Neste capítulo, vamos estender o conceito de adição, válido para um número finito de parcelas, à uma soma infinita de parcelas.

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Carlos Wagner Maranhão
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1 5. SÉRIES NUMÉRICAS Neste capítulo, vamos esteder o coceito de adição, válido para um úmero fiito de parcelas, à uma soma ifiita de parcelas. 5.: Defiição e exemplos: Série geométrica e série de Dirichlet 5..: Defiições Defiição.: Dada uma sucessão de úmeros reais ( ) IN u, chama-se série de úmeros reais ou série umérica à soma ifiita u Os úmeros + u 2 = + + u + = u. u, u 2, chamam-se termos da série umérica e o. mo termo u é desigado por termo geral da série. Para calcular, se possível, a série seguite sucessão: S = u S + 2 = u u2 S + 3 = u + u2 u3... S + = u + u2 + u. = u vamos cosiderar a

: Dada uma sucessão de úmeros reais ( ) IN u, chama-se série de úmeros reais ou série umérica à soma ifiita u Os úmeros + u 2 = + + u + = u.

2 Defiição.2: A sucessão ( S ) IN parciais ou sucessão associada à série. chama-se sucessão de somas Defiição.3: (i) Se a sucessão ( S ) IN coverge para S, isto é, lim S + = S IR, diz-se que a série umérica = u é covergete, e etão = u = S. O úmero S é chamado soma da série. (ii) Se a sucessão ( ) IN S é divergete, isto é, lim S ão existe ou é ifiito, diz-se que a série Neste caso, a série ão tem soma. = + u é divergete. 5..2: Série geométrica Defiição.4: Uma série geométrica de º termo a e de razão r é uma série umérica da forma: = ar 2 = a + ar + ar +, com a, r IR \ {} 0. 2

3 Teorema.5: A série geométrica = ar diverge se e só se r, e coverge se e só se r <, esse caso, = ar a = r. Exemplo.6: Estude a atureza da série calcule a sua soma. 4 = 5 e, se possível, 5..3: Série de Dirichlet Defiição.7: Chama-se série de Dirichlet á série defiida por = p, com p > 0. Para p = harmóica., a série = é desigada por série Teorema.8: A série de Dirichlet é covergete se p >, e é divergete se 0 < p. 5.2: Algumas propriedades das séries Teorema 2.: Para todo o p IN, a série umérica = u coverge se e só se u coverge. = p 3

7: Chama-se série de Dirichlet á série defiida por = p, com p > 0. Para p = harmóica., a série = é desigada por série Teorema.

4 Teorema 2.2: Se as séries uméricas = u e covergetes, com somas S e T respectivamete, etão: = (i) A série ( ± ) u coverge e tem soma S ± T. v = v são (ii) Para todo o λ IR, a série = λ u coverge e tem soma λ S. Teorema 2.3: Se a série umérica = = = v é divergete, etão a série ( ± ) u é covergete e a série u é divergete. v Na maior parte dos casos, é difícil determiar a soma de uma série. Por isso, iremos apresetar algus critérios que permitem aalisar a atureza de uma série, sem recorrer ao cálculo de S. 5.3: Critério do termo geral para a divergêcia A seguir apreseta-se uma codição ecessária de covergêcia de séries uméricas. Teorema 3.: Codição ecessária de covergêcia Se a série umérica = u é covergete etão lim u =

v Na maior parte dos casos, é difícil determiar a soma de uma série.

5 Nota: O recíproco do teorema aterior é falso. A série harmóica pode servir de cotra-exemplo. Na prática, utiliza-se mais a egação do teorema aterior. Corolário 3.2: Teste da divergêcia ou Critério do. mo termo Se lim u 0, etão a série umérica + u é divergete. + = Exemplo 3.3: Estude a atureza da série 2. = : Série de termos ão egativos: critérios de Cauchy e de D Alembert Teorema 4.: Critério de Cauchy ou da Raiz Sejam u > 0 e lim u = L. (i) Se L < (ii) Se L > ou +, etão a série + L = = u é covergete;, etão a série = u é divergete; (iii) Se L =, etão ão se pode cocluir ada. Exemplo 4.2: Determie a atureza da série =

= + 3 5.4: Série de termos ão egativos: critérios de Cauchy e de D Alembert Teorema 4.: Critério de Cauchy ou da Raiz Sejam u > 0 e lim u = L.

6 Teorema 4.3: Critério de D Alembert ou da Razão u+ Sejam u > 0 e lim = L. + u (i) Se L < (ii) Se L > ou, etão a série + L = = u é covergete;, etão a série = u é divergete; (iii) Se L =, etão ão se pode cocluir ada. Exemplo 4.4: Determie a atureza da série = 2!. 5.5: Séries alteradas: Critério de Leibiz Os critérios de covergêcia estudados as secções ateriores, só podem ser aplicados a séries de termos ão egativos. Nesta secção, estudaremos séries cujos termos são alteradamete positivos e egativos. Defiição 5.: Chama-se série alterada à série em que dois termos cosecutivos têm siais opostos, ou seja, é da forma + ( ) a ou ( ) = = + a, com a > 0, IN. 6

7 Teorema 5.2: Critério de Leibiz Se > 0 a, a série alterada ( ) codições seguites: (i) lim a = 0; + (ii) a sucessão ( a ) IN IN. = a coverge se verifica as é decrescete, ou seja, a a 0, + Nota: Se a primeira codição do teorema aterior ão se verifica, podemos cocluir, pelo critério do. mo termo, que a série é divergete. = Exemplo 5.3: Determie a atureza da série ( ) 2 l. 5.6: Séries absolutamete covergetes e séries simplesmete covergetes Esta secção é dedicada ao estudo da covergêcia de séries uméricas com termos arbitrários. Teorema 6.: Covergêcia Absoluta Se a série = covergete. u é covergete, etão a série = u também é 7

mo termo, que a série é divergete. = Exemplo 5.

8 Defiição 6.2: A série se a série = = u é covergete. u diz-se absolutamete covergete Defiição 6.3: A série se a série = = u coverge e u diz-se simplesmete covergete = u diverge. Exemplo 6.4: Mostre que a série covergete. cos = 3 é absolutamete 8

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