5n 3. 1 nsen(n + 327) e)

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1 Exercícios 1 Mostre, utilizado a defiição, que as seguites sucessões são limitadas: a) b) c) 1 4( 1) 8 5 d) ( 1) 1 4( 1) 8 1 se( + 327) e) f) Mostre, utilizado a defiição, que as seguites sucessões são limitadas superiormete mas ão iferiormete: a) (-50) 2 b) Dê dois exemplos de sucessões limitadas iferiormete mas ão superiormete. 4 Mostre, utilizado a defiição de sucessão ão limitada, que as seguites sucessões são limitadas: a) 2 b) 1 ( 1) 1 5 Sejam (u) e (v) duas sucessões que tedem para + e 0 respectivamete. Mostra que, escolhedo coveietemete as sucessões (u) e (v), se

2 64 a = u v, N podemos ter as seguites situações: a) lim a = + b) lim a = - c) lim a = 27 d) lim a = - 27 e) (a) divergete sem teder em para + em para -. 6 Sejam (u) e (v) duas sucessões que tedem para + e 0 respectivamete. Mostre que, escolhedo coveietemete as sucessões (u) e (v), se a = u v, N podemos ter as seguites situações: a) lim a = + b) lim a = 0 c) lim a = 27 d) (a) divergete sem teder em para + em para -. 7 Mostre que se lim u = a etão lim u = a. O iverso é verdadeiro? 8 Cosidere a sucessão de úmeros reais (x) de termo geral a) x = 7 2 d) x = b) x = 5 e) x = l c) x = Calculado os primeiros termos da sucessão, com o auxílio de uma calculadora, tete adivihar a mootoia e limites de (x). 9 Calcule: a) lim b) lim ( + 1) ( ) c) lim e) lim l ( + 5) f) lim l(3 + 1) +( 1) d) lim l(2 + 1) l g) lim 3 + ( 2) ( 2) +1

3 65 h) lim se 1 2 tg2 π 2 l(1 5 ) 10 Uma porção de uma certa população de isectos das Berlegas morre todos os aos. A população do ao seguite asce dos ovos fertilizados pela população morta o ao aterior. O úmero iicialmete presete é N0, e Nk é o úmero presete a geração k. O úmero Nm de isectos que morrem a geração k, e o úmero Nj de joves que ascem, satisfazem Nm = A + ank, Nj = B + bnk-1, ode A, B são costates, a é a taxa de mortalidade e b a taxa de atalidade. a) Supodo que Nm = Nj (o úmero de mortes e ascimetos é igual), deduza a equação às difereças N k = b a N k 1 + N ode N = B A. a b) Resolva a equação da alíea aterior mostrado que 1 b N k = a 1 b a k N + b a c) Na prática, b < 0, a > 0. Mostre que, para b < a, lim N k = N 1 b a e iterprete o resultado em termos biológicos. d) Supoha agora que b = -1 (e portato estamos o caso b = a ). Verifique a ou oscila à volta do tamaho que o tamaho da população ou se matém igual a N 2. Explique porque é que lim Nk ão existe e iterprete o resultado em óptimo N 2 termos biológicos. k N 0.

4 66 11 Diga se se obtém uma defiição equivalete a lim a = 0 em cada um dos seguites casos: (a) δ > 0, { N : a > δ } é fiito; (b) δ > 0, { N : a < δ } é ifiito; (c) δ > 0, 0 N, > 0 : a < δ ; (d) δ > 0, k R : > k, a < δ. 12 Traduza simbolicamete as seguites propriedades: (a) A sucessão (a) ão coverge para a R; (b) A sucessão (a) ão tede para + ; (c) A sucessão (a) ão é crescete. 13 Demostre, utilizado a defiição, que: a) lim = 2 b) lim π +1 = 2 14 Cosidere a sucessão de termo geral x = se ; Calculado os primeiros termos da sucessão, com o auxílio de uma calculadora, tete adivihar as propriedades de (x). 15 Mostre que a sucessão (se ) é divergete através dos seguites passos: a) Supodo que é covergete, mostre que etão deverá ter-se lim ( se(+2) - se ) = 0 b) Coclua da alíea aterior que lim ( cos (+1)) = 0 c) Coclua da alíea aterior que

5 67 lim (se ) = 0 d) Coclua da alíea b) que lim ( cos ) = 0 e) Coclua que se chegou a um absurdo ao supor que (se ) era covergete, e portato que a sucessão (se ) só pode ser divergete. 16 Mostre que a sucessão (u) é covergete para a se e só se existe uma sucessão (a) covergete para zero tal que u = a + a 17 Mostre, utilizado a defiição, que a sucessão ( - 2) 1 tede para Mostre que, se a sucessão de termo geral u tede para - e se existe 0 N tal que N > 0 => u v etão a sucessão de termo geral v tede para Mostre, utilizado a defiição, que a sucessão 2 ão coverge para: 1 a) 1 b) Mostre que a sucessão de úmeros reais (a) de termo geral a) b) c) satisfaz i) lim a 3 ii) 3 iii) lim a 7 respectivamete, sem calcular o limite. 3

6 68 21 Demostre o critério da majoração: " Sejam (a) e (b) duas sucessões tais que i) lim b = 0 ii) a b, Etão lim a = 0. " 22 Aplique o critério da majoração à determiação do limite da sucessão de termo geral 2cosθ + ( 1)+1 a = 2 +1 em que θ é um valor arbitrário do itervalo [0,π ]. 23 Seja (u) uma sucessão tal que Mostre que (u 2 ) é covergete. u u+1, N. 24 Justifique porque é que os símbolos seguites ão represetam idetermiações: 0 a) b) c) 0 d) 0 e) termo geral 25 Estude quato à limitação, mootoia e covergêcia as sucessões de

7 69 1 se é par a) u = 2 se é ímpar l se é par b) u = se é ímpar 2 ( + 1) 26 A sucessão de úmeros reais (x) é defiida por recorrêcia: x1 = 5, x+1 = 5 + x. Calculado os primeiros termos da sucessão, com o auxílio de uma calculadora, tete adivihar as propriedades de (x). 27 Cosidere as sucessões de úmeros reais (x) defiidas por recorrêcia: a) x1 = a x+1 = a + x (para a > 1) b) x1 = a x+1 = a + x (para a < 1) c) x1 = a < 1 (a > 0) x+1 = 1 3 x + 1 d) x1 = a < 1 (a > 0) x+1 = x 2 - x + 1 (sugestão: x < 1) Mostre que são covergetes, utilizado o critério de covergêcia das sucessões moótoas, e determie o seu limite. 28 Mostre que uma sucessão (x) ão possui qualquer subsucessão covergete se e só se lim x =+. 29 PROBLEMA EM ABERTO. Cosidere a sucessão de primeiro termo u 1 qualquer e de termo geral defiido por recorrêcia por meio de 3u +1 se u é ímpar u +1 = 1 2 u se u é par Usado uma calculadora ou um computador observe se se chega sempre à sucessão 4, 2, 1, 4, 2, 1,.... Não se sabe aida se isto acotece sempre (iguém

8 70 aida coseguiu demostrar se é verdadeiro ou falso, ou até ecotrar um cotraexemplo (se você coseguir ecotrar um cotra-exemplo até poderá ficar famoso, mas olhe que os úmeros baixos já foram todos experimetados...). 30 Seja (u) uma sucessão tal que lim u = +. Determie que codições deve satisfazer a sucessão (v) de modo que se teha obrigatoriamete lim u v = Seja (u) uma sucessão tal que lim u = +. Determie que codições deve satisfazer a sucessão (v) de modo que se teha obrigatoriamete lim (u + v) = Das seguites afirmações idique quais são verdadeiras: a) Nehuma sucessão divergete é limitada; b) Nehuma sucessão moótoa é limitada; c) Se lim u = a etão lim u = a ; d) Nehuma sucessão limitada é divergete; e) Nehuma sucessão limitada superiormete é divergete; f) Nehuma sucessão limitada superiormete é limitada iferiormete; g) Nehuma sucessão limitada iferiormete é limitada superiormete; h) Nehuma sucessão limitada é limitada superiormete; i) Se lim u = + etão (u) ão é limitada ; j) Se (u) ão é limitada etão lim u = + ; l) Se lim u = + etão (u) é crescete a partir de certa ordem;

9 71 ordem; m) Se lim u = - etão (u) tem todos os termos egativos a partir de certa ) Uma sucessão limitada superiormete ão tem subsucessões divergetes; o) Uma sucessão limitada iferiormete tem subsucessões divergetes; p) Se lim u = - etão (u) ão tem ehuma subsucessão covergete; q) lim se + = 1; r) 1 lim se 1 ; + s) 0 lim cos 1 ; + Soluções dos exercícios 3 Por exemplo () e (2) 5 Por exemplo: a) u = 2 e v =1/ b) u = - 2 e v =1/ c) u = 27 e v =1/ d) u = -27 e v =1/ e) u = 27 e v = (-1)/ 6 Por exemplo: a) u = e e v =1/ b) u = e e v =1/2 c) u = e e v =(l 27)/ d) u = e e v = (-1)/ 7 Não, basta tomar, por exemplo, u = 1 + 1/ e a = a) Parece ser decrescete e de limite 1. b) Parece ser decrescete e de limite 1. c) Parece ser decrescete a partir de = 3 e de limite 1. d) Parece ser decrescete a partir de = 3 e de limite 1. e) é crescete até = 24 e depois começa a decrescer letamete, ão sedo possível retirar mais coclusões da experimetação umérica. 9 a) 10 b) + c) 0 d) 1 e) 1 f) 2 g) 1/3 h) -5π 2/8

10 72 11 a) V b) F c) F d) V 12 a) > p a a ε ε p ( ) b) L p > p a L ( ) c) ( ) a > a Apeas se cosegue ver uma uvem "exótica" de potos, ada se podedo cocluir (o que os leva a descofiar que será divergete) a) Pela propriedade d o produto de dois ifiitamete grades é aida um ifiitamete grade, pelo que o limite represetado por ão é uma idetermiação, é um ifiitamete grade. b) Se lim u = + e lim v = + etão limu v = + como é fácil provar; outros casos são tratados de modo semelhate excepto quado se tratar de ifiitamete grades sem sial determiado. c) Se lim u = 0 e lim v = + etão limu v = 0 como é fácil provar; outros casos são tratados de modo semelhate excepto quado se tratar de ifiitamete grades sem sial determiado. d) temos sempre lim u v e) temos sempre lim u v = a) limitada, ão moótoa, divergete. b) limitada, ão moótoa, covergete. = +, - ou, coforme o sial do quociete. 26 Parece ser crescete e covergir rapidamete para 2, a) a b) a c) 3/2 d) (v) deve ser uma sucessão tal que δ R + p N : N > p v > δ. 31 (v) deve ser uma sucessão tal que δ R + : N v > δ. 32 Verdadeiras: i), m), p) (Sugestão: ecotre cotra-exemplos para as

11 73 restates alíeas, excepto para q), r) e s) ode deverá argumetar directamete)