma mensagem de erro, ou - continuam o processamento atribuindo a x o valor simbólico -Infinito ou Infinito. - O maior número que pode ser somado ou subtraído a 1.0, em que o resultado permanece inalterado (i.é, a diferença entre 1.0 e o número que lhe sucede em F), é x eps = n vezes b n vezes b 1 = b 1 n em que x eps é denominada de epsilon da máquina, ϵ, ou de precisão da máquina. O epsilon da máquina, ϵ, também pode ser definido como o menor número de ponto flutuante, tal que: 1 + ϵ > 1. Esta quantidade é da maior importância na análise de erros de arredondamento.

61 Representação de números reais - De uma forma mais geral, para um número em ponto flutuante x F define-se ulp(x) = ( ) b x b e = b -n x b e = x b e em que ulp é a abreviatura para unit in the last place. Se x > 0, então ulp(x) é a distância entre x e o número que lhe sucede em F; Se x < 0, então ulp(x) é a distância entre x e o número que o antecede em F. - Apenas um conjunto finito R F de números racionais podem ser representados na forma apresentada: - estes números denominam-se de números de ponto flutuante. - Para uma representação normalizada (d 1 0), este conjunto contém precisamente 2 (b 1) b n 1 ( e max e min + 1 ) + 1 números racionais.

62 Representação de números reais - Exemplo: considere o sistema de representação numérica F(2, 4, -5, 6). Para este sistema: - O menor número positivo possível é: x min = (0.1000) = = 1 64 ; ou seja, a região de underflow consiste no intervalo 1 64 < x < O maior número positivo possível é: x max = (0.1111) = (1 2 4 ) 2 6 = 60; ou seja, as regiões de overflow consistem nos intervalos x < 60 e x > O maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0 tal que mantém o resultado inalterado é: x eps = = 2 3 = O número de elementos em R F é: 2 1 ( ) = 193.

63 Análise e representação de erros Análise e representação de erros - Tópicos - Fontes de erros e incertezas - Incerteza - Precisão e exatidão - Tipos de erros - Valores aproximados e erros - Erros de arredondamento - Erros de truncatura - Condicionamento e estabilidade - Análise de erros

64 Fontes de erros e incertezas Fontes de erros e incertezas - Embora se procure soluções exatas dos problemas reais, raramente este objetivo é atingido. - Erros e incertezas podem ser introduzidos em qualquer etapa da resolução dos problemas. - Esta secção aborda - a natureza das incertezas que surgem quando se procura a solução de um problema; - os erros introduzidos pela computação numérica para determinar a solução desejada. - Não serão considerados erros triviais que podem ser evitados, tais como - copiar uma fórmula erroneamente, ou - efetuar um erro de sintaxe na programação. - Serão abordados os erros que resultam de forma inevitável, dada a própria natureza da - representação finita de números num computador, e/ou - implementação numérica de um determinado cálculo. - As incertezas introduzidas - contaminam a solução e é importante tentar-se balancear as incertezas; - ocorrem em todas as etapas do processo de resolução de um problema.

65 Incerteza Incerteza - A incerteza é uma característica intrínseca dos problemas reais - surgindo de múltiplas origens e - possuindo natureza distinta. - A incerteza emerge da cada vez maior complexidade das interações no interior dos sistemas reais - Geralmente, é impraticável que os modelos matemáticos possam - capturar todos os fenómenos inter-relacionados relevantes presentes, - chegar até toda a informação necessária e também - dar conta das alterações e/ou hesitações relacionadas com a expressão das preferências de quem decide. - Um modelo matemático pode incluir vários tipos de incerteza, a qual pode ocorrer - nos dados do modelo, - na precisão do modelo usado para descrever o sistema, ou - na sequência de possíveis acontecimentos que podem ocorrer num sistema de acontecimentos discretos. - A importância da construção de modelos que incorporem explicitamente a incerteza está no facto de a maioria dos problemas reais não poderem ser modelados deterministicamente (de forma exata).

66 Incerteza - Algumas razões da necessidade deste tipo de modelos são as seguintes: - a natural incerteza das previsões relativas ao futuro; - a impossibilidade de medir os conceitos do mundo real com a precisão exigida pelo modelo matemático; - a impossibilidade de implementar uma solução com a precisão obtida através do modelo matemático; - a natural e constante alteração do mundo real onde a solução é implementada; - o facto das expressões matemáticas associadas ao modelo serem apenas traduções aproximadas - dos objetivos e - das restrições do problema real.

67 Incerteza - A incerteza pode ser classificada em dois tipos: - aleatória e - epistémica. - A incerteza aleatória - descreve a variação associada ao sistema físico ou ambiente em consideração, - em que esta variação é causada pela natureza aleatória dos dados associados ao problema, - podendo ser representada matematicamente por uma distribuição de probabilidade, desde que os dados experimentais disponíveis sejam suficientes. - A incerteza epistémica - está associada a um certo nível de ignorância, ou informação incompleta, do sistema ou do ambiente que o rodeia; - é usada para descrever qualquer falta de conhecimento ou informação numa qualquer fase ou atividade do processo de modelação do sistema.

68 Incerteza - São várias e distintas as causas da incerteza: - falta de informação - não tem qualquer informação sobre os dados ou - tem apenas as probabilidades de ocorrência dos dados - excesso de informação como estes dados são processados pelo analista que - os transforma em dados percetíveis, ou - centra a sua atenção nos aspetos que lhe parecem ser os mais importantes (diferentes do AD), - negligenciando todos os outros dados ou informação. - provas em conflito perante a mesma situação há diferentes interpretações, acontecendo devido ao facto - de parte da informação disponível ao analista estar errada (mas não identificável como tal), - das características da informação serem irrelevantes para o sistema, - do modelo que o analista tem do sistema ser incorreto, - etc..

69 Incerteza - ambiguidade situações em que certas informações têm - significados totalmente diferentes (em termos linguísticos) ou - uma correspondência de um para vários (matematicamente falando) - medições, se uma dada propriedade exata não puder ser medida com precisão, - tem-se alguma incerteza relativamente à medição real, - conhecendo-se apenas uma medida indicativa. - crença - situações em que a informação disponível ao analista é subjetiva; - estas situações são classificadas segundo um tipo de crença numa certa circunstância.

70 Precisão e exatidão Precisão e exatidão - A precisão - refere-se ao quão próximo um número representado pelo computador representa o número que ambiciona representar; - é caracterizada pelo número de dígitos usados na representação e na álgebra; - por exemplo, será representada com maior precisão utilizando 8 bytes do que com 4 bytes. - A exatidão - refere-se a quão próximo um número representado pelo computador está do valor correto do número que ele almeja representar; - é caracterizada pelos erros (de truncatura e arredondamento) no método numérico.

71 Precisão e exatidão - Se os números 1 = = almejam representar = o número 2 possui maior exatidão do que 1, embora ambos possuam a mesma precisão. - Os conceitos de precisão e exatidão são muitas vezes confundidos entre si. - É frequente referir-se à precisão quando o correto seria referir-se à exatidão de um resultado.

72 Tipos de erros Tipos de erros - Durante as etapas de resolução de um problema, surgem erros de várias origens que podem alterar profundamente os resultados (soluções) obtidos. - Em função da origem dos erros, pode-se considerar dois tipos: a) erros exteriores ao processo de cálculo, e b) erros que ocorrem durante o processo de cálculo. - Os erros exteriores ao processo de cálculo podem ser - iniciais (associados aos dados e aos parâmetros do modelo), - de modelação (inerentes à construção dos modelos matemáticos), e - grosseiros (inerentes à elaboração e implementação dos algoritmos); - Os erros que ocorrem durante o processo de cálculo podem ser - de arredondamento (inerentes à representação de entidades numéricas nas máquinas e às operações que um computador pode realizar), e - de truncatura (associados ao uso de métodos numéricos). - Como consequência destes erros, as soluções numéricas obtidas são, em geral, aproximadas.

73 Tipos de erros

74 Tipos de erros - Erros iniciais (nos dados do modelo) Tipos de erros - Erros iniciais (nos dados do modelo) - Na modelação matemática, muitas vezes é necessário usar dados obtidos experimentalmente. - Nesta fase, pode ocorrer - uma modelação incorreta (a expressão matemática não reflete adequadamente o fenómeno físico), ou - os dados terem sido obtidos com pouca exatidão. - Nestes casos, é necessária a realização de testes para verificar o quanto os resultados são sensíveis às alterações dos dados fornecidos (análise de sensibilidade). - Grandes alterações nos resultados devido a pequenas variações nos dados - são sintomas de um mal condicionamento do modelo proposto, - havendo então necessidade de uma nova modelação do problema. - Um problema matemático diz-se - mal condicionado: se a solução obtida (resultados) é muito sensível a pequenas variações nos dados e parâmetros do problema; - bem condicionado: se pequenas variações nos dados e parâmetros induzem sempre pequenas variações na solução.

75 Tipos de erros - Erros de modelação (ou de formulação) Tipos de erros - Erros de modelação (ou de formulação) - Está relacionado com o facto de não completarem, com rigor, o modelo matemático. - Nesta situação, deve-se ter consciência que se está a trabalhar com um modelo - mal construído e - não adequado à realidade física. - Desta forma, nenhum método numérico poderá originar resultados precisos.

76 Tipos de erros - Erro grosseiro Tipos de erros - Erro grosseiro - A possibilidade de um computador cometer um erro é muito baixa. - No entanto, podem ser cometidos erros na elaboração do algoritmo - na sua implementação, e - na introdução dos dados iniciais. - Executar o programa com dados iniciais cujos resultados (solução) são conhecidos, - ajuda a detetar erros e a removê-los, mas - demonstra, apenas, que o programa está correto para aquele conjunto de dados (por isso, é que estes dados devem ser específicos); - o ideal seria elaborar uma prova de correção de programa, o que não é uma tarefa trivial.

77 Tipos de erros - Erro de arredondamento Tipos de erros - Erro de arredondamento - Um qualquer número decimal, por exemplo (base 10), não pode ser representado exatamente num computador porque tem que ser - convertido em binário (base 2), e - armazenado num número finito de bits. - O erro causado por esta imperfeição na representação de um número é denominado de erro de arredondamento.

78 Tipos de erros - Erro de truncatura Tipos de erros - Erro de truncatura - O erro de truncatura é devido à aproximação de um problema por outro. - Por exemplo, a substituição de um problema contínuo por um discreto. - Para avaliar uma função matemática no computador, - apenas podem ser requeridas as operações aritméticas e lógicas, por serem as operações que ele é capaz de efetuar. - Por exemplo, para avaliar f(x) = sen(x) esta tem que ser aproximada por uma série, sen( x) = ( 1) n x 2n+1 n=0 (2n+1)! = x x3 6 + x5 120 x , 0 x π 4 À medida que n aumenta, mais o valor da série se aproxima do valor real.

79 Tipos de erros - Erro de truncatura - A tabela que se segue - mostra a diferença entre o valor obtida pela série de sen(x) e um valor mais exato, para n até 2, 3 e 4. - Quando n aumenta, o erro de truncatura diminui, ficando claro que estes erros são devidos às várias truncaturas da série. ( 1) n x 2n+1 n=0 (2n+1)! sen(x) x t = 2 t = 3 t = / x x x /8 7.8 x x x /6 3.3 x x x 10-9 /4 2.5 x x x 10-7

80 Valores aproximados e erros Valores aproximados e erros - Ao resolver um problema numérico no computador - obtém-se, em geral, um valor aproximado da solução exata do problema. - Assim sendo, é importante poder avaliar-se a qualidade da aproximação. - Isto é, estimar ou limitar a discrepância entre - a solução aproximada calculada e - a solução exata. - Esta qualidade pode ser medida através do cálculo dos erros - absoluto e - relativo

81 Valores aproximados e erros - Erro absoluto Valores aproximados e erros - Erro absoluto - Seja, - X o valor exato de um número e - fl(x) o seu valor aproximado por uma representação de ponto flutuante. - O erro absoluto (EA X ) é definido como - o valor absoluto da diferença entre o valor exato e o valor aproximado: EA X = X - fl(x). - Ou seja, conhecendo-se fl(x) e EA X, pode-se afirmar que X = fl(x) EA X

82 Valores aproximados e erros - Erro absoluto - Como para a maior parte dos problemas X é desconhecido, - não é possível calcular o erro absoluto, - sendo apenas possível estimar-se o seu valor. - Geralmente conhece-se a quantidade não negativa d X, tal que EA X = X - fl(x) d X que se denomina por um limite superior do erro absoluto. - Desta relação pode-se concluir que o valor exato pertence ao intervalo fl(x) - d X X fl(x) + d X

83 Valores aproximados e erros - Erro relativo Valores aproximados e erros - Erro relativo - Seja, - X o valor exato de um número e - fl(x) o seu valor aproximado, - O erro relativo (ER X ) pode ser definido como o erro absoluto dividido por X: ER X = EA X X = X fl(x) X δ X X. - Como para a maior parte dos problemas X é desconhecido, é usual substituí-lo pelo valor aproximado fl(x) no denominador da expressão para o erro relativo: ER X = EA X fl(x) = X fl(x) fl(x) δ X fl(x). - O erro relativo - não tem dimensão e, em geral - só é conhecido o limite superior do seu valor, X, que se define como ER X X - Em geral, a melhor medida para se estimar a precisão de uma aproximação é o erro relativo, pois este indica diretamente o número de dígitos significativos corretos na aproximação.

84 Valores aproximados e erros - Fórmula fundamental dos erros Valores aproximados e erros - Fórmula fundamental dos erros - Considere-se um determinado problema de cálculo numérico, Y = f(x). - Mesmo que seja possível executar f de forma exata, - qualquer perturbação no valor dos dados irá afetar o valor dos resultados; - são os erros de propagação: fl(y) = f(f(x)). - Por outro lado, mesmo que os dados sejam exatos, - o método de cálculo pode ser aproximado; - os resultados virão afetados de erros gerados: fl(y) = f (X). - Na maior parte das vezes, - ocorrem sucessivas combinações desses dois tipos de erros: fl(y) = f (fl(x)). - A fórmula fundamental do cálculo dos erros serve para indicar como se propagam os erros ao longo do processo de cálculo numérico.

85 Valores aproximados e erros - Fórmula fundamental dos erros - Seja Y = f(x), onde f é uma função continuamente diferenciável em R. - Admita-se que fl(y) = f(fl(x)), isto é, fl(y) é obtido usando aritmética exata com dados ligeiramente perturbados (fl(x)). - Então, usando o Teorema do Valor Médio (T.V.M.), - Erro absoluto: - Erros relativo: EA fl(y) = f '( ) EA X, (X, fl(x)) ER fl(y) = ER fl(y) cond f(x) = X f '( ) Y X f '(X) f (X) X f '(X) f (X) ER X, (X, fl(x)) ER X, porque X fl(x) e (X, fl(x)) - é designado por número de condição de f em X e - é um indicador do efeito da propagação do erro relativo em f(x), e - permite avaliar em que condições a função é bem ou mal condicionada.

86 Valores aproximados e erros - Fórmula fundamental dos erros - Exemplos: Analisar os efeitos da propagação de erros nas funções x n e n x com n N. (a) f(x) = x n, com n N. cond f (x) = x f '(x) f (x) = x n xn 1 x n = n Verifica-se que a propagação do erro relativo depende apenas de n e não de x. (b) f(x) = n x, com n N. cond f (x) = x f '(x) f (x) = x nx ln x n x = x ln x Verifica-se que a propagação do erro relativo depende de x e não de n.

87 Valores aproximados e erros - Número de dígitos significativos Valores aproximados e erros - Número de dígitos significativos - Quando se contabiliza o número de dígitos de um valor numérico, - não se deve incluir os zeros no início do número, - uma vez que estes zeros apenas ajudam a localizar a posição ideal do ponto decimal. - Caso se pretenda contabilizar o número de decimais, - então os zeros à direita do ponto decimal devem ser incluídos. - Exemplos: - o número é dado com três dígitos significativos mas possui cinco decimais. - o número é dado com quatro dígitos significativos, mas possui apenas dois decimais. - Uma maneira alternativa de - se estimar a qualidade da aproximação, ou seja, a exatidão do número, - consiste em calcular o número de dígitos significativos corretos da representação.

88 Valores aproximados e erros - Número de dígitos significativos - Se fl(x) é uma aproximação de X - então fl(x) aproxima X com k dígitos significativos se EA X = X fl(x) 1 2 bs+1 k, em que s é tal que b s X b s+1. - O dígito significativo do valor aproximado que se encontra - mais à esquerda é chamado de digito mais significativo e o - mais à direita digito menos significativo. - O número de dígitos significativos de um valor aproximado dá boa informação sobre a qualidade dessa aproximação.

89 Valores aproximados e erros - Número de dígitos significativos - Existe uma relação entre - o número de dígitos significativos de um valor aproximado de um número e - o erro relativo desse valor. - Se fl(x) é uma aproximação para X com k dígitos significativos numa representação de base b, então ER X = X fl(x) X 1 2 b k+1 onde k é o maior inteiro positivo para o qual a desigualdade acima é verificada. - Exemplo: - sejam b = 10, X = 1/6 e fl(x) = ; então 1/ ER X = 1/6 = ou seja, o número de dígitos significativos em fl(x) é k = 5.

90 Erros de arredondamento Erros de arredondamento - O tamanho finito da palavra utilizada num computador digital para a representação de números de ponto flutuante provoca o aparecimento de diversos tipos de erros. - Uma estratégia para reduzir estes erros, usada na maioria dos computadores, - consiste em utilizar números de ponto flutuante normalizados, - isto é, números cuja mantissa M está sempre dentro do intervalo b 1 = 1 b M < 1 = b0, ou seja, 0.5 M 1 para computadores de base b = 2. - Esta estratégia, - diminui o número de zeros à direita do ponto e - maximiza o número de dígitos não nulos utilizados para representar um número. - No entanto, mesmo num sistema com representação normalizada, nem todos os números reais podem ser representados.

91 Erros de arredondamento - Exemplo: - considere-se no sistema F(2, 4, -5, 6) o número racional y = A forma de representar y na base 2 é: y = = ( ) 2. - Para escrever y de acordo com aquele sistema, deve-se primeiro normalizar segundo as operações: Y = = ( ) 2 3, - Pode-se então identificar M = ; e = Como para o sistema F(2, 4, -5, 6) a mantissa tem apenas 4 dígitos, uma possível aproximação para y é: fl(y) = (0.1111) x 2-3, que corresponde ao seguinte número na base 10: fl(y) = , resultando nos seguintes erros absoluto e relativo: EA y = x 10-3 ER y = x 10-2 = 5.35%.

92 Erros de arredondamento - Considere-se X na forma normalizada e sem representação exata no sistema F(b, n, e min, e max ) - Pode-se escrever X como - Ou seja, com X = 0.d 1 d 2...d n d n+1... b e = ( 0.d 1 d 2...d n) be + ( d n+1... ) be = = ( 0.d 1 d 2...d n) be + ( 0.d n+1... ) be n X = ( 0.d 1 d 2...d n) be + g X b e n g X = ( 0.d n+1... ) e g X < 1 em que g X b e-n é a parcela de X que não é incluída na sua representação. - Existem duas formas de se realizar a aproximação: - arredondamento por defeito (ou corte do número) e - arredondamento simétrico.