COMPARATIVO ENTRE REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA E A VINCULAÇÃO DE AMBOS COM A TABELA PRICE

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1 COMPARATIVO ETRE REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA E A VICULAÇÃO DE AMBOS COM A TABELA PRICE Etede-se por regime de capitalização o processo de formação dos juros e a maeira pela qual estes são icorporados ao capital. Formalmete, tem-se dois regimes básicos de capitalização: o cotíuo e o descotíuo. Relativo ao regime de capitalização descotíuo, coforme os juros periodicamete formados redam também juros, ou ão, distigui-se os deomiados regimes de capitalização descotíua a juros compostos e a juros simples, doravate deomiados capitalização composta e capitalização simples respectivamete. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA O regime de capitalização composta, é defiido como sedo aquele o qual os juros formados ao fial do período de capitalização a que se refere a taxa de juros, são icorporados ao capital e passam a reder jutamete com o capital o próximo período de capitalização. Sejam: valor presete ou capital ; i - taxa de juros; - úmero de períodos de capitalização; FV - valor futuro ou motate. Primeiro período de capitalização: FV.( i ) Segudo período de capitalização: FV FV.( i ).( i ).( i ).( i ) Terceiro período de capitalização: FV FV.( i ).( i ).( i ).( i ) Eésimo período de capitalização: FV FV.( i ).( i ).( i ).( i ) FV Eésimo período de capitalização: FV.( i ).( i ).( i ).( i )

2 Portato, geeralizado, podemos escrever a defiição do cálculo do valor futuro (motate) a juros compostos como sedo: FV ).( i ( I ) Exemplo: Supoha a aplicação da quatia de R$.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros de 0% ao mês. Solução: De acordo com o acima exposto, temos: Primeiro período de capitalização: FV.( i ) 000.( 0, ) R$.00, 00 Segudo período de capitalização: FV FV.( i ) 00.( 0, ) R$.0, 00 Terceiro período de capitalização: FV FV.( i ) 0.( 0, ) R$., 00 Quarto período de capitalização: FV.( i ).( 0, ) R$.464, 0 FV4 ou, pela fórmula ( I ) 4 FV.( i ).000( 0, ) R$.464, 0 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES O regime de capitalização simples, é defiido como sedo aquele o qual os juros formados ao fial do período de capitalização a que se refere a taxa de juros, ão são icorporados ao capital e portato, a taxa de juros icide somete sobre o capital iicial. Primeiro período de capitalização: FV.( i.) Segudo período de capitalização: FV.( i. ) Terceiro período de capitalização: FV.( i.) Eésimo período de capitalização: FV.( i.( )) Eésimo período de capitalização:.( i. ) FV Portato, geeralizado, podemos escrever a defiição do cálculo do valor futuro (motate) a juros simples como sedo: FV.( i. ) ( II)

3 Exemplo: Supoha a aplicação da quatia de R$.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros de 0% ao mês. Solução: De acordo com o exposto, temos: Primeiro período de capitalização: FV.( i.) 000.( 0, ) R$.00, 00 Segudo período de capitalização: FV.( i.) 000.( 0,) R$.00, 00 Terceiro período de capitalização: FV.( i.) 000.( 0,) R$.00, 00 Quarto período de capitalização:.( i.4 ) 000.( 0,4 ) R$.400, 00 ou, pela fórmula ( II) FV.( i. ) FV 4.000( 0,.4 ) R$.400, 00 Quadro Comparativo etre os regimes de capitalização simples e composto Capitalização Composta Capitalização Simples Difereça dos juros Capital Valor Futuro Capital Valor Futuro pró cap. composta.000,00.00,00.000,00.00,00 00,00.00,00.0,00.000,00.00,00 0,00.0,00.,00.000,00.00,00,00 4.,00.464,0.000,00.400,00 64,0 Podemos observar que, exceto para o periodo uitário, o valor futuro cosiderada a capitalização composta é superior ao valor futuro pela capitalização simples. VALOR ATUAL E VALOR OMIAL Os coceitos de valor atual e valor omial idepedem do regime de capitalização adotado; o que varia são as suas expressões. Para itroduzirmos o coceito de valor omial podemos cosiderar um compromisso a ser saldado em determiada data posterior àquela em que desejamos situar e cujo valor de resgate, a data do vecimeto é. Essa deomiação, valor omial, é devida ao fato de que, por ifluêcia da taxa de juros, o valor do diheiro varia com o tempo, ou seja, em qualquer data aterior à de vecimeto, a quatia que o saldará será, para taxas positivas, iferior a e esse caso, essa quatia é deomiada valor atual o qual

4 será deotado por. Embora esteja implícito, as deomiações valor atual e valor omial depedem da data em que os situamos. Assim, a data do vecimeto, o valor omial e o valor atual se cofudem. O VALOR ATUAL E O VALOR OMIAL OS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO EM ESTUDO Cosiderados os regimes de capitalização em estudo e adotado-se os coceitos de valor omial e valor atual, efetuado-se a substituição coveiete as fórmulas I e II temos: Para o regime de capitalização composta; ( i ) (III). FV.( i ) sedo FV, logo.( i ) Para o regime de capitalização simples; FV.( i. ) sedo FV, logo.( i. ) (IV). i. EQUAÇÃO DE VALOR Observados os coceitos de valor omial e valor atual podemos estabelecer o coceito de equação de valor cosiderado os regimes de capitalização composta e simples. Supohamos que devam ser saldados compromissos de valor omial,,,..., ao fial de,,,...,, períodos. Pela capitalização composta a equação de valor é dada por:... (V) ( i) ( i) ( i) ( i) Pela capitalização simples a equação de valor é dada por:

5 ... i. i. i. i. (VI) Exemplificado: Supoha que quatro títulos todos de valor omial igual a R$.000,00 devam ser liquidados, a cotar de hoje, em 0, 60, 90 e 0 dias ou seja em,, e 4 meses. Cosiderada a taxa de juros de 0% ao mês, qual a quatia (valor atual) que liquidará a dívida hoje? Solução pela capitalização composta : R$.69,8 4 4 ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) ( 0, ) ( 0, ) ( 0, ) ( 0, ) Solução pela capitalização simples: R$.5,9?????????????? i. i. i. i.4 0,. 0,. 0,. 0,.4 SÉRIES UIFORMES DE PAGAMETO OU DE PAGAMETOS IGUAIS Uma forma utilizada os esquemas de vedas à prazo é a utilização, para liquidação de dívidas, de séries de pagametos usualmete deomiada prestações e doravate deomiadas. As séries uiformes de pagametos mais utilizadas deomiam-se postecipadas ou de termos vecidos, atecipadas e diferidas. As séries de pagametos postecipadas caracterizam-se pelo primeiro pagameto ser efetuado um período após a assiatura do cotrato mercatil. Por exemplo: uma pessoa adquire um televisor e fiacia R$ 400,00 que deverão ser liquidados em 4 pagametos mesais iguais (pagametos efetuados em 0/60/90/0 dias após a compra) à taxa de juros de 0% ao mês. Supodo capitalização composta equação V, supodo... ( i) ( i) ( i)... ( i)

6 isolado temos, ( i) ( i) ( i).... ( i) logo,. S ode S Soma dos termos de uma progressão geométrica fiita PG PG ode: úmero de termos =, primeiro termo, a i e razão q, sedo, i S PG.( a q ) q Etão, S a.( q ). q. PG portato. i i. i ( i). ( i). i TABELA PRICE - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA OU SIMPLES?

7 O SAF- Sistema de Amortização Fracês ou a Tabela Price implica sim, ecessariamete, em capitalização de juros, ou, juros sobre juros. Coforme VIEIRA SOBRIHO,990 : O Sistema Fracês cosiste em um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, detro do coceito de termos vecidos, em que o valor de cada prestação, ou pagameto, é composto de duas parcelas distitas : uma de juros e outra de capital (chamada amortização). A fórmula utilizada para o cálculo das prestações periódicas, iguais e sucessivas este sistema de amortização é a que segue: ( i) ( i) i ou aida Ocorre, que a fórmula acima, para cálculo de prestações do SAF, é obtida de uma série de pagameto com termos vecidos ou postecipados, que por sua vez, se origia do regime de capitalização composta. Aida coforme VIEIRA SOBRIHO,990, à págia 56, o capítulo que trata de séries de pagametos, ao dar as características das séries das quais irá tratar, o autor é efático: Fialmete queremos destacar que este capítulo será desevolvido com base o coceito de capitalização composta. Mais adiate, o mesmo livro, a págia 88, De acordo com o Professor Mario Geraldo Pereira, a deomiação Tabela Price se deve ao ome do matemático, filósofo e teólogo iglês Richard Price, que viveu o século XVIII e que icorporou a teoria de juros compostos às amortizações de empréstimos (ou fiaciametos). A deomiação Sistema Fracês, pelo autor citado, deve-se ao fato de esse sistema ter-se efetivamete Mario Geraldo Pereira, Plao Básico de Amortização pelo Sistema fracês e Respectivo Fator de Coversão, Tese de Doutorameto,965.

8 desevolvido a Fraça, o século XIX. O Sistema Fracês cosiste em um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas... A forma de capitalização da Tabela Price é defiida à partida, quado se calcula o valor da prestação costate, por itermédio de séries de pagametos, cujo regime de capitalização é composto. O valor da prestação é calculada, da mesma forma que o FRC (fator de recuperação do capital), em uma série de pagametos com termos iguais e postecipados. A dedução de tal fórmula é pertiete à discussão e foi feita ateriormete : ( i) i. ( i) Deve-se otar que todos os cálculos foram efetuados detro do sistema de capitalização composta. Evetual cofusão surge, quado pelo mecaismo de fucioameto da PRICE, se estabelece que a parcela de juros é calculada pela taxa de juros multiplicada pelo saldo devedor imediatamete aterior. O que ão se diz claramete é que a parcela de amortização cresce geometricamete, matedo a compoete composta da relação. Curitiba, 9 de dezembro de 000. ALEX OVERCEKO GLOWER LOPES KUJEW MARIO ROMÉRO PELLEGRII DE SOUZA