CAPÍTULO 8. Exercícios 8.1. Seja f(x, y) 3x 2y. a) f(1, 1) ( 1) Seja f ( x y. , ou seja, d) f( x, y) x2 y2. Temos

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Márcio Bento
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1 CAPÍTULO 8 Eerccios 8 Seja f(, ) 3 a) f(, ) 3 () d) f(, k) f(, ) 3 k 3 k k Seja f (, ) a) D( f) {(, ) π 0}, ou seja, D( f) {(, ) π } 4 f(, ) a b Temos f(, 0) a Þ a e f(0, ) b Þ b 3 Logo, f(, ) a 3b 5 a) f (, ) Temos f(, ) f(, ) 0 f(, ) Logo, f é homogênea de grau zero d) f(, ) Temos 3, ou seja, f(, ) f(, ) f(, ) Þ f é homogênea de grau

2 6 f(a, b) a para todo (a, b) com a b e f é homogênea de grau a) f( 4 3, 4) f 3 8, 8 ç Como f é homogênea de grau, segue: fç8 pois ç , 8 f ç,, 3 3 e f ç, c) f(, ) f ç, Como f é homogênea de grau segue: ( ) f(, ) fç, Desde que ç ç, segue: f(, ) ( ) Eerccios 8 4 a) Seja f(, ) ( ) ( ) 3 e A Para cada c real, a curva de nvel de f correspondente a z c é f(, ) c, ou seja: ( ) ( ) 3 c Þ ( ) ( ) c 3 As curvas de nvel de f são circunferências concêntricas de centro (, ) e raio Logo, c 3 Temos c mn 3 e f(, ) 3 o valor mnimo de f em A Não admite valor máimo (f(, ) f(, ), (, ), logo, f(, ) é valor mnimo de f) 6 c 3

3 c) Seja f(, ) e A {(, ) 0 e 0} Para cada c real, a curva de nvel correspondente a z c é c (hipérboles) Se c 0 Þ 0 ou 0 Observamos que o valor mnimo de f é atingido quando c 0 (nos eios coordenados) Logo, f(, ) 0 é valor mnimo atingido nos pontos (, 0), 0, ou (0, ), 0 Não há valor máimo g) Sejam f(, ) e A {(, ) 4, 0} Vamos considerar os valores de f sobre A Então, 4, 0 Þ 4 Definimos g() f(, 4 ) Assim, g ( ) 4 e Dg ì ü ý î þ Temos g 8 ( ) 4 ù é g( ) 0 em ú, e û ê ë em ù é ú, û ê ; ë g( ) 0 em ù, û ú Como g é contnua no intervalo é, ù segue que ëê ûú é ê ë g é estritamente crescente em é ê ë é ù é ù ê,, ë ú eemê û ë ú û Assim,, ù e estritamente decrescente em ú û 63

4 Portanto, gç é valor mnimo de g e 4 gç é valor máimo de g 4 (Observe que g g 0) 5 a) Sejam f(, ) 3 e A {(, ) 0, 0 e } Para cada real c, a curva de nvel correspondente a z c é a reta 3 c Assim, as curvas de nvel são retas paralelas Atendendo às condições impostas por A, indicando por c mn o valor mnimo de f em A, a reta para z c mn deve ser aquela que passa por (0, 0) Portanto, f(0, 0) 3 é o valor mnimo de f em A A reta para z c má deve ser aquela que passa por (, 0) Portanto, f(, 0) 3 7 é o valor máimo de f em A 64

5 c) Sejam f(, ) e A{(, ) 0 e } As curvas de nvel de f são as retas c π c( ) Atendendo às condições de A, o valor mnimo de f é a reta que passa por (0, ) Portanto, f(0, ) é o valor mnimo de f em A O valor máimo de f em A é a reta que passa por (, ) Portanto, f (, ) é o valor máimo de f em A 6 Seja z onde 5 t e t 3, t [0, 4] Considerando z(t) (5 t) (t 3) Vamos achar os valores máimo e mnimo de z em [0, 4] z(t) (5 t)(t) (t 3) () 3t 0t 3 z(t) 0 Þ t 3 ou t 3 z(t) 6t 0 z(3) 8 0 (3 é máimo local) z 80 é mnimo local 3 3 Como z(0) 5 e z(4) 9, segue que z(3) (5 3)(9 3) 4 Þ z(3) 4 é a altura máima e z Þ z é a altura mnima 7 7 Seja f(, ) Þ Vamos minimizar z() f(, ) De z() f(, ) ( ), segue z() 4 z() 0 Þ 4 0 Þ 65

isoterma que passa por este ponto é tangente, neste ponto, à reta Faça uma figura e confira) 3 b) Sejam T(, ) e A {(, ) 4} As curvas de nvel (isotermas) de T(, ) são as retas c

6 De z() 4 0, para todo, segue que é ponto de mnimo global Portanto,,, é a solução procurada a) T (, ) 49 3 z 36º Logo, Þ ( elipse) 9 4 b) z() T(, ) 4 9( ), ou seja, z() z() z( ) 0 Þ 6 3 De z() 6 0, para todo, segue que 9 é ponto de mnimo global de z z() Logo,, 3 3 é o ponto de mais baia temperatura em (Observe que a isoterma que passa por este ponto é tangente, neste ponto, à reta Faça uma figura e confira) 3 b) Sejam T(, ) e A {(, ) 4} As curvas de nvel (isotermas) de T(, ) são as retas c Indicando por c má a mais alta temperatura em A, a reta para z c má deve ser a tangente à circunferência 4 Da mesma forma, para z c mn, a reta deve ser tangente à circunferência 66

7 4 Vamos determinar c para que a reta c seja tangente à circunferência 4 Logo, devemos determinar c para que o sistema ì 4 îc tenha solução única Assim, c, (c ) 4 e 5 4 c c 4 0 Para que o sistema tenha solução única, o discriminante deve ser igual a zero 6c 0 (c 4) Þ 4c 80 0 Þ c 5 Logo, c 5 C é a temperatura mais alta em A e c 5 C é a temperatura mais baia em A O ponto de mais alta temperatura é o ponto em que a reta 5 tangencia à circunferência, que é a solução do sistema onde 0 é a reta que passa pela origem e é perpendicular a Resolvendo o sistema ç, 5 5 é o ponto de mais alta temperatura Analogamente, resolvendo o sistema ì 5, verificamos que î0 ç 4 5 5, Eerccios é o ponto de mais baia temperatura ì 5 î0 3 Sejam C e C duas superfcies de nvel de uma função f(,, z) O gráfico de f {(,, z, w) 4 w f(,, z) (,, z) A} Assim, f(,, z) c é a superfcie de nvel correspondente ao nvel w c e f(,, z) c é a superfcie de nvel correspondente ao nvel w c Então, C e C não podem ter ponto comum (não se interceptam) De fato, se (,, z) C temos f(,, z) c ; se (,, z) C temos f(,, z) c o que é um absurdo se c c, pois f teria, num mesmo ponto (,, z), dois valores distintos 67

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