Cálculo numérico Cálculo numérico - O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos através do computador. - Uma solução obti

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1 Tópicos Tópicos - Cálculo numérico - Representação e conversão de números - Representação de números em diferentes bases - Conversão de números da base decimal para uma qualquer base b - Conversão de números de uma qualquer base b para a base decimal - Aritmética de ponto flutuante - Operações com números em binário - Representação de números em computadores digitais - Análise e representação de erros - Fontes de erros e incertezas - Tipos de erros - Precisão e exatidão - Valores aproximados e erros - Erros de arredondamento - Erros de truncatura Capítulo 2. Computação Numérica 1/2

2 Cálculo numérico Cálculo numérico - O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos através do computador. - Uma solução obtida via Cálculo Numérico é sempre numérica (solução aproximada). - Os métodos exatos fornecem normalmente o resultado em termos de funções matemáticas. - Uma solução numérica - é uma aproximação do resultado exato, - pode ser obtida com um elevado grau de exatidão. - Uma solução numérica é calculada para problemas que - não possuem solução exata (comum nas equações diferenciais); ou - possuam solução exata, mas é muito cara em termos computacionais (tempo e/ou recursos). - Para computar (calcular por meio de um computador) uma solução numérica, são necessárias operações - aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e - lógicas (comparação, conjunção, disjunção e negação). - Considerando que estas são as únicas operações matemáticas que os computadores são capazes de realizar, então os Computadores e o Cálculo Numérico formam uma combinação perfeita. Capítulo 2. Computação Numérica 2/2

3 Representação de números em diferentes bases Representação de números em diferentes bases - É comum para a maioria dos computadores, o uso de uma base numérica distinta da base decimal. - Em geral, os números são armazenados na - base 2 (binária) mais comum - base 8 (octal) ou - base 16 (hexadecimal). - Representação de números - sistema posicional - forma polinomial - A representação de números inteiros é ligeiramente distinta da representação de números reais. - Representação de números inteiros - formato de Sinal e Magnitude - Representação de números reais - formato de ponto fixo - formato de ponto flutuante Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 1/60

4 Representação de números em diferentes bases Números inteiros Representação de números em diferentes bases Números inteiros - Um número inteiro N é representado, na base b, por um conjunto de dígitos a i em que - a i { 0,1,, b-1 } - i assume um intervalo de valores que depende da base em uso. - As bases mais utilizadas: b a i 2 0,1 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 2/60

5 Representação de números em diferentes bases Números inteiros - Representação de um número inteiro em formato de Sinal e Magnitude - no sistema posicional - na forma polinomial - No sistema posicional - os dígitos são agrupados numa sequência, - a dimensão da contribuição de cada dígito no número depende da posição que ocupa; - um número N é escrito com o seguinte formato: N = (a n a n-1... a 1 a 0 ) b - Na forma polinomial - fica claramente explicitada a contribuição de cada dígito para o valor de N; - um número N é escrito com o seguinte formato: N = a n b n + a n-1 b n a 1 b + a 0 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 3/60

6 Representação de números em diferentes bases Números reais Representação de números em diferentes bases Números reais - Um número pode ser representado usando dois formatos: - com ponto fixo (por exemplo, 12.34); - com ponto flutuante ou vírgula flutuante (por exemplo, x10 2 ). Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 4/60

7 Representação de números em diferentes bases Números reais - Representação de números reais em formato com ponto fixo - Na representação de um número real X no formato com ponto fixo, este é composto por - uma parte inteira X i (número inteiro) - uma parte fracionaria X f (número real) tal que X f = X X i. - Por exemplo, para X = 12.34, - X i = 12 - X f = 0.34 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 5/60

8 Representação de números em diferentes bases Números reais - Representação de um real em formato com ponto flutuante - notação semelhante à notação científica:.d 1 d 2 d 3...d p b e, em que - d k (k = 1,2,...,p) são os dígitos da parte fracionária com d k { 0,..., b-1 } e d 1 0 (se normalizado), - b é o valor da base (geralmente 2, 8, 10 ou 16), - p é o número de dígitos da parte fracionária, e - e é um expoente inteiro. - Um número real em formato com ponto flutuante é composto por três partes: - o sinal, - a parte fracionária (significando ou mantissa) e - o expoente. - Estas três partes tem um comprimento total fixo que depende - do computador e - do tipo de número (precisão simples, dupla ou estendida). Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 6/60

9 Representação de números em diferentes bases Números reais - Por exemplo, o número x representado por - d 1 = 4; d 2 = 2; d 3 = 7; d 4 = 3 - b = 10 - p = 4 - e = 2 - composto por - sinal: + (omitido) - mantissa: expoente: 2 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 7/60

10 Representação de números em diferentes bases Números reais - A representação de um número pode ser diferente entre os fabricantes do computadores, logo - um mesmo programa implementado em computadores que utilizam formatos diferentes pode fornecer resultados diferentes. - O formato utilizado pela maioria dos computadores é padrão IEEE 754 (para binários): Propriedade Precisão Simples Dupla Estendida Comprimento total bits na mantissa bits no expoente sinal expoente máximo expoente mínimo maior número (valor absoluto) 3.40 x x x menor número (valor absoluto) 1.18 x x x dígitos decimais (precisão) Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 8/60

11 Conversão de números da base decimal para uma base b Conversão de números da base decimal para uma base b - Conversão de números inteiros - Conversão de números reais - formato de ponto fixo - formato de ponto flutuante Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 9/60

12 Conversão de números da base decimal para uma base b - Números inteiros Conversão de números da base decimal para uma base b - Números inteiros - Considere-se a conversão de um inteiro da base decimal para a base binária - Um dos métodos é o das divisões sucessivas que consiste no seguinte (para um número N): - N (base decimal) e os sucessivos quocientes q i são divididos por 2 (base binária), - são guardados os restos r i { 0, 1 } até que o último quociente seja q n = 1; - ou seja, N = 2 q 1 + r 0 ; q 1 = 2 q 2 + r 1 ; q 2 = 2 q 3 + r 2 ;... ; q n-1 = 2 q n + r n-1 - o último quociente somente será 0 se N = 0 (q n = 0 N = 0); - então, N = (q n r n-1... r 1 r 0 ) 2 N = q n 2 n + r n-1 2 n-1 + r n-2 2 n r r 0 (sistema posicional) (forma polinomial) Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 10/60

13 Conversão de números da base decimal para uma base b - Números inteiros - Método das divisões sucessivas para converter um inteiro N (decimal) para uma qualquer base b: - divide-se N e os sucessivos quocientes q i por b - guarda-se os restos r i {0,..., b-1} até que o último quociente seja q n {1,..., b-1}; - ou seja, N = b q 1 + r 0 ; q 1 = b q 2 + r 1 ; q 2 = b q 3 + r 2 ;... ; q n-1 = b q n + r n-1 - o último quociente somente será 0 se N = 0 (q n = 0 N = 0); - então, N = (q n r n-1... r 1 r 0 ) b N = q n b n + r n-1 b n-1 + r n-2 b n r 1 b 1 + r 0 b 0 (sistema posicional) (forma polinomial) Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 11/60

14 Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto fixo Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto fixo - Considere-se a conversão de um real da base decimal para a base binária - Dado um número real X, este é composto por - uma parte inteira X i (número inteiro) e - uma parte fracionaria X f - Para se converter este número X na base binária utiliza-se - o método das divisões sucessivas para converter X i e - o método das multiplicações sucessivas para converter X f - O método das multiplicações sucessivas consiste em - multiplicar-se X f por 2, extraindo-se a parte inteira do resultado (que pode ser 0); - o resto é novamente multiplicado por 2, - repetindo-se o processo até que - o resto fracionário seja 0 ou - se obtenha um padrão repetitivo (o número fracionário será periódico). Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 12/60

15 Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto fixo - Exemplo 1: - Seja X f = , então x 2 = ; x 2 = ; x 2 = ; x 2 = Ou seja, = (0.1101) 2 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 13/60

16 Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto fixo - Exemplo 2: - Considere o número X f = x 2 = 0.2; 0.2 x 2 = 0.4; 0.4 x 2 = 0.8; 0.8 x 2 = 1.6; 0.6 x 2 = 1.2; 0.2 x 2 = 0.4;... o processo de multiplicações sucessivas repete a sequencia de dígitos 0011 infinitamente. - Portanto, 0.1 = ( ) 2 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 14/60

17 Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto fixo - Estes exemplos mostram que num computador, onde o espaço para representação de um número é finito, estes números terão que ser arredondados. - A forma polinomial de um número fracionário na base 2 é dada por: X f = Portanto, um número real X = X i + X f pode ser representado na base 2 por - Forma polinomial: X = a n 2 n + a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a a Sistema posicional: X = (a n a n-1... a 1 a ) 2 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 15/60

18 Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto flutuante Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto flutuante - Seja um computador com - dois dígitos (p = 2), - base b = 2, - expoente e { -1, 0, 1, 2 }. - Como os números reais são normalizados (d 1 0) todos eles serão da forma: e ou e, e { 1,0,1,2}. - Considerando a conversão de binário para decimal de um número positivo menor do que 1:.10 2 = = 1/2 +0 = 1/2, e.11 2 = = 1/2+ 1/4 = 3/4, Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 16/60

19 Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto flutuante - Os únicos números positivos representáveis neste computador são: = 1/2 1/2 = 1/ = 3/4 1/2 = 3/ = 1/2 1 = 1/ = 3/4 1 = 3/ = 1/2 2 = = 3/4 2 = 3/ = 1/2 4 = = 3/4 4 = 3 - O zero é representado de uma forma especial: - todos os dígitos d k da mantissa são nulos, - o expoente é nulo; - ou seja,.00 2 x O mais importante a reter sobre os números em formato com ponto flutuante é que - são discretos e - não contínuos como na Matemática. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 17/60

20 Conversão de números da base decimal para uma base b - Reais em formato com ponto flutuante - O conceito de existir sempre um número real entre dois números reais quaisquer não é válido. - As consequências da falha deste conceito podem ser desastrosas (verificar com o exemplo): - considere-se as seguintes representações em binário: = e = se estes dois números forem armazenados naquele hipotético computador (dois dígitos para a mantissa), eles serão igualmente representados por:.10 2 x isto significa que tanto como são vistos como por aquele computador. - Esta é uma das grandes causas da ocorrência de erros de arredondamento nos processos numéricos. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 18/60

21 Conversão de números de uma base b para a base decimal Conversão de números de uma base b para a base decimal - Conversão de números inteiros - Conversão de números reais fracionários - Número binário infinito Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 19/60

22 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números inteiros Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números inteiros - Considere-se a conversão da base binária para a decimal. - Seja o número N representado na base binária por N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) 2 - A sua representação na base decimal pode ser obtida simplesmente pelo polinómio N = a m 2 m + a m-1 2 m a a 0 - A operacionalização deste polinómio pode ser obtida - pelo Algoritmo de Horner e - pela Divisão de Ruffini. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 20/60

23 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números inteiros Algoritmo de Horner - Seja N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) 2 - O número N pode ser obtido na base decimal através do cálculo da sequência: b m = a m b m-1 = a m x b m b m-2 = a m x b m b 1 = a x b 2 b 0 = a x b 1 e então, N = b 0 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 21/60

24 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números inteiros Algoritmo de Horner - Exemplo: Seja o número N = (11101) 2 = (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) 2 b 4 = a 4 = 1 b 3 = a x b 4 = x 1 = 3 b 2 = a x b 3 = x 3 = 7 b 1 = a x b 2 = x 7 = 14 b 0 = a x b 1 = x 14 = 29 portanto, (11101) 2 = Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 22/60

25 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números inteiros Algoritmo de Horner - Generalizando esta metodologia para converter um inteiro na base b para decimal: - Seja N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) b - A sua representação na base decimal pode ser obtida da seguinte forma: c m = a m c m-1 = a m-1 + b x c m c m-2 = a m-2 + b x c m c 1 = a 1 + b x c 2 c 0 = a 0 + b x c 1 então, N = c 0 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 23/60

26 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números inteiros Divisão de Ruffini - Equivalente ao algoritmo de Horner, - Difere apenas na disposição dos coeficientes a i e b i - Seja N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) b - A sua representação na base decimal pode ser obtida da seguinte forma: a m a m-1... a 2 a 1 a x b m... 2 x b 3 2 x b 2 2 x b 1 b m b m-1... b 2 b 1 b 0 a m x b m a x b 3 a x b 2 a x b 1 Então, N = b 0 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 24/60

27 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números inteiros Divisão de Ruffini - Exemplo: Seja o número N = (11101) 2 = (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) 2 a 4 a 3 a 2 a 1 a x b 4 2 x b 3 2 x b 2 2 x b 1 2 x 1 2 x 3 2 x 7 2 x 14 b 4 b 3 b 2 b 1 b Portanto, (11101) 2 = Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 25/60

28 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números inteiros Divisão de Ruffini - Generalizando esta metodologia para converter um inteiro na base b para decimal. - Seja N = (a m a m-1... a 1 a 0 ) b - A sua representação na base decimal pode ser obtida da seguinte forma: a m a m-1... a 2 a 1 a 0 b b x c m... b x c 3 b x c 2 b x c 1 c m c m-1... c 2 c 1 c 0 a m-1 + b x c m a 2 + b x c 3 a 1 + b x c 2 a 0 + b x c 1 Portanto, N = c 0 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 26/60

29 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números reais Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números reais - Considere-se um número fracionário com representação finita na base binária: X f = (0.a 1 a 2 a n ) 2 - O valor de X f na base decimal será dado por X f = n 2 -n - Esta soma pode ser calculada - diretamente, ou - utilizando Algoritmo de Horner e a Divisão de Ruffini com algumas modificações. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 27/60

30 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números reais - Algoritmo de Horner (caso de um número fracionário na base 2): Seja N = (0.a 1 a 2 a n ) 2 b n = a n b n-1 = a n-1 + (1/2) x b n b n-2 = a n-2 + (1/2) x b n b 2 = a 2 + (1/2) x b 3 b 1 = a 1 + (1/2) x b 2 b 0 = (1/2) x b 1 Então, N = b 0 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 28/60

31 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números reais - Exemplo (algoritmo de Horner): Converter o número N = ( ) 2 = (0.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ) 2 b 5 = a 5 = 1 b 4 = a 4 + (1/2) x b 5 = 1 + (1/2) x 1 = 3/2 b 3 = a 3 + (1/2) x b 4 = 1 + (1/2) x (3/2) = 7/4 b 2 = a 2 + (1/2) x b 3 = 0 + (1/2) x (7/4) = 7/8 b 1 = a 1 + (1/2) x b 2 = 1 + (1/2) x (7/8) = 23/16 b 0 = (1/2) x b 1 = (1/2) x (23/16) = 23/32 Então, ( ) 2 = 23/32 = Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 29/60

32 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números reais - Divisão de Ruffini (caso de um número fracionário na base 2) Seja N = (0.a 1 a 2 a n ) 2 a n a n-1... a 2 a 1 1/2 (1/2) x b m... (1/2) x b 3 (1/2) x b 2 (1/2) x b 1 b n b n-1... b 2 b 1 b 0 a n-1 + 1/2 x b m a 2 + 1/2 x b 3 a 1 + 1/2 x b 2 1/2 x b 1 Então, N = b 0 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 30/60

33 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Números reais - Exemplo: Converter o número N = ( ) 2 = (0.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ) 2 a 5 a 4 a 3 a 2 a /2 (1/2) x b 5 (1/2) x b 4 (1/2) x b 3 (1/2) x b 2 (1/2) x b 1 (1/2) x 1 (1/2) x (3/2) (1/2) x (7/4) (1/2) x (7/8) (1/2) x (23/16) b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b / / / /16 23/32 1 3/2 7/4 7/8 23/16 23/32 Então, ( ) 2 = 23/32 = Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 31/60

34 Conversão de números de uma base b para a base decimal - Número binário infinito Conversão de números de uma base b para a base decimal - Número binário infinito - Uma outra situação que pode ocorrer é quando o número binário for infinito: X f =( 0.α 1 α 2...α n β 1 β 2...β m) 2 em que β 1 β 2...β indica que a sequência de dígitos m β 1 β 2...β se repete infinitamente. m - Em geral, um número fracionário tem representação infinita periódica na base b da seguinte forma: X f = ( α 1 b 1 + α 2 b α n b n ) + ( β 1 b 1 + β 2 b β m b m ) bm n onde as expressões entre parênteses podem ser calculadas - diretamente ou - utilizando qualquer um dos métodos descritos anteriormente. b m 1 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 32/60

35 Aritmética de ponto flutuante Aritmética de ponto flutuante - OVERFLOW: ocorre quando uma operação aritmética resultar num número que seja maior, em valor absoluto, que o maior número representável. - UNDERFLOW: ocorre quando uma operação aritmética resultar num número que seja menor, em valor absoluto, que o menor número representável diferente de zero. - Seja um hipotético computador com - dois dígitos da mantissa (p = 2), - base b = 10, - expoente e {-5,, 5};.d 1 d 2 x 10 e - Quando dois números são somados ou subtraídos, o processo é o seguinte: - os dígitos do número de menor expoente são deslocados para alinhar as casas decimais; - o resultado é então normalizado (o expoente é ajustado de forma a normalizar a mantissa, d 1 0); - por fim, o resultado é arredondado para dois dígitos para caber na mantissa (p = 2). Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 33/60

36 Aritmética de ponto flutuante - Exemplo 1: os números são armazenados no formato especificado, - as casas decimais são alinhadas, - a operação de adição é efetuada; - por fim, o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: =.43 x x 10-1 =.43 x x 10 1 =.4364 x x 10 1 O resultado da adição é 4.4 em vez de Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 34/60

37 Aritmética de ponto flutuante - Exemplo 2: os números são armazenados no formato especificado, - as casas decimais são alinhadas e - a operação de adição é efetuada; - O resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: =.37 x x 10 3 =.37 x x 10 3 =.00 x x O resultado da subtração é 0 em vez de 1. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 35/60

38 Aritmética de ponto flutuante - Exemplo 3: 1234 x os números são armazenados no formato especificado, - a multiplicação é efetuada utilizando 2p = 4 dígitos na mantissa; - o resultado é então normalizado e arredondado para dois dígitos: 1234 x =.12 x 10 4 x.16 x 10-1 =.12 x 10 4 x.16 x 10-1 =.0192 x x O resultado da multiplicação é 19 em vez de Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 36/60

39 Aritmética de ponto flutuante - A perda de precisão quando dois números aproximadamente iguais são subtraídos é das maiores fontes de erro nas operações de ponto flutuante. - Uma das causas de se cometer erros quando se usa um computador deve-se à conversão de base: - um número é fornecido ao computador na base 10 e - armazenado na base 2. - Enquanto que - para um número inteiro, a representação é exata; por exemplo, = para um número real com parte fracionária, a representação - que tem que ser arredondado para ser armazenado em formato com ponto flutuante. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 37/60

40 Operações com números em binário - Adição binária Operações com números em binário - Adição binária - Uma adição no sistema binário é realizada da mesma forma que a adição no sistema decimal. - A adição é realizada de acordo com as seguintes regras (considerando os dois operandos positivos): = = = = 0 (e vai 1 para o dígito de ordem superior) = 1 (e vai 1 para o dígito de ordem superior) - Para somar números com mais de 2 algarismos, - utiliza-se o mesmo processo de transporte para a coluna posterior, usado na adição decimal. Exemplo: = ( = 8 10 ) [1] [1] [1] Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 38/60

41 Operações com números em binário - Adição binária - Quando um dos operandos são números binários negativos, o processo a aplicar é o seguinte: - dois operandos negativos: - adicionam-se os dois números considerando o valor absoluto de cada um deles e - atribui-se o sinal de negativo; - um deles é negativo: - verifica-se qual dos dois números tem maior valor absoluto, - subtraí-se o menor valor absoluto ao maior e, - atribui-se o sinal do maior em valor absoluto. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 39/60

42 Operações com números em binário - Subtração binária Operações com números em binário - Subtração binária - A subtração é análoga à adição, sendo realizada de acordo com as seguintes regras: 0-0 = = 1 (e pede emprestado 1 para o dígito de ordem superior) 1-0 = = 0 - A operação 0-1 resulta em 1, mas com o transporte de 1 para a coluna à esquerda, que deve ser - acumulado ao subtraendo e, por consequência, - subtraído do minuendo (em a-b, a o minuendo e b é o subtraendo). Exemplo 1: = ( = 2 10 ) [1] Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 40/60

43 Representação de números em computadores digitais Representação de números em computadores digitais - As representações de números inteiros e reais apresentadas na secção anterior não são suficientes, pois é necessário distinguir-se, por exemplo, o sinal do número. - Como não existe a representação do sinal + ou - na memória de um computador, o recurso utilizado é acrescentar um bit ao número para representar o sinal; este bit é denominado de bit de sinal. - Representação de inteiros pode ser: - em Sinal-Módulo e - em Complemento à base (a b e a b-1) - Representação de números reais pode ser: - em ponto flutuante normalizado Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 41/60

44 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Sinal-Módulo) Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Sinal-Módulo) - A representação mais direta de inteiros é a de Sinal-Módulo (ou Sinal-Magnitude), onde - o valor absoluto do número inteiro é obtido diretamente a partir dos algoritmos discutidos antes, e - o sinal é representado por um dígito adicional colocado à esquerda do número. - Na representação binária, o bit de sinal ocupa a posição do bit mais significativo. - Supondo que o computador dispõe de q dígitos para a representação, um inteiro na base b será representado no computador através da seguinte sequência de dígitos (denominada palavra): a q-1 a q-2...a 1 a 0 em que { a 0, a 1,, a q-2 } { 0, 1,, b-1 } e a q-1 { 0, 1 } representa o sinal do número. - Por exemplo, no sistema binário convenciona-se usar - a q-1 = 0 para + e - a q-1 = 1 para -. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 42/60

45 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Sinal-Módulo) - A conversão do número internamente representado por a q-1 a q-2...a 1 a 0 para o sistema decimal é realizado através de uma fórmula semelhante à forma polinomial: N = ( 1) a q 2 q 1 ( a k ) bk, k=0 em que, N o número inteiro na base decimal q-2 é o índice do dígito mais à esquerda que representa o valor absoluto de N b a base, às vezes denominada de radix (um inteiro maior que 1) a k um dígito válido na representação (a k { 0,..., b-1 }), k = 0, 1,, q-2 a q-1 { 0, 1 } e representa o bit de sinal - Os valores para as quantidades expressas dependem da arquitetura e do compilador utilizado. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 43/60

46 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Sinal-Módulo) - Por exemplo, um dado compilador possui 4 modelos de representação de inteiros com 1, 2, 4 e 8 bytes, também denominados de espécies. - Sendo para todos os casos b = 2, o valor absoluto do maior número inteiro que pode ser representado p internamente para cada espécie N max, (p = 1, 2, 4, 8) é o seguinte: p N max 8p 2 = k=0 2 k = p 2 = 2 8p 1 1 = {127 (p=1) (p=2) (p=4) (p=8) Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 44/60

47 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b-1) Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b-1) - A representação de números inteiros positivos em Complemento a b-1 é idêntica à em Sinal-Módulo. - A representação dos números negativos é obtida efetuando-se: (b - 1) menos cada algarismo do número. - Por exemplo, calcular o complemento a b 1 do número b = 10, logo complemento a b-1 será complemento a 9; - como = 702, o complemento a 9 do número -297 é 702. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 45/60

48 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b-1) - Para se obter o complemento a b 1 de um número binário, - deve-se subtrair cada algarismo de 1 (b - 1 = 1); - como se trata de binários, basta inverter todos os bits. - Por exemplo, - o complemento a 1 (C1) do número (usando 4 dígitos) é : = Quantidade de números inteiros diferentes que se podem representar com n posições num sistema de base b: - total: b n - Por exemplo, na base 2, podem-se representar os seguintes números: = 2 números com um dígito (0, 1), = 4 números com dois dígitos (00, 01, 10, 11), = 8 números com três dígitos (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111), -... Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 46/60

49 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b-1) - A tabela seguinte apresenta a representação em C1 dos números binários de 4 dígitos: Decimal Binário em C1 Decimal (positivo) (igual a sinal-módulo) (negativo) Binário em C Note-se que há 2 representações para o zero. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 47/60

50 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b-1) - A representação na base b = 10 com 3 dígitos varia de 000 a 999 (10 3 = 1000 representações), - representando os números de -499 a -1 com 500 a 998; - representando os números de +1 a +499 com 1 a 499; - representando o zero (0) com 000 ou Faixa de representação em C1 dos números binários com n dígitos: - menor inteiro negativo: -(2 n-1 1) - maior inteiro positivo: 2 n-1 1 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 48/60

51 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b-1) - Na aritmética em complemento a b-1, - basta somar os números, - sendo que um número negativo será representado por seu complemento a b 1. - Por exemplo, a soma decimal de 123 com -418 é: - Sinal-Módulo = Complemento a 9 (b - 1) -418 é representado por = = = 295, em que 704 é o C9 de -295 (704 está na faixa negativa). Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 49/60

52 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b) Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b) - A representação dos números negativos em complemento a b é obtida - subtraindo-se da base b cada algarismo do número. - Por exemplo, na base b = 10 com 3 dígitos: 1000 x. - Uma forma alternativa é - subtrair cada algarismo de (b 1), isto é, calcular o complemento a b-1, e depois - somar 1 ao resultado. - Por exemplo, calcular o complemento a b (base = 10) do número com 3 dígitos: - usando C10: = 703; - representar o número em C9 e somar 1 ao resultado: = = Por exemplo, calcular o complemento a 2 (base = 2) do número com 4 dígitos: - usando C2: = 1101; - representar o número em C1 e somar 1: = = Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 50/60

53 Representação de números em computadores digitais - Números inteiros (em Complemento a b) - Tabela com a representação em C2 dos números binários de 4 dígitos: Decimal Binário em C2 Decimal (positivo) (igual a sinal-módulo) (negativo) Binário em C Comparando com a tabela anterior (para C1), - os números positivos têm a mesma representação de C1 e - o zero passou a ter apenas uma representação, - o que permitiu representar mais um número (neste caso, mais um negativo, o -8). - A faixa de representação em C2 dos números binários com n dígitos é a seguinte: menor inteiro negativo: - 2 n-1, maior inteiro positivo: 2 n-1 1. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 51/60

54 Representação de números em computadores digitais - Números reais Representação de números em computadores digitais - Números reais - Representação de números reais em computadores denomina-se por - representação de ponto flutuante normalizado. - Nesta representação um número é representado internamente através de uma notação científica: - um bit de sinal s (interpretado como positivo ou negativo), - um expoente inteiro exato e - uma mantissa inteira positiva M, sendo que apenas um número limitado de dígitos é permitido para e e M. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 52/60

55 Representação de números em computadores digitais - Números reais - Tomando todas estas quantidades juntas, estas representam o número x = s (0.d 1 d 2...d n ) b e em que, - s é o sinal do número, - os dígitos d 1, d 2,, d n - formam a mantissa M = 0.d 1 d 2...d n e - são limitados pela base b (0 d i b-1, i = 1,, n e d1 0), - o expoente e é limitado ao intervalo e { e min,..., e max }, - n 1 - denomina-se de número de dígitos do sistema e - define o tamanho da mantissa M - O valor zero não pode ser normalizado e tem representação especial: - com mantissa nula (todos dígitos iguais a zero) e - expoente o menor possível. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 53/60

56 Representação de números em computadores digitais - Números reais - O conjunto formado pelo zero e por todos os números em notação de ponto flutuante - é chamado de Sistema de Ponto Flutuante na base b com n algarismos significativos, e - denota-se por F(b, n, e min, e max ). - Um computador apenas pode representar os valores de e e M com os dígitos na base b. - Um computador digital (b = 2) dispõe sempre de um tamanho de palavra finito: - o número total de bits que podem ser utilizados para representar s (1 bit), - o expoente e - a mantissa, é sempre fixo, para um dado tipo de números reais. - Por exemplo, um número real de precisão simples é normalmente representado por 4 bytes (32 bits): - 1 bit é utilizado para representar o sinal, - 8 bits são utilizados para representar o expoente e - os restantes 23 bits para representar a mantissa. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 54/60

57 Representação de números em computadores digitais - Números reais - Um número real será representado na memória do computador como x = s e 7 e 6... e 1 e 0 d 1 d 2...d 22 d 23, em que s,e 0,...,e 7,d 1,...,d 23 {0, 1 }. - Exemplo: - Considere-se dois números binários com 8 algarismos significativos em F(2, 8, -3, 4): - n 1 = => (-1) 0 x 2 2 x ( ) = n 2 = => (-1) 0 x 2 2 x ( ) = Observe que, no sistema de representação utilizado, - n 1 e n 2 são dois números consecutivos, ou seja - não se pode representar nenhum outro número que tenha valor intermédio. - Portanto, por exemplo, a quantidade não tem representação exata neste sistema, sendo representada por n 1 ou n 2, - o que gerará um erro, denominado Erro de Arredondamento. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 55/60

58 Representação de números em computadores digitais - Números reais - Assim, - os números reais podem ser representados por uma reta contínua, - em notação de ponto flutuante apenas se podem representar pontos discretos da reta real. - Conversão de um número x representado na base b para a base decimal: x = ( 1) s b e n ( d k ) b k. k=1 - A tabela mostra alguns valores para um dado computador que usa o padrão IEEE 754. Espécie REAL (4) REAL (8) REAL (10) n e min e max X min x x x X max x x x X eps x x x Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 56/60

59 Representação de números em computadores digitais - Números reais - Como no sistema normalizado d 1 0 e dado que a base é 2, - então primeiro dígito da mantissa no sistema normalizado será sempre igual a 1 e - por esta razão não é armazenado (é o denominado bit escondido). - Esta normalização permite um ganho na precisão, pois pode-se considerar que a mantissa é armazenada em 24 bits. - Os números do sistema F = F( b, n, e min, e max ) contêm as características: - O menor número positivo que pode ser representado neste sistema é x min = 0.1 b e min Isto significa que qualquer número x tal que x min < x < x min não poderá ser representado pelo computador - ocorre underflow. Os compiladores podem ser instruídos para - terminar o processamento neste ponto, disparando uma mensagem de erro, ou - seguir o processamento arredondando x = 0 Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 57/60

60 Representação de números em computadores digitais - Números reais - O maior número positivo que pode ser representado neste sistema é x max = 0.(b 1)(b 1)...(b 1) n vezes Isto significa que qualquer número x tal que ( k) b e max = (b 1) n b be max =(1 b n ) b e max k=1 x < x max ou x > x max não poderá ser representado pelo computador ocorre overflow. Os compiladores normalmente tomam duas possíveis providências quando detetam um overflow: - param o processamento do programa emitindo uma mensagem de erro, ou - continuam o processamento atribuindo a x o valor simbólico -Infinito ou Infinito. - O maior número que pode ser somado ou subtraído a 1.0, em que o resultado permanece inalterado (i.é, a diferença entre 1.0 e o número que lhe sucede em F), é x eps = n vezes b n vezes b 1 = b 1 n em que x eps é denominada de epsilon da máquina, ϵ, ou de precisão da máquina. O epsilon da máquina, ϵ, também pode ser definido como o menor número de ponto flutuante, tal que: 1 + ϵ > 1. Esta quantidade é da maior importância na análise de erros de arredondamento. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 58/60

61 Representação de números em computadores digitais - Números reais - De uma forma mais geral, para um número em ponto flutuante x F define-se ulp(x) = ( ) b x b e = b -n x b e = x b e em que ulp é a abreviatura para unit in the last place. Se x > 0, então ulp(x) é a distância entre x e o número que lhe sucede em F; Se x < 0, então ulp(x) é a distância entre x e o número que o antecede em F. - Apenas um conjunto finito R F de números racionais podem ser representados na forma apresentada: - estes números denominam-se de números de ponto flutuante. - Para uma representação normalizada (d 1 0), este conjunto contém precisamente 2 (b 1) b n 1 ( e max e min +1 ) + 1 números racionais. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 59/60

62 Representação de números em computadores digitais - Números reais - Exemplo: considere o sistema de representação numérica F(2, 4, -5, 6). Para este sistema: - O menor número positivo possível é: x min = (0.1000) = = 1 64 ; ou seja, a região de underflow consiste no intervalo 1 64 < x < O maior número positivo possível é: x max = (0.1111) = (1 2 4 ) 2 6 = 60; ou seja, as regiões de overflow consistem nos intervalos x < 60 e x > O maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0 tal que mantém o resultado inalterado é: x eps = = 2 3 = O número de elementos em R F é: 2 1 ( ) = 193. Capítulo 2. Computação Numérica - Representação e conversão de números 60/60

63 Tópicos Tópicos - Fontes de erros e incertezas - Incerteza - Precisão e exatidão - Tipos de erros - Valores aproximados e erros - Erros de arredondamento - Erros de truncatura - Condicionamento e estabilidade - Análise de erros Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 1/52

64 Fontes de erros e incertezas Fontes de erros e incertezas - Embora se procure soluções exatas dos problemas reais, raramente este objetivo é atingido. - Erros e incertezas podem ser introduzidos em qualquer etapa da resolução dos problemas. - Esta secção aborda - a natureza das incertezas que surgem quando se procura a solução de um problema; - os erros introduzidos pela computação numérica para determinar a solução desejada. - Não serão considerados erros triviais que podem ser evitados, tais como - copiar uma fórmula erroneamente, ou - efetuar um erro de sintaxe na programação. - Serão abordados os erros que resultam de forma inevitável, dada a própria natureza da - representação finita de números num computador, e/ou - implementação numérica de um determinado cálculo. - As incertezas introduzidas - contaminam a solução e é importante tentar-se balancear as incertezas; - ocorrem em todas as etapas do processo de resolução de um problema. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 2/52

65 Incerteza Incerteza - A incerteza é uma característica intrínseca dos problemas reais - surgindo de múltiplas origens e - possuindo natureza distinta. - A incerteza emerge da cada vez maior complexidade das interações no interior dos sistemas reais - Geralmente, é impraticável que os modelos matemáticos possam - capturar todos os fenómenos inter-relacionados relevantes presentes, - chegar até toda a informação necessária e também - dar conta das alterações e/ou hesitações relacionadas com a expressão das preferências de quem decide. - Um modelo matemático pode incluir vários tipos de incerteza, a qual pode ocorrer - nos dados do modelo, - na precisão do modelo usado para descrever o sistema, ou - na sequência de possíveis acontecimentos que podem ocorrer num sistema de acontecimentos discretos. - A importância da construção de modelos que incorporem explicitamente a incerteza está no facto de a maioria dos problemas reais não poderem ser modelados deterministicamente (de forma exata). Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 3/52

66 Incerteza - Algumas razões da necessidade deste tipo de modelos são as seguintes: - a natural incerteza das previsões relativas ao futuro; - a impossibilidade de medir os conceitos do mundo real com a precisão exigida pelo modelo matemático; - a impossibilidade de implementar uma solução com a precisão obtida através do modelo matemático; - a natural e constante alteração do mundo real onde a solução é implementada; - o facto das expressões matemáticas associadas ao modelo serem apenas traduções aproximadas - dos objetivos e - das restrições do problema real. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 4/52

67 Incerteza - A incerteza pode ser classificada em dois tipos: - aleatória e - epistémica. - A incerteza aleatória - descreve a variação associada ao sistema físico ou ambiente em consideração, a qual é causada pela natureza aleatória dos dados associados ao problema, - pode ser representada matematicamente por uma distribuição de probabilidade (se os dados experimentais disponíveis são suficientes). - A incerteza epistémica - está associada a um certo nível de ignorância, ou informação incompleta, do sistema ou do ambiente que o rodeia; - é usada para descrever qualquer falta de conhecimento ou informação numa qualquer fase ou atividade do processo de modelação do sistema. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 5/52

68 Incerteza - São várias e distintas as causas da incerteza: - falta de informação - não tem qualquer informação sobre os dados ou - tem apenas as probabilidades de ocorrência dos dados - excesso de informação os dados são processados pelo analista que - os transforma em dados percetíveis, ou - centra a sua atenção nos aspetos que lhe parecem ser os mais importantes (diferentes do AD), - negligenciando todos os outros dados ou informação. - provas em conflito perante a mesma situação há diferentes interpretações, o que acontece devido - a parte da informação disponível ao analista estar errada (mas não identificável como tal), - às características da informação serem irrelevantes para o sistema, - ao modelo que o analista tem do sistema ser incorreto, - etc.. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 6/52

69 Incerteza - ambiguidade situações em que certas informações têm - significados totalmente diferentes (em termos linguísticos) ou - uma correspondência de um para vários (matematicamente falando) - medições, se uma dada propriedade exata não puder ser medida com precisão, - tem-se alguma incerteza relativamente à medição real, - conhecendo-se apenas uma medida indicativa. - crença - situações em que a informação disponível ao analista é subjetiva; - estas situações são classificadas segundo um tipo de crença numa certa circunstância. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 7/52

70 Precisão e exatidão Precisão e exatidão - A precisão - refere-se ao quão próximo um número representado pelo computador representa o número que ambiciona representar; - é caracterizada pelo número de dígitos usados na representação e na álgebra; - por exemplo, será representada com maior precisão utilizando 8 bytes do que com 4 bytes. - A exatidão - refere-se a quão próximo um número representado pelo computador está do valor correto do número que ele almeja representar; - é caracterizada pelos erros (de truncatura e arredondamento) no método numérico. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 8/52

71 Precisão e exatidão - Se os números 1 = = almejam representar = o número 2 possui maior exatidão do que 1, embora ambos possuam a mesma precisão. - Os conceitos de precisão e exatidão são muitas vezes confundidos entre si. - É frequente referir-se à precisão quando o correto seria referir-se à exatidão de um resultado. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 9/52

72 Tipos de erros Tipos de erros - Durante as etapas de resolução de um problema, surgem erros de várias origens que podem alterar profundamente os resultados (soluções) obtidos. - Em função das suas origens, pode-se considerar dois tipos de erros: - erros exteriores ao processo de cálculo, e - erros que ocorrem durante o processo de cálculo. - Os erros exteriores ao processo de cálculo podem ser - iniciais (associados aos dados e aos parâmetros do modelo), - de modelação (inerentes à construção dos modelos matemáticos), e - grosseiros (inerentes à elaboração e implementação dos algoritmos); - Os erros que ocorrem durante o processo de cálculo podem ser - de arredondamento, que são inerentes - à representação de entidades numéricas nas máquinas e - às operações que um computador pode realizar, - de truncatura (associados ao uso de métodos numéricos). - Como consequência destes erros, as soluções numéricas obtidas são, em geral, aproximadas. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 10/52

73 Tipos de erros - Erros nas diversas etapas do processo de resolução de problemas: Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 11/52

74 Tipos de erros - Erros iniciais (nos dados do modelo) Tipos de erros - Erros iniciais (nos dados do modelo) - Na modelação matemática, muitas vezes é necessário usar dados obtidos experimentalmente. - Nesta fase, pode ocorrer - uma modelação incorreta (a expressão matemática não reflete adequadamente o fenómeno físico), ou - os dados terem sido obtidos com pouca exatidão. - Nestes casos, é necessária a realização de testes para verificar o quanto os resultados são sensíveis às alterações dos dados fornecidos (análise de sensibilidade). - Grandes alterações nos resultados devido a pequenas variações nos dados - são sintomas de um mal condicionamento do modelo proposto, - havendo então necessidade de uma nova modelação do problema. - Um problema matemático diz-se - mal condicionado: se a solução obtida (resultados) é muito sensível a pequenas variações nos dados e nos parâmetros do problema; - bem condicionado: se pequenas variações nos dados e nos parâmetros induzem sempre pequenas variações na solução. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 12/52

75 Tipos de erros - Erros de modelação (ou de formulação) Tipos de erros - Erros de modelação (ou de formulação) - Está relacionado com o facto de não estar completo, com rigor, o modelo matemático. - Nesta situação, deve-se ter consciência que se está a trabalhar com um modelo - mal construído e - não adequado à realidade física. - Desta forma, nenhum método numérico poderá originar resultados precisos. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 13/52

76 Tipos de erros - Erro grosseiro Tipos de erros - Erro grosseiro - A possibilidade de um computador cometer um erro é muito baixa. - No entanto, podem ser cometidos erros na elaboração do algoritmo - na sua implementação, e - na introdução dos dados iniciais. - Executar o programa com dados iniciais cujos resultados (solução) são conhecidos, - ajuda a detetar erros e a removê-los, mas - demonstra, apenas, que o programa está correto para aquele conjunto de dados (por isso, é que estes dados devem ser específicos); - o ideal seria elaborar uma prova de correção de programa, o que não é uma tarefa trivial. Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 14/52

77 Tipos de erros - Erro de arredondamento Tipos de erros - Erro de arredondamento - Um qualquer número decimal, por exemplo (base 10), pode não ser representado exatamente num computador porque tem que ser - convertido em binário (base 2), e - armazenado num número finito de bits. - O erro causado pela imperfeição na representação de um número chama-se erro de arredondamento Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 15/52

78 Tipos de erros - Erro de truncatura Tipos de erros - Erro de truncatura - O erro de truncatura é devido à aproximação de um problema por outro. - Por exemplo, a substituição de um problema contínuo por um discreto. - Para avaliar uma função matemática no computador, - apenas podem ser requeridas as operações aritméticas e lógicas (as operações que é capaz de efetuar). - Por exemplo, para avaliar f(x) = sen(x) esta tem que ser aproximada por uma série (de Taylor), sen(x) = ( 1) n x 2n+1 n=0 (2n+1)! = x x3 6 + x5 120 x , 0 x π 4 (à medida que n aumenta, mais o valor da série se aproxima do valor real) Capítulo 2. Computação Numérica - Análise e representação de erros 16/52