CÁLCULO II. Lista Semanal 4-13/04/2018. Questão 1. Considere a curva cuja equação equação vetorial é dada por:

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1 CÁLCULO II Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro Lista Semanal - 13/0/018 Questão 1. Considere a curva cuja equação equação vetorial é dada por: r(t) = (sen t)i + ( cos t)j + e t k. (a) Determine o domínio de r(t). O domínio I de uma curva é dado pela interseção dos domínios das funções coordenadas. Logo, sejam I 1, I...I n os domínios das funções coordenadas de uma dada curva r(t), tem-se, I = I 1 I... I n Como r(t) = (sen t)i + ( cos t)j + e t k, I 1 = R, I = R, I 3 = R, então, I = I 1 I I 3 = R (b) Esboce o gráco da curva. (c) Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce. 1

2 Questão. A trajetória de uma formiga ao longo do tempo t é descrita pela equação r(t) = ( + sen 0t)(cos t)i + ( + sen 0t)(sen t)j + (cos 0t)k. Existe algum valor de t em que esta trajetória é interrompida? Justique sua resposta. Para a trajetória ser interrompida, o vetor posição descrito pela curva não deve variar, ou seja, sua derivada tem que ser nula em algum ponto t 0, para que isso ocorra. Logo, vericando: r (t) = [(+sen 0t) (cos t)+(+sen 0t)(cos t) ]i+[(+sen 0t) (sen t)+(+sen 0t)(sen t) ]j+(cos 0t) k. r (t) = [0(cos 0t)(cos t)+(+sen 0t)( sen t)]i+[0(cos 0t)(sen t)+(+sen 0t)(cos t)]j 0(sen 0t)k. Desse jeito, fazendo r (t 0 ) = (0, 0, 0), tem-se: Assim, como [0(cos 0t 0 )(cos t 0 ) + ( + sen 0t 0 )( sen t 0 )] = 0 [0(cos 0t 0 )(sen t 0 ) + ( + sen 0t 0 )(cos t 0 )] = 0 0(sen 0t 0 ) = 0 (sen 0t 0 ) = 0 0t 0 = kπ t 0 = kπ, k = 0, 1,... 0 Logo, para quando t 0 é da forma t 0 = kπ 0, t 0 não é solução da equação [0(cos 0t 0 )(cos t 0 ) + ( + sen 0t 0 )( sen t 0 )] = 0, pois o termo 0(cos 0t 0 )(cos t 0 ) nunca será 0 para termos t 0 da forma apresentada. Assim, não existe nenhum t 0 R tal que r (t 0 ) = (0, 0, 0). Logo, a trajetória da formiga nunca é interrompida. Outro modo de ver se a trajetória possui interrupções é vericar se a curva r(t) é contínua. Note que as funções coordenadas de r(t) são compostas por funções trigonométricas do tipo seno e cosseno, e de funções constantes, as quais são contínuas em R. Assim, como a soma, subtração e produto de funções contínuas resulta em uma função contínua, tem-se que r(t) é uma função contínua. Logo, por ser contínua, a trajetória descrita pela formiga não pode apresentar interruções, então, não existe nenhum valor de t R para que a trajetória descrita pela formiga seja interrompida. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro

3 Questão 3. Considere a curva r(t) e t = 1 : r(t) = ( ) 3 t i + (t )j + (e t )k. (a) Encontre r (t). Para derivar a curva r(t) é preciso derivar cada uma de suas funções coordenadas, desse modo: r (t) = ( ) 3 t i + (t ) j + t (e ) k. = ( ) 3 i + (t)j + (e t )k. (b) Encontre o vetor posição r(t) e o vetor tangente r (t) para o valor de t dado. Para encontrar os vetores r(t) e r (t), substitui-se o valor t = 1, dado anteriormente, assim: r ( ) 1 = 3 ( ) 1 i + ( ) 1 j (e )k = 8 i j + e 1 k Além disso, substitui-se o valor t = 1 na derivada da curva, assim: ( ) ( ) ( 1 3 r = i +. 1 ) j + (e 1 3 )k = i + 1 j + e 1 k (c) Determine o vetor tangente unitário para o valor de t dado. O vetor tangente ˆv, para o ponto dado, é denido como: ˆv = r (t) r (t), logo: ˆv = r 3 (t) r (t) = i + 1 j e 1 k = ( 3 ) + ( 1 ) + ( e 1 ) e 1 1 i + j 5 + e 1 e e 1 k (d) Esboce o gráco da curva, exibindo o vetor tangente encontrado no item (b). Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 3

4 Questão. Seja r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k uma curva no espaço, com a t b. (a) Descreva um método para calcular o comprimento de arco de r(t) em [a, b]. Seja r(t) = (x(t), y(t), z(t)) contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b). Seja P a partição de tal intervalo, com P da forma: P = a = t 0, t 1...t n 1, t n = b. O comprimento dos n sub-intervalos é i = t i t i 1, i = 1,...n. Seja o vetor v i o vetor que liga o ponto (x(t i 1 ), y(t i 1 ), z(t i 1 )) ao ponto (x(t i ), y(t i ), z(t i )), logo: v i = (x(t i ) x(t i 1 ), y(t i ) (t i 1 ), z(t i ) (t i 1 )). Assim, a norma de cada vetor v i é igual ao comprimento da curva no sub-intervalo i. Desse modo, o comprimento da curva r(t),representado por S, é aproximadamente a soma das normais dos vetores v i, com i = 1,..n. Logo: S n v i i=1 Contudo, tal método da um valor aproximado para o comprimento de arco. Para o cálculo exato, faz-se a norma de v i tender a 0. Além disso, como a curva r(t) satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio, tem-se que existe um c i,d i e e i que pertemcem à i, tal que: x(t i ) x(t i 1 ) = x (c i ) i ; y(t i ) y(t i 1 ) = y (d i ) i ; z(t i ) z(t i 1 ) = z (e i ) i (1) Substituindo o resul- E como v i = (x(t i ) x(t i 1 )) + (y(t i ) y(t i 1 )) + (z(t i ) z(t i 1 )). tado (1), ca: S = lim i 0 n i=1 (x (c i ) i ) + (y (d i ) i ) + (z (e i ) i ) = lim i 0 n (x (c i )) + (y (d i )) + (z (e i )) i Assim, intuitivamente, percebe-se a analogia de lim n i 0 i=1 com a integral de Riemann (embora não seja, necessariamente) e (x (c i )) + (y (d i )) + (z (e i )) com a norma da derivada de r(t). Logo, o comprimento de curva de r(t) no intervalo [a, b] é: S = b a r (t) dt (b) A partir do método descrito em (a), calcule o comprimento de arco da curva i=1 r(t) = (b cos t)i + (bsen t)j + ( 1 b )k, com 0 t π. Encontrando primeiramente a derivada da curva: r (t) = ( b sen(t), b cos(t), 0). Logo, r (t) = b sen (t) + b cos (t) = b, Assim, o comprimento de arco da curva r(t) no intervalo [0, π] é: S = π 0 r (t) dt = π 0 b dt = π b u.c. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro

5 Questão 5. Nos itens a seguir, faça o que se pede. (a) Responda: o que é uma função de duas variáveis? Seja f : A R B R; (x, y) f(x, y). Uma função de duas variáveis é um conjunto de ternas da forma (x, y, f(x, y)), cuja associação de cada par (x, y) com um f(x, y) é feita a partir de uma lei de associação f, com a condição de que um (x, y) se associe a somente um f(x, y). Ou seja, de forma prática, o conceito é análogo ao de uma função de uma varivável. Assim, x e y atuariam como variáveis independentes e z = f(x, y) seria a variável dependende (pois depende de x e y). Além disso, como o domínio é um subconjunto do R e a imagem um subconjunto do R, o gráco de f(x, y) é formado pelo conjunto de pontos da forma (x, y, f(x, y)), logo, está no R 3. (b) Descreva dois métodos para visualizar uma função de duas variáveis. Pode-se reconhecer uma função de duas variáveis, por uma tabela de dados. Assim, dada uma tabela de dados, a condição para que tal tabela possa representar uma função é que a associação entre os dados seja tal que cada elemento do domínio (das variáveis independentes) esteja associado a somente um elemento da imagem (da variável dependente). Exemplo: Seja a tabela de dados abaixo, que expressa a temperatura de uma sala de aula (em um dado momento) em função da posição, de uma sala que possui dimensões de metros de comprimento e metros de largura e o condicionador de ar, que está em um dos cantos da sala, está no ponto (0, 0). Posição(x,y) Temperatura ( C) (0,0) 16 (0,) 18 (0,) 19 (,0) 18 (,0) 19 (,) 19 (,) 0 Um modo bastante comum para a visualização de uma função de duas variáveis é a partir de seu gráco, ou seja, dada uma função f(x, y), cujos valores de x e y pertencem ao conjunto D, o gráco de f(x, y) é o conjunto de pontos S = {(x, y, f(x, y)); x, y D}. O gráco da função é um modo geométrico de visualizá-la. Exemplo: Dada a função f(x, y) = x + y, o conjunto de pontos que descreve o seu gráco é: Outro método para se visualizar a função é o método das curvas de nível. Mais precisamente, o método das curvas de nível permite identicar o comportamento gráco da função. O método baseia-se em fazer "cortes"no gráco de f(x, y) e projetá-los no plano xy. Ou seja, dada a função f(x, y), faz-se a interseção de tal função com o plano z = k, o que implica dizer que se projeta no plano xy o conjunto de pontos que satisfaz f(x, y) = k. Com tal método pode-se identicar se a superfície formada pelo gráco está cando mais "inclinada"(se as curvas de nível estiverem mais próximas) ou mais "achatada"(se as curvas de nível estiverem mais afastadas). Exemplo: Seja f(x,y)= x + y. O seu gráco é: Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 5

6 Fazendo f(x, y) = k, para descrever as suas curvas de nível, tem-se: x + y = k x + y = k Logo, são circunferências de centro C(0, 0) cujos raios são iguais a k. Segue a imagem das curvas de nível referentes aos níveis, 1, e 3. (c) Dê um exemplo do quotidiano em que você identica a presença de uma função de duas variáveis. Faça uma breve explicação informando as variáveis envolvidas e o possível comportamento da função envolvida. Dado que uma determinada pessoa foi ao mercado fazer compras e que o preço do kilo do arroz é R$ 3, 00 e o preço do kilo do feijão é R$, 00, tem-se que o quanto de dinheiro que ela irá gastar é dado pela função gasto, que depende da quantidade comprada de arroz e de feijão ( os quais eu irei representar por x e y, respectivamente). Desse modo, a função gasto, G(x, y), é dada por: G(x, y) = 3x + y. Logo, a quantidade comprada de arroz (x) e a comprada de feijão (y), são as variáveis independentes (desconsiderando as mudanças de preços ocasionadas por fatores externos) e a variável z = G(x, y) é a variável dependente. Note que G(x, y) é uma função crescente, ou seja, conforme compra-se uma maior quantidade de arroz e/ou feijão, o gasto aumenta, e caso se compre uma quantidade menor de arroz e/ou feijão, o gasto diminui. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 6