o anglo resolve a provas da IBMEC novembro de 2007

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1 o anglo resolve a provas da IMEC novembro de 007 É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as ancas Eaminadoras em sua tarefa de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do nglo. No final, um comentário sobre as disciplinas. Seleciona 00 alunos para o curso de dministração de Empresas e 0 alunos para o curso de Economia, ambos diurnos e com duração de anos. São duas provas em um único dia: primeira, iniciada às 8h, consta de questões objetivas de nálise Quantitativa Objetiva (0), nálise Verbal (), Língua Inglesa (0) e Conhecimentos Gerais História e Geografia (). Cada questão vale ponto. segunda, iniciada às h, consta de 0 questões de nálise Quantitativa Discursiva, valendo, pontos cada, e de uma Redação, que vale pontos. Opcionalmente pode ser utilizado um décimo da nota objetiva do ENEM. Serão desclassificados os candidatos que não obtiverem pontuação em qualquer das disciplinas ou cujo total de pontos seja menor que 0. Código:

2 R E DÇ Ã O Considere o trecho abaio. Nossa vontade e o nosso pensamento São as mãos pelas quais os outros nos guiam Para onde eles querem E nós não desejamos Ricardo Reis Desenvolva uma dissertação em prosa sobre o tema: s mãos que nos guiam. Conforme indicado, utilize o próprio tema como título de sua dissertação. s mãos que nos guiam nálise da proposta partir de um fragmento de Ricardo Reis, solicitou-se uma dissertação, com cerca de 0 linhas, discutindo a questão das influências racionais a que nos submetemos, eposta por meio da frase: s mãos que nos guiam. proposta permite que se conceba o tema a partir de duas vertentes: destacando o papel negativo dessa influência eterior, que nos manipula e nos afasta de nossos desejos mais autênticos, muitas vezes alheios a um discurso coletivo; ou ressalvando aspectos positivos, já que a vida em sociedade eige um grau considerável de renúncia aos desejos individuais em prol dos valores da coletividade. Para desenvolver a questão proposta, o teto poderia ater-se a apenas uma dessas abordagens ou enfocá-las ambas, propondo uma refleão sobre a relação entre a sociedade racionalista, as correntes de pensamento orquestradas pela razão e os desejos individuais. Encaminhamentos possíveis Uma abordagem a partir da primeira perspectiva poderia desenvolver a tese de que, por meio da razão, instrumentalizada para servir aos objetivos tidos como coletivos, a sociedade promove uma autêntica domesticação do homem, manipulando suas aspirações genuínas a tal ponto que ele chega a não se reconhecer, tornando-se mero instrumento da reprodução, de bens e de idéias. Uma perspectiva mais fleível apesar de reconhecer que o pensamento coletivo, formalizado pela razão, no eercício de seu papel disciplinador, por vezes leva à repressão e ao embotamento não deiaria de destacar o papel fundamental da razão para que se estabeleçam critérios universalmente válidos que organizem a sociedade. Sem essa intermediação da razão, cada um agiria pautado eclusivamente por seus desejos momentâneos, inviabilizando qualquer julgamento objetivo. Nesse caso, o único limite para a realização dos desejos individuais seria a força, o que tornaria os mais fracos presa fácil dos mais fortes.

3 E Questão NÁLI L SE ÓG IC QUNTI DIS CU TT VI RS VI O polígono CDEF da figura abaio tem área, e o triângulo DF tem área,. F D E C Calcule os valores de e. F D E C Do enunciado, temos: ( + ) =, () + = () + = = () + = () Substituindo () em (): = + = = 0 ou = (não serve) Com =, tem-se = 7. Resposta: = e = 7

4 Questão Uma nova loteria foi inventada, a trigoloteria. Nessa loteria, um apostador precisa escolher apenas um número θ π no intervalo 0;. Depois disso, o apostador gira duas roletas e ao mesmo tempo duas vezes. Os resultados de cada roleta podem ser apenas prêmio ou perdeu. O apostador ganha na trigoloteria se obtiver duas vezes consecutivas o resultado prêmio em pelo menos uma das roletas. tabela abaio indica as probabilidades das duas roletas fornecerem o resultado prêmio em cada uma das duas rodadas. Roleta ª rodada sen(θ) cos(θ) ª rodada cos(θ) sen(θ) a) Calcule, em função de θ, a probabilidade de uma pessoa que aposta uma vez não ganhar na trigoloteria. b) Determine o valor de θ para o qual a probabilidade de alguém que faz uma aposta não ganhar na trigoloteria é a menor possível. a) Sejam os eventos: obter duas vezes consecutivas o resultado prêmio na roleta. obter duas vezes consecutivas o resultado prêmio na roleta. Então, p() = senθ cosθ e p() = cosθ senθ. Para não ganhar na trigoloteria, é preciso que não ocorram o evento nem o evento. ssim, a probabilidade p pedida é tal que:. p = [ p()] [ p()] p = [ senθcosθ] [ cosθsenθ] p = ( senθcosθ) sen(θ) p = Resposta: sen(θ) b) Com θ π sen(θ) 0;, temos 0. Logo, o valor de p é o menor possível quando sen(θ) é máimo. ssim, devemos ter: sen(θ) = e 0 θ θ = θ = π π π Resposta: π

5 Questão média semestral de um estudante que cursa uma determinada disciplina é calculada com base nas notas de três avaliações que ele realiza durante o semestre (, e ). tabela abaio indica os pesos atribuídos a cada avaliação. valiação Peso 0% 0% 0% Para incentivar seus alunos a não faltarem na avaliação, o professor dessa disciplina determinou a seguinte regra de cálculo para quem faltasse nessa avaliação: adotar para um valor igual a menos raiz quadrada do valor de, ou seja: Valor para = Valor de. a) Se um estudante tirou nota dez na avaliação e faltou na avaliação, qual a nota que ele precisa tirar em para ficar com média semestral igual a 7? b) Um estudante tirou dez na avaliação e faltou na avaliação. Qual é o menor valor possível para a média semestral desse estudante? a, a e a denotam, nessa ordem, as notas das avaliações, e. Não faltando na avaliação, a média é dada por (0,a + 0,a = 0,a ). Faltando na avaliação, a média é dada por 0,a 0, a + 0,a e, neste caso, tirando nota dez na avaliação, a média é dada por = 0, a + 0,a, ou ainda = 0, 0, +, em que = a. a) 0, 0, + = 7 e 0 0, 0, = 0 0 = 0 = 0 e 0 = a = e a = 9 Resposta: 9 b) abscissa do vértice da parábola dada por = 0, ( 0, ) 0, + é v = = 0,. 0, O valor mínimo de é 0, 0, 0, 0, + =,97. Resposta:,97 Questão Considere a epressão = cos( ), em que IR, para responder o que se pede a seguir. a) Determine o menor valor real de para o qual cos( ) =. Dados: log 0,0 e logπ 0,0. b) Sabendo que cos( ) =, calcule cos( + ). 6

6 a) Com IR, temos 0. De cos( ) =, temos = hπ, com h Z. Logo, o menor valor real de é tal que = π (h = ). Temos: log = log(π) log = log + logπ 0,0 0,0 + 0,0 0,80,67 0,0 Resposta:,67 (apro.) b) Para todo real a, temos cos(a) = cos a. ssim, temos; cos( ) = cos ( ) cos( + ) = cos( + ) = 9 cos( + ) = 6 8 Resposta: 8 Questão figura abaio ilustra um campo de futebol. R P Q Um jogador posicionado no ponto P fará um lançamento para o atacante de seu time que está no lado oposto do campo sobre o ponto Q, de modo que a bola siga a trajetória da reta de equação 7 7 = 0. O jogador não goleiro do time adversário que está mais à direita no campo, localiza-se sobre o ponto R. Para que não seja considerado impedido, o atacante precisa, no momento do lançamento, estar num ponto alinhado verticalmente (paralelo ao eio O) ou mais à esquerda do que o ponto R. a) Determine a menor distância que o atacante precisará correr para chegar à linha de trajetória da bola sem ser considerado impedido. b) O objetivo do atacante é chutar para o gol delimitado pelas traves que estão sobre os pontos e. Para isso, ele pretende pegar a bola sobre o ponto que gerou a distância mínima do item anterior, correr com ela para a esquerda numa trajetória paralela ao eio O até um ponto C, localizado a uma distância k da linha do fim do campo (reta ), e chutar para o gol. Determine k para que o ângulo de visão do atacante tg(β) tg(α) ( Ĉ) seja o maior possível. (Se necessário, utilize a fórmula tg(β α) = + tg(β)tg(α) 7

7 s R a) Vamos obter o ponto M, intersecção da reta r de equação 7 7 = 0 com a reta s de equação =. 7 7 = 0 = = e = Logo, M(, ). Portanto a menor distância pedida é QM r M P Q 7 Q, M(, ) QM = ( ) QM = Resposta: b) Consideremos uma circunferência λ de raio R que passa pelos pontos, e C e seja θ a medida do ângulo de visão Ĉ. Se o centro do circunferência é o ponto O, então a medida do ângulo central Ô é θ. λ O θ θ R R t M t reta t é paralela e dista do eio O, pois ela passa pelo ponto M(, ). Temos: senθ = R Logo, θ é máimo quando R for mínimo, o que ocorre quando a circunferência λ é tangente à reta t, ou seja, R =. Daí, senθ = e θ = 0º. C θ k 8

8 Nessas condições, temos a figura: O 0º 0º k ssim: k + = k = Resposta: t C k Nota: o jogador pega a bola e corre para a direita do campo. Questão 6 O frasco de um determinado perfume tem a forma de um cilindro cuja base é um círculo de diâmetro cm e cuja altura mede 9,9 cm. Para ser eportado em grandes quantidades, esses frascos são primeiro embalados em caiinhas de base quadrada (lado igual a cm) e altura medindo 0 cm. Essas caiinhas são depois acondicionadas em caias cúbicas maiores de lado 0 cm, sem que sobre espa co dentro da caia grande. (Considere o volume de perfume dentro de um frasco como sendo igual ao volume do frasco e utilize nos seus cálculos π.) 99 a) Determine o volume do espaço que sobra dentro de cada caiinha de embalagem individual quando o frasco de perfume é ali inserido. b) O fabricante desse perfume contratou um designer de embalagem para estudar uma forma de desperdiçar menos espaço no transporte desse produto. s recomendações desse estudo foram as seguintes: fornecer 0,9cm a mais de perfume por frasco, aumentando nessa mesma quantidade o volume do frasco; mudar a forma do frasco para um paralelepípedo de base quadrada e altura 8cm e acondicioná-los em caiinhas de mesmas dimensões. Determine quantos frascos a mais poderão ser acondicionados em cada caia grande. a) O volume V pedido, em cm é tal que: V = V caiinha V frasco V = 0 π 9,9 V = 0 9,9 99 V = 8,9 Resposta: 8,9cm 9

9 b) O número n 0 de frascos que são acondicionados em cada caia grande atualmente é tal que: n 0 V caiinha = V caia n 0 ( 0) = 0 n 0 = 600 Sendo l a medida do lado da base do novo frasco, em cm, temos: V frasco novo = V frasco antigo + 0,9 l l 8 = π 9,9 + 0,9 8l = 9,9 + 0,9 l = 99 O número n de frascos que poderão ser acondicionados em cada caia grande é tal que: n ( 8) = 0 n = 000 Então, o aumento do número de frascos é de , ou seja, 00. Resposta: 00 Questão 7 Um menino tem como passatempo construir triângulos com palitos de fósforo idênticos, como o mostrado na figura abaio. Observe que, para formar cada lado do triângulo, os palitos são colocados alinhados, com suas etremidades se tocando. lém disso, ele sempre usa um número inteiro de palitos em cada lado. a) Se quiser usar eatamente 8 palitos para construir um triângulo nessas condições, quantos palitos serão usados em cada lado? b) Considerando que cada palito tem comprimento palito, calcule a área do triângulo descrito no item (a) em palitos quadrados. a) Sejam a, b e c os números de palitos usados em cada lado do triângulo, com a b c. Devemos ter: a + b + c = 8 b + c = 8 a (I) desigualdade triangular: a b + c (II) De (I) e (II), temos a 8 a, ou seja, a. ssim, como a IN*, temos a {,, }. Nessas condições, podemos concluir que a =, b = e c =. Resposta:, e. b) Do enunciado, temos a figura, cotada em palitos : H C 0

10 plicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo H, temos: (H) + (H) = () (H) + = H = área S do triângulo C, em palitos quadrados, é tal que: S= C H S= S= Resposta: Questão 8 X é uma seqüência finita e não decrescente de números inteiros positivos. Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras para os elementos dessa seqüência: I. é um valor que aparece na seqüência. II. média aritmética dos elementos de X é igual a. III. O maior elemento de X é o número 0. a) Seja S o menor valor que a soma dos elementos de X que são menores do que pode assumir. Determine o valor de S. b) Suponha que a soma dos valores menores do que é igual a S, ou seja, é a menor possível. Se há na seqüência X apenas um elemento que se repete, determine-a eplicitamente, ou seja, escreva ordenadamente todos os elementos que a compõem. a) Sejam n = a quantidade de elementos iguais a. n = a quantidade de elementos iguais a.... n 0 = a quantidade de elementos iguais a 0. Da afirmação II, temos: n + n + n n n 0 = n + n + n + + n 9 + n 0 n + n + n + + 9n 9 + 0n 0 = n + n + n + + n 9 + n 0 n + n + n n 0 = n + n (*) Como pelo menos um elemento é igual a 0 (afirmação III), temos n 0 e, portanto, n + n 7. Podemos afirmar que n + n = k, com k 7. Temos, assim, n = k n. Sendo T a soma dos elementos menores que, temos: T = n + n T = n + (k n ) T = k n Portanto, para minimizar T, devemos maimizar n, para cada valor de k (= n + n ). k n (má) n = k n T = n + n

11 Note que, para k 0, temos que o máimo de n é maior ou igual a e, portanto, T. Logo, o valor mínimo de T é S =. Neste caso, temos n =, n = 0 e, pelo enunciado, n (afirmação I). De (*), temos, ainda, n + n + n n 0 = 8 Como n, n,, n 0 são números naturais com n 0, podemos concluir que n = e n 0 = e n = n 6 = n 7 = n 8 = n 9 = 0. ssim, qualquer seqüência da forma (,,,,,,,,,, 0) tem S = = Resposta: b) Nessas condições, como apenas um elemento se repete, temos a seqüência (,,,,,, 0). Resposta: (,,,,,, 0) Questão 9 Considere a função f dada pela lei f() =. a) Esboce o gráfico da função f no sistema cartesiano fornecido abaio b) Sendo a um número real, determine todos os valores de a para os quais a equação f() = a possui eatamente quatro soluções reais. a) função f() = pode ser representada por: 0 f() = f() = 0 f() = f() = + f() = + f() = ssim, temos: f() = 0 f() = + 0 f() = + f() = 6 º º

12 b) Como f() 0 para todo real, a equação f() = a possui solução se e somente se a 0; assim, devemos ter a 0. Caso a = 0, a equação f() = a possui soluções reais. Para a 0, temos as seguintes possibilidades: Caso a, temos soluções reais. Caso a =, temos soluções reais. Caso 0 a, temos soluções. Resposta: 0 a 6 α º = a ; a º º º º º α º 6 º α α º = a, a = = a, º α α º 0 a Questão 0 Os participantes do programa de televisão Show da Lógica foram desafiados a descobrir o valor de um número inteiro n compreendido entre e 00. Para tanto, foram fornecidas três informações sobre n, todas verdadeiras, reproduzidas abaio. () Se n é ímpar, então n é um quadrado perfeito. () Se n é par, então o resto da divisão de n por é igual a. () soma dos algarismos de n é igual a se, e somente se, n é menor do que 0. Um dos participantes disse, então, que não era possível descobrir o valor de n, pois havia mais de um número inteiro entre e 00 que satisfazia as condições dadas. Descubra quais são esses números, eplicando seu raciocínio. De (), os possíveis números ímpares são: ; 9; ; 9 e 8. De (), os possíveis valores pares de n são da forma: k +, com k N. ssim, temos os números: 6; 8; 60 e 8. Como todo n é par ou ímpar, temos n {, 9, 6,, 8, 9, 60, 8, 8} De (), podemos afirmar que os possíveis valores são: 9; 60; 8 e 8, pois não são menores que 0, nem a soma de seus algarismos é. Resposta: Os números possíveis são: 9; 60; 8 e 8.