Capítulo 3: Álgebra Booleana e Métodos de Simplificação de Equações Booleanas

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1 Capítulo 3: Álgebra Booleana e Métodos de Simplificação de Equações Booleanas 1. Introdução No capítulo anterior, trabalhamos com os circuitos lógicos sem nos preocuparmos com simplificações. Na prática, porém, estes circuitos obtidos admitem simplificações. Como vimos, as variáveis booleanas são representadas através de letras, podendo assumir apenas dois valores distintos: 0 ou 1. Como vimos, as variáveis booleanas são representadas através de letras, podendo assumir apenas dois valores distintos: 0 ou Teoremas Booleanos Estudaremos os vários teoremas (regras) que nos ajudarão a simplificar circuitos e equações lógicas. As regras de prioridade usadas na álgebra tradicional para parênteses, colchetes e chaves são válidas na álgebra de boole. A operação E tem prioridade sobre a operação OU. 1) Associatividade das operações OU e E. ( X + Y) + Z = X + ( Y + Z) ( X. Y). Z = X.( Y. Z) 2) Comutatividade das operações OU e E. X + Y = Y + X X. Y = Y. X 3) Elemento unitário para a operação OU (dígito 0). 0 + X = X 4) Elemento unitário para a operação E (dígito 1). 1.X = X 5) Distributividade de E sobre a operação OU. X.(Y + Z) = (X.Y) + (X.Z) (W + X).(Y + Z) = W.Y + X.Y + W.Z + X.Z 6) Distributividade de OU sobre a operação E. X + ( Y. Z) = ( X + Y).( X + Z) 7) Existência de um elemento complemento. X. X = 0 X + X = 1 8) Lei da Absorção. X + X.Y = X X + X.Y = X + Y 9) Adição lógica. X + 1 = 1 29

2 X + X = X 10) Multiplicação lógica X. 0 = 0 X. X = X 11) Complemento da variável. X = X 12) Teoremas de De Morgan. a) O complemento de uma função lógica na forma de uma soma de qualquer número de variáveis pode ser transformada em um produto lógico, complementando para isto, cada variável em separado e trocando o operador + pelo operador.. ( X1 + X Xn) = X1. X2... Xn b) O complemento de uma função lógica na forma de um produto de qualquer número de variáveis pode ser transformada em uma soma lógica, complementando para isto, cada variável em separado e trocando o operador. pelo operador +. ( X1. X2... Xn) = X1+ X Xn 13) Lei da Dualidade. Substituindo numa expressão lógica o símbolo da operação OU pelo da operação E (e vice-versa) e o dígito 0 por 1 (e vice-versa) obtém-se uma nova expressão, dual da original. Exemplos: a) X + 0 = X dual X. 1 = X b) X + X = X dual X. X = X c) X + X = 1 dual X. X = 0 d) Aplicação da lei da dualidade no teorema 1. ( X + Y) + Z = X + ( Y + Z) (X. Y). Z = X. (Y. Z) e) F = A + B.C dual A.(B + C) Exercícios: Simplifique as expressões algébricas: a) Z = D + ( B.C )D. b) Y A.B.D + A.B. D d) X A.C.D + A.B.C. D = c) Z = ( A + B)( A + B) = e) X = ( A + C )(. B + D) f) F = ( X + Y )(. Z + W) 3. Mintermos e Maxtermos Uma função booleana pode ser representada, após alguma manipulação, por dois formatos especiais, conhecidos como formas padrões ou canônicas: somatório de mintermos (forma disjuntiva) e produto de maxtermos (forma conjuntiva). Usando os teoremas apresentados no Capítulo 2 é sempre possível, através de transformações algébricas, desenvolver uma função booleana na forma padrão. Esta operação é 30

3 muito importante na lógica combinacional por que os algorítmos de minimização são aplicados somente à forma padrão ou canônica. Definições: mintermo: um produto algébrico que contém todas as variáveis, com ou sem barra, da função. maxtermo: uma soma algébrica que contém todas as variáveis, com ou sem barra, da função. forma disjuntiva de uma função booleana: é uma forma algébrica da função expressa numa somatória de mintermos. forma conjuntiva de uma função booleana: é uma forma algébrica da função expressa num produto de maxtermos. Para um sistema com n variáveis teremos 2 n mintermos ou 2 n maxtermos diferentes. Exemplos: a) A função F 1 e F 2 abaixo está representada como uma somatória de mintermos, já F 3 e F 4 não. F1 (X, Y, Z) = XYZ + XYZ + XYZ F2 (A,B) = A.B + A.B F3 (X,Y, Z) = XZ + XYZ + YZ F4 (X,Y, Z) = XYZ + XYZ Na função F 3 falta a variável Y no primeiro termo e a variável X no terceiro termo. Na função F 4 o primeiro termo não está escrito como um produto das variáveis da função. b) A função F 5 e F 6 abaixo está representada como uma produto de maxtermos, já F 7 e F 8 não. F5 (P,Q,R,S) = (P + Q + R + S)(P + Q + R + S) F6 (A,B,C,D) = (A + B + C + D) F7 (P,Q,R,S) = (P + Q + S)(P + Q + R + S)(P + Q + R + S) F8 (A,B,C) = (A + B)(B + C) Na função F 7 o primeiro termo não apresenta a variável R. Na função F 8 falta a variável C no primeiro termos e a variável A no segundo termo. Cada mintermo ou maxtermo de uma função booleana pode ser associado a uma combinação binária com respectivo valor decimal. Neste sentido vamos seguir os seguintes passos: 1) Atribua o dígito 0 (1 no caso de maxtermo) a cada variável que parece barrada em um mintermo (ou maxtermo); 2) Atribua o dígito 1 (0 no caso de maxtermo) a cada variável que parece sem barra em um mintermo (ou maxtermo) Para a obtenção do valor decimal deve-se proceder do modo como é mostrado nos exemplos abaixo: a) Mintermo C 31

4 A B C decimal 5 b) Maxtermo ( A + B + C) (A + B + C) decimal 2 A obtenção do equivalente decimal para cada produto ou parcela de uma forma canônica fornece uma notação simplificada, conforme procedimento abaixo. Seja uma função com três variáveis onde a é a variável mais significativa: T (a, b,c) = a.b.c + a.b.c + a.b.c { 101 { 011 { Portanto, a função assume o valor lógico 1 para os mintermos 3, 5 e 7 e assume valor lógico 0 para os maxtermos 0, 1, 2, 4 e 6. Entradas Formas Padrões Saída C Produto Padrão Soma Padrão F Mi / mj A. B. C m0 A + B + C M0 0 M A. B.C m1 A + B+ C M1 0 M A. B. C m2 A + B + C M2 0 M A. B.C m3 A + B+ C M3 1 m A. B. C m4 A + B + C M4 0 M A. B.C m5 A + B + C M5 1 m A. B. C m6 A + B + C M6 0 M A. B.C m7 A + B+ C M7 1 m7 Termos Mínimos ou Termos Máximos ou minitermos maxitermos A forma simplificada da função é: T(a, b,c) = Σm3, m5, m7 ou T(a, b,c) = Σm (3,5,7) T(a, b,c) = ΠM0,M1,M2, M4, M6 ou T(a, b,c) = Π M (0,1,2,4,6) Seja agora uma função com quatro variáveis onde a é a variável mais significativa: Q(a, b,c,d) = (a + b + c + d)(a + b + c + d)(a + b + c + d) Portanto, a função assume valor lógico 0 para os maxtermos 8, 13 e 14. Isto significa que a função assume nível lógico 1 para os demais mintermos. A forma simplificada é: Q(a,b,c,d) = = M m (8,13,14) (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9,10,11,12,15) 32

5 A tabela verdade de uma função booleana pode ser obtida a partir de sua forma padrão (somatório de mintermos ou produto de maxtermos) e vice-versa. Cada mintermo da expressão algébrica deve ser associado a uma linha da tabela verdade onde a função vale 1. Exemplo: Dada a função f (a,b,c) = a.b.c + a.b.c + a.b. c, obter sua tabela verdade. a.b.c 111 mintermo 7 a.b.c 010 mintermo 2 a.b.c 101 mintermo 5 Tabela Verdade: Mintermo a b c f Exemplo: Dada a tabela verdade anterior, obter sua função booleana na forma de produto de maxtermos. A função desejada tem 5 maxtermos, correspondentes aos termos em que a função vale 0. Logo, f (a,b,c) = (a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c) Deve-se verificar que a função obtida neste caso é a mesma do exemplo anterior. Qualquer função pode ser escrita na forma de soma de produtos (mintermos) ou produto de somas (maxtermo). Exemplo 1: Dada a função lógica de três variáveis F (A, B,C) = A + B. C expressá-la como uma soma de mintermos. *Devemos multiplicar cada produto que não seja mintermo por uma parcela do tipo ( X + X) correspondente a variável que está faltando no produto. A multiplicação de um produto por uma expressão deste tipo não altera o produto original, uma vez que: X + X = 1. F(A, B,C) = A + B.C F(A, B,C) F(A, B,C) F(A, B,C) = A. ( B + B )(. C + C) + ( A + A ).B.C = ( A.B + A.B )(. C + C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C Exemplo 2: Dada a função lógica de quatro variáveis F (A, B,C, D) = (A + B.C).(B + C.D) expressá-la como uma soma de mintermos. 33

6 F = 1 o passo: obter uma soma de produtos pela lei distributiva. F = A.B + AC.D + B.C 2 o passo: completar os termos onde for necessário. [ A.B.C + A.B.C ](. D + D) A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D MÉTODOS DE SIMPLIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES BOOLEANAS F = A.B.(C + C).(D + D) + A.(B + B).C.D + (A + A).B.C.(D + D) + (A.B + A.B).C.D + (A.B.C + A.B.C).(D + D) F = A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + F = A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D Exemplo 3: Dada a função lógica de três variáveis F (A, B,C) = A.(B + C) expressá-la como um produto de somas. *Utilizar a forma dual da lei distributiva: X + Y.Z = (X + Y).(X + Z) F = (A + BB + C.C).(B + C + A.A) = (A + B.B + C).(A + B.B + C).(B + C + A).(B + C + A) F = (A + C + B).(A + C + B).(A + C + B).(A + C + B).(B + C + A).(B + C + A) F = (A + B + C).(A + B + C).(A + B + C).(A + B + C).(A + B + C).(A + B + C) F = (A + B + C).(A + B + C).(A + B + C).(A + B + C).(A + B + C) Exercícios: 1- Dada a tabela verdade abaixo obter a função sob a forma de mintermos e maxtermos. D C B F Dadas as funções lógicas expressá-las como soma de mintermos. a) F (A, B,C, D,E) = (A + B.C).(D + B.E ) b) F (A, B,C) = A + BC c) F (A, B,C) = A.C + A.B + A. C d) F (A, B,C) = B + A. C 3- Dada a função lógica de quatro variáveis F (A, B,C, D) = (A + BC)(B + CD) expressá-la como um produto de somas. 4- Elaborar o circuito correspondente a tabela expressa na forma de soma de produtos. C F

7 MÉTODOS DE SIMPLIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES BOOLEANAS 5- Elaborar o circuito correspondente a tabela do exercício 4 na forma de produtos de somas. 6- Elaborar um circuito capaz de detetar combinações ABC lidas como números binários que sejam maiores ou iguais a Em um teste, a questão A tem peso 4, a questão B tem peso 3 e a questão C tem peso 3. Elaborar um circuito que indique se o aluno atingiu ou não o objetivo se o rendimento mínimo é de 60%. 8- Elaborar os circuitos correspondentes as tabelas expressa na forma de soma de produtos. C F C F C F Para as tabelas verdade do exercício 8 provar que a função minimizada através da função escrita como soma de produtos é igual a escrita como produto de somas. 4- Minimização de Funções Uma função booleana pode ter formas algébricas distintas, porém equivalentes. Se aplicado adequadamente os postulados e teoremas da álgebra booleana, obtém-se uma nova expressão mais simples, com menor número de variáveis e as somas possuirão menor número de parcelas. A simplificação de uma função evita o uso de portas lógicas desnecessárias na implementação do circuito, reduzindo assim seu custo. Exemplo: Simplificar a função f = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c = a.b.(c + c) + a.b.(c + c) = a.b. = a.b 1 = b.(a + a) + a.b. + a.b 1 f (a,b,c) = (0,1,4,5) algebricamente. m = b. 1 = b O procedimento mostrado pode ser usado em qualquer função, embora seja sujeito a erros. Por esta razão foram desenvolvidos os MAPAS DE KARNAUGH. O Mapa de Karnaugh é um método gráfico usado com o objetivo de se obter a expressão minimizada de um função booleana com até sete variáveis. Para uma função com n variáveis, o mapa terá uma configuração gráfica com 2 n quadrados, cada um correspondente a um dos 2 n mintermos possíveis para a função Formato do Mapa de Karnaugh. 35

8 1- O mapa de Karnaugh dá a mesma informação que a tabela verdade, só que em um formato diferente. Cada linha da tabela verdade corresponde a um dos quadrados do mapa de Karnaugh. Por exemplo, a condição A=1 e B=1 na tabela verdade corresponde ao quadrado A.B do mapa e o valor da saída correspondente a esta condição é colocado no quadrado. 2- Os quadrados do mapa são arranjados de tal forma que quadrados adjacentes verticalmente ou horizontalmente diferem de apenas uma variável. Cada quadrado da primeira linha é considerado adjacente ao quadrado correspondente da última linha. Pode-se imaginar que o mapa é circular, com a linha de cima tocando a última. Da mesma forma, os quadrados da coluna mais a esquerda são adjacentes a seus correspondentes da coluna mais a direita. 3- De maneira a fazer com que os quadrados difiram por uma única variável, a designação dos quadrados de cima para baixo e da esquerda para a direita deve ser feita na seguinte ordem para mapa de duas variáveis: A.B, A.B, A.B, A. B. 4- Uma vez que o mapa foi todo completado com 0s e 1s, a expressão da soma de produtos para a saída pode ser obtida através dos quadrados que contiverem o valor 1. O passo seguinte é a simplificação da função utilizando o diagrama. Passos para a minimização de funções usando mapa de Karnaugh: a) Representação da função no mapa; b) Formação de grupos com celas unitárias; O número de celas do grupo deve ser igual a uma potência de 2 (1, 2, 4, 8....); Deve-se formar grupos com maior número de celas onde a função assume o valor 1; Quando o grupo possui mais do que duas celas, cada uma delas deve ser adjacente a duas outras do mesmo. Não é possível agruparmos celas com formato em L; Os grupos com maior número de celas têm preferência sobre os menores; Enquanto existirem celas para as quais a função é 1, não pertencente a nenhum dos grupos formados, o procedimento deve ser continuado para a formação de novos grupos; Se alguma cela não puder ser combinada, ela ficará isolada, formando um grupo com um único elemento; c) Exclusão de grupos; Depois que todos os 1s da função forem incluídos em pelo menos um dos grupos formados, devemos verificar quais os grupos que não podem ser dispensados da expressão algébrica minimizada da função. Os grupos redundantes devem ser eliminados. Um grupo é indispensável quando ele possui pelo menos um elemento que pertence somente a ele e a mais nenhum outro grupo. d) Obtenção da equação minimizada; A somatória das expressões algébricas obtidas no passo c) fornece a expressão algébrica minimizada da função Mapa para Duas Variáveis Sabe-se que duas variáveis booleanas, A e B, por exemplo, admitem quatro combinações, ou seja: Mintermos

9 O mapa (ou diagrama) correspondente tem a seguinte forma: MÉTODOS DE SIMPLIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES BOOLEANAS B B 0 1 A OU 0 A 1 O quadrados que constituem o mapa são chamados ( ) celas. Pode-se distribuir, então, as 4 possibilidades neste mapa, da seguinte forma: B B A 0 1 A 2 3 onde os números no interior das celas representam o correspondente mintermo. Logo, cada linha da tabela verdade possui sua região própria dentro do mapa de Karnaugh. Essas regiões são os locais onde devem ser colocados os valores que a expressão assume nas diferentes possibilidades. Nas figuras abaixo são apresentadas as possibilidades de grupos de celas para duas variáveis: Grupo proibido: A combinação de um par de 1s adjacentes em um mapa de Karnaugh elimina a variável que aparece nos dois termos em sua forma normal e complementada. As variáveis que não mudam em todos os quadrados envolvidos na combinação devem necessariamente aparecer na expressão final. Exemplo 1: Montar o mapa de Karnaugh e obter a equação minimizada da seguinte expressão: S (A,B) = AB + AB + AB Mintermos S O diagrama correspondente fica: Equação minimizada: B B A 0 1 A 1 1 S = A + B 37

10 Deve-se observar que a função dada está na forma de somatória de mintermos. Caso ela não esteja nesta forma, deve-se levantar sua tabela verdade ou realizar manipulações algébricas para obtê-la. Exemplo 2: Montar o mapa de Karnaugh e obter a equação minimizada da seguinte expressão: S (A,B) = AB + AB + A Sua tabela verdade fica: Mintermos S E seu mapa de Karnaugh: B B A 1 1 A 1 0 Equação minimizada: S = A + B Exemplo 3: Obter a equação minimizada de S (A, B) = A.B + AB + AB B B A 1 0 A 1 1 Equação minimizada: S (A,B) = A + B Exercício: Obter a equação minimizada algebricamente e pelo mapa de Karnaugh. S Mapa para três variáveis Para três variáveis booleanas, tem-se oito combinações, ou seja: Mintermos C

11 O mapa ou diagrama de Karnaugh correspondente tem a seguinte forma: B. C B. C B. C B. C A A Possibilidades de formação de grupos: Grupos proibidos: A combinação de uma quadra de 1s elimina as duas variáveis que aparecem tanto em sua forma complementada como na não complementada. As variáveis que não mudam em todos os quadrados envolvidos na combinação devem necessariamente aparecer na expressão final. Exemplo 1: Obter a equação minimizada de S (A,B,C) = ABC + ABC + ABC Mintermos C S O mapa correspondente: B. C B. C B. C B. C A A Equação minimizada: Exercícios: S (A,B,C) = A.B + B. C 39

12 Obter a equação minimizada de: a) S (A,B,C) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC b) F(A, B,C) = m (0,2,3,4,6) d) F(A, B,C) = m (0,2,4,5) d) F(X, Y, Z) = m (1,2,3,7 ) e) F(A, B,C) = m (0,2,3,4,6) f) F (A, B,C) = A.B.C + B.C + A. B 4.4- Mapa para quatro variáveis Para quatro variáveis booleanas, tem-se dezesseis combinações, ou seja: Mintermos C D O mapa ou diagrama de Karnaugh correspondente tem a seguinte forma: C. D C. D C. D C. D Possibilidades de formação de grupos (incluem-se os grupos de uma, duas e quatro celas unitárias): Grupos proibidos: 40

13 A combinação de um octeto de 1s elimina as três variáveis que aparecem tanto em sua forma complementada como na não complementada. As variáveis que não mudam em todos os quadrados envolvidos na combinação devem necessariamente aparecer na expressão final. Exemplo: Minimizar a função G = (0,1,2,3,5,7,10,13,14,15) m Aplicando o procedimento sugerido, tem-se: C. D C. D C. D C. D Com relação à exclusão de grupos, o produto A. D não fará parte da expressão minimizada, uma vez que parte dele pertence ao conjunto A. B e a outra parte pertence ao conjunto B. D. Já os grupos A. B e B. D são indispensáveis, pois possuem pelo menos uma cela unitária pertencente só a eles. Desta forma, a equação minimizada fica: Exercícios: G = B.D + A.B + A.C.D 1- Minimizar a função: a) F(A, B,C, D) = m (0,1,5,8,9,12,13,14,15 ) b) F(A, B,C, D) = m (2,3,6,7,8,13,14,15 ) c) F (A,B,C, D) = AC + BC + ABC + ABCD d) F (A, B,C) = A. A.B. B. A. B e) F(A, B,C, D) = m (0,2,8,10 ) f) F(A, B,C, D) = m (0,3,4,7,8,11,12,15 ) g) F(A, B,C, D) = m (0,2,4,6,8,10,12,14 ) h) F(A, B,C, D) = m (0,1,2,3,8,9,10,11 ) i) F(A, B,C, D) = m (0,5,7,8,12,14 ) 2- Projetar um circuito capaz de detetar números binários de 4 bits que sejam maiores que 4 e menores que Minimizar a função que possui o seguinte mapa de Karnaugh: C. D C. D C. D C. D

14 Podemos montar o mapa de Karnaugh através da manipulação da expressão algébrica para a obtenção da expressão na forma de soma de mintermos ou, também, podemos apresentar a solução que representa diretamente no mapa a função booleana através da teoria dos conjuntos. Por exemplo, na função booleana S (A, B,C) = A.B.C + B.C + A. B teremos a seguinte situação: a) o primeiro termo apresenta todas as variáveis; b) no segundo termo a variável A não está representada então para representarmos o segundo termo no mapa devemos colocar 1 em cada cela que contém B. C, ou seja, A.B.C e A.B. C ; c) no terceiro termo a variável C não está representada e, de forma análoga a anterior, colocamos 1 em cada cela que contém A.B, ou seja, A.B.C e A.B. C. 5. Condições Irrelevantes ou Funções Incompletas Em certos circuitos digitais, uma função pode ser apresentada sem ser definida para uma ou mais das combinações possíveis das variáveis. Isto significa que, para a combinação não definida, a função pode assumir, indiferentemente, o valor 0 ou 1. Na representação de tais funções em mapas de Karnaugh, um X deve ser colocado nas celas onde elas são indefinidas. Quando da formação dos grupos de celas unitárias, deve-se escolher, convenientemente, uma ou mais celas assinaladas com X e considerá-las como celas unitárias. O critério de escolha é o que permite a formação de grupos com o maior número possível de celas unitárias, garantindo uma expressão mais simples para a função. = Exemplo 1: Minimizar a função F (3,4,5,7,9,13,15) + Ι(1,8,10) m A notação Ι ( 1,8,10) é usada para indicar que nas celas 1, 8 e 10 deve-se colocar um X. C. D C. D C. D C. D. X X 1 X Logo, F = A.B.C + C.D + B.D + A. D Exemplo 2: Suponha que a tabela verdade de uma função de quatro variáveis tenha uma saída alta para um entrada 0000 e saídas baixas para 0001 a1001. Qual a função mais simples com esta tabela verdade? C D Y

15 Mapa correspondente: X X X X X X MÉTODOS DE SIMPLIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES BOOLEANAS C. D C. D C. D C. D X X X X. 0 0 X X Expressão minimizada: Y = A. B. C. D Exercícios: 1- Minimizar a função: a) F(A, B,C, D) = Σ m (1,2,3,5,13) + I(6,78,9,11,15 ) b) F(A, B,C) = Σm (5,6,7) + I(3,4) 2- Um sistema de iluminação é composto por quatro lâmpadas. Somente duas podem ser acessas ao mesmo tempo. Projete um sistema digital de controle de iluminação. É proibido acionar duas ou mais chaves ao mesmo tempo. 6. Utilização do Mapa de Karnaugh pelo Complemento da Expressão Uma expressão canônica na forma de produto de maxtermos pode ser inscrita em um mapa de Karnaugh e posteriormente simplificada. Significa tomarmos os casos onde a expressão é nula (os zeros da função). As variáveis dos termos soma são transcritas da tabela verdade na forma complementar. Desta forma obtém-se o complemento da função, bastando inverter a saída. Exemplo: B. C B. C B. C B. C A A S = A.C S = A.C S = A + C 7. Função Booleana na Forma de Proposição Uma função lógica pode ser representada por expressão algébrica, tabela verdade, mapa de Karnaugh ou na forma de proposição. 43

16 Exemplo: Obter a função que executa a afirmação: Um aluno poderá se matricular numa disciplina X se já cursou as disciplinas A e B ou as disciplinas A e C. Considera-se F como a saída de uma função booleana com variáveis A, B e C. Uma variável igual a 1 significará disciplina cursada. A função F assumirá 1 quando a matrícula for permitida. Assim: C F Da tabela, obtém-se a equação: F = A.B.C + A.B.C + A.B. C O mapa correspondente: B. C B. C B. C B. C A A Equação minimizada: F = A.C + A. B Exercício: Obter a equação minimizada para a seguinte proposição: uma função com três variáveis assume nível 1 quando A e B assumem nível 0 ou quando B e C assumem nível Técnica de Minimização de Quine McCluskey Deve-se lembrar que o ponto básico para a simplificação de uma forma canônica de soma de produtos (soma de mintermos) de uma função lógica é o reconhecimento dos termos da soma que diferem apenas de uma variável. No mapa de Karnaugh é possível identificar visualmente onde esses termos adjacentes ocorrem. Outro método de simplificação, chamado método de Quine-McCluskey, procura organizar as informações da forma canônica de soma de produtos em uma tabela, a fim de facilitar a busca dos termos que diferem somente por um fator. O método de Quine-McCluskey é um processo de dois passos que assemelha-se ao do mapa de Karnaugh. Primeiro encontra-se termos agrupáveis (como na marcação das celas no mapa de Karnaugh); e em seguida eliminam-se os grupos redundantes, fazendo-se escolhas para os termos que podem pertencer a diversos grupos. Dada a expressão abaixo: F = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD C D f(a, B, C, D)

17 MÉTODOS DE SIMPLIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES BOOLEANAS Procedimento: 1- Elaborar uma tabela onde os mintermos são ordenados de cima para baixo relativo ao número de 1 s. Os mintermos com o mesmo número de 1 s constituem grupos, ficando separados por divisões horizontais. Grupo Número Mintermo Marca Decimal C D V V V V V V V V V V 2- Compare cada termo do 1 o grupo com os termos do 2 o grupo afim de achar um que difere por um dígito do termo do grupo 1. Por exemplo, temos o caso dos termos 0000 e 0010, que combinados reduzem-se a 00-0 quando eliminamos a variável C que se alterna. Escreve-se esse termo reduzido com um traço na posição C na primeira linha de uma nova tabela e também marca-se os termos 0000 e 0010 na tabela original com um índice V (este índice é um indicador de que a linha do termo reduzido da segunda tabela foi originada a partir destes 2 elementos). A numeração dos termos equivale a agrupar quadrículas no mapa de Karnaugh. Continua-se com esse processo com todos os termos. Um termo numerado pode ser usado em outras combinações, do mesmo modo que pode-se agrupar um termo já agrupado em um mapa de Karnaugh.: Proceda com os termos dos outros grupos do mesmo modo comparando o grupo 2 com grupo 3, grupo 3 com grupo 4 e 4 com 5. Transfira os resultados para a tabela. Grupo Número Mintermo Marca Decimal C D 1 0, V 0, V 2 2, , V

18 8, 9 8, , 7 5, 13 6, 7 9, , 15 13, V V V V V 3- Compare os termos dos grupos da tabela acima do mesmo modo que no item 2. Transfira para outra tabela. Neste ponto os traços ajudam a organizar o processo de busca, uma vez que os termos que diferem por apenas uma variável possuem traços na mesma posição. Uma vez mais, os termos que se combinam na segunda tabela recebem índices. Grupo Número Mintermo Marca Decimal C D 1 0, 2, 8, , 8, 2, , 7, 13, , 13, 7, Não é mais possível comparar os termos. Quando chega-se ao ponto em que o processo de redução não pode ser mais continuado, parte-se para o segundo passo do método. Os termos que não foram marcados com índices são irredutíveis e representam os grupos de tamanho mínimo do mapa de Karnaugh. F = ACD + ABC + ABC + ACD + BD + BD Obs.: Os termos repetidos da última tabela entram na equação final uma vez só (X + X = X) 46

19 Exercícios: 1) Reescreva as funções abaixo na forma de soma de mintermos: a) F = (A.B + A.B)(C + C.D) b) F = (X + Y)(X.Y + Z) c) F = A + B + C e)f = V(W + X)(Y + U) + UWY + VXY d) F = (A + B)(B + C) 2) Reescreva as funções abaixo na forma de produto de maxtermos: a) F = A.B + B.C c) F = (A + C).D + B.D b) F = (A + B + C)(B + C + D) d) F = (X.Y + Z)(Y + X.Z) 3) Para cada uma das funções abaixo: (I) levante sua tabela verdade; (II) expresse a função como uma soma de mintermos; (III) expresse a função como um produto de maxtermos e (IV) minimize as funções usando mapas de Karnaugh. a) F = c) F = A.(B + C) W.Y + X + (W + Y.Z) b) F = (A + B)(A + B + C)(A + C) d) F = (X + Z)(X + W.Y)(W + Z) 4) Use o mapa de Karnaugh para encontrar as expressões mais simples das seguintes funções: a) f(a,b,c) = Σ m (0,2,3) b) f(a,b,c) = Σ m (1,2,4,6,7) c) f(a,b,c) = Σ m (0,1,2,3) d) f(a,b,c) = Σ m (0,2,4,6) e) f(a,b,c) = Σ m (0,3,5,6) f) f(a,b,c,d) = Σ m (0,1,2,3,4,5,8,9,11,12,15) g) f(w,x,y,z) = Σ m (0,2,6,9,10,14,15) + I(1,5,7) h) f(a,b,c,d) = Σ m (0,2,8,10) i) f(a,b,c,d) = Σ m (0,2,4,6,8,10,12,14) j) f(w,x,y,z) = Σ m (7,8,9,13,14) + I(1,4,10) k) f(p,q,r,s) = Σ m (1,2,3,4,5,11) + I(0,12,15) l) f(w,x,y,z) = Σ m (2,9,10,12,13,14,15) m) f(f,g,h,i) = Σ m (0,3,4,7,8,11,12,15) 5) Repita o problema anterior fazendo com que os números que representam mintermos passem a representar maxtermos. 6) Use o mapa de Karnaugh para encontrar as expressões mais simples das seguintes funções: a) f(a,b,c,d) = Π M (0,5,7,13,14,15) b) f(a,b,c,d) = Π M (1,4,6,8,11,13,14) c) f(a,b,c,d) = Π M (1,2,4,5,7,8,10,11,13,14) d) f(a,b,c,d) = Π M (0,5,7,8,9,10,11,13) 7) Repita o problema anterior fazendo com que os números que representam maxtermos passem a representar mintermos. 8) Use o mapa de Karnaugh para simplificar as seguintes funções : a) f (A, B, C, D) = CD + BCD + AC + A b) f (A, B, C) = ABC + ABC + ABC c) f (A,B,C,D) = A.C.D + B.D + B.C + B.D + C. D 9) Dadas as variáveis de entrada (A, B,...), a variável de saída S e a proposição a ser desempenhada pelo circuito, fazer a tabela verdade, o mapa de Karnaugh para obter a equação booleana simplificada e o circuito lógico correspondente. A: existe tensão na rede; B: houve comutação para o sistema de baterias; 47

20 C: ocorreu alarme; D: as baterias não estão funcionando; S: o motor gira. Proposição: O motor gira se não houve alarme e as baterias estão funcionando sempre e existe tensão na rede e não houve comutação ou, não existe tensão na rede e houve comutação. 10) Simplificar as saídas da tabela verdade, usando mapa de Karnaugh: C D Y1 Y2 Y3 Y X X X X X X X X X X X X 11) A tabela abaixo é a tabela verdade de um somador completo, um circuito lógico com duas saídas chamadas VAI-UM e SOMA. Qual o circuito simplificado para a saída VAI-UM? E para a saída SOMA? Utilize o mapa de Karnaugh para a simplificação. C VAI-UM SOMA ) Dados 4 interruptores, S1, S2, S3 e S4, dispostos nesta seqüência, operar um dispositivo somente quando forem acionados 2 destes interruptores, desde que não sejam consecutivos, ou quando forem acionados 3 interruptores quaisquer. Fazer a tabela verdade, o mapa de Karnaugh para obter a equação booleana simplificada e o diagrama de blocos lógicos correspondente. 13) Mostre através do mapa de Karnaugh que a função S = A B C não admite simplificação. 14) Dispõe-se de um amplificador de áudio para conectar três fontes: um microfone, um CD player e um rádio FM. Elabore um circuito lógico mínimo que permita ligar os aparelhos obedecendo às seguintes prioridades: 1 a prioridade: CD player. 2 a prioridade: rádio FM. 3 a prioridade: microfone. 48

21 15) Seja o circuito de inversor abaixo e seu respectivo circuito de comando (não apresentado). Sabendo que a combinação das chaves que ocasionaria um curto-circuito da fonte jamais será realizada graças ao circuito de comando das mesmas, encontre a função mínima, usando o mapa de Karnaugh, que descreve o modo de operação do circuito. S A S C V S ± S B R S D 16) Elabore um circuito lógico para encher ou esvaziar um tanque industrial por meio de duas eletroválvulas, sendo uma para a entrada do líquido e outra para o escoamento de saída. O sinal de comando é enviado por dois sensores e um operador, um de nível máximo e outro de nível mínimo. 17) Pede-se o projeto de um sistema de iluminação onde as luzes podem ser acesas ou apagadas de cada um de três pontos de chaveamento. Elabore a tabela verdade e derive as equações correspondentes. Simplifique a equação e apresente um circuito lógico. 18) Quatro juizes participam de um programa de televisão e cada um tem, a sua disposição, uma chave on/off correspondente ao julgamento de um calouro (on aprovado, off reprovado). Na saída temos três lâmpadas, correspondentes a três resultados: aprovado (pela maioria), reprovado (pela maioria) e empate. Pede-se um circuito lógico. 19) O circuito recebe dois números binários de dois bits, A e B. Projete um circuito para produzir a saída quando A > B. 20) Projete um circuito que receberá um número binário de quatro bits e indicará quando o número é divisível por 2, 5 e 6. 21) Quatro grandes tanques de uma fábrica química, contendo líquidos diferentes, estão em processo de aquecimento. Estão sendo usados sensores de nível de líquidos para detectarem quando o nível nos tanques A e B passa de um determinado valor. Nos tanques C e D existem sensores de temperatura para detectar quando a temperatura de um dos dois tamques cair abaixo de um valor pré-determinado. Assuma que a saída dos sensores A e B estão no nível lógico BAIXO quando o nível está dentro do especificado, passando ao nível lógico ALTO quando o nível ultrapassa o valor limite. A saída dos sensores C e D estão no nível lógico BAIXO quando a temperatura é satisfatória, indo para o nível lógico ALTO quando a temperatura torna-se muito baixa. Projete um circuito lógico para detectar o fato de o nível nos tanques A e B estar muito alto, ao mesmo tempo em que a temperatura nos tanques C ou D estiver muito baixa. 49

22 22) A figura abaixo mostra um diagrama para um circuito de alarme de automóvel. As três chaves são usadas para indicar os estados da porta do motorista, da ignição e dos faróis, respectivamente. Projete um circuito lógico que receba como entradas as saídas destas três chaves, e faça com que o alarme seja ativado sempre que uma ou mais das condições abaixo venha a ocorrer: - os faróis estiverem ligados e a ignição desligada. - a porta estiver aberta e a ignição ligada. Siga as seguintes etapas: fazer a tabela verdade, o mapa de Karnaugh para obter a equação minimizada e o circuito lógico correspondente. fechada +5V Porta aberta +5V desligada Ignição Circuito Lógico Alarme ligada +5V desligadas ligadas Luzes 23) A figura abaixo mostra quatro chaves que são parte do circuito de uma máquina copiadora. As chaves estão colocadas em vários pontos, ao longo do caminho que o papel atravessa durante o processo de obtenção de uma cópia. Cada chave está normalmente aberta, fechando quando o papel passa por ela. É impossível que as chaves S 1 e S 4 fechem ao mesmo tempo. Projete um circuito lógico para produzir um nível lógico ALTO em sua saída sempre que duas ou mais chaves estejam fechadas ao mesmo tempo. Tire vantagem das condições irrelevantes. Siga as seguintes etapas: fazer a tabela verdade, o mapa de Karnaugh para obter a equação minimizada e o circuito lógico correspondente. S1 +5V S2 +5V S3 +5V Circuito X Lógico +5V S4 50

23 24) A figura abaixo mostra a interseção de uma via preferencial com uma outra secundária. Vários sensores de detecção de veículos estão colocados ao longo das mãos de direção C e D (via principal) e A e B (via secundária). A saída de tais sensores está no nível lógico BAIXO quando nenhum veículo foi detectado, e no nível lógico ALTO quando pelo menos um veículo tiver sido detectado. O sinal de tráfego no cruzamento deve ser controlado: a) a luz do sinal leste-oeste (L-O) deverá estar verde sempre que houver veículos em ambas as mãos de direção C e D. b) a luz do sinal leste-oeste (L-O) deverá estar verde sempre que houver veículos ou em C ou em D, estando ambas as outras mãos, A e B, sem nenhum veículo detectado. c) a luz do sinal norte-sul (N-S) deverá estar verde sempre que houver veículos em A e em B, estando C e D ambas desocupadas. d) a luz do sinal norte-sul (N-S) deverá estar verde quando ou A ou B estiverem ocupadas, enquanto C e D estiverem vazias. e) a luz do sinal leste-oeste (L-O) deve estar verde quando nenhum veículo tiver sido detectado pelos sensores. Usando as saídas dos sensores A, B, C e D como entradas, projete um circuito lógico para controlar os sinais. Deve haver duas saídas, N-S e L-O, que vão para o nível lógico ALTO quando a luz correspondente tiver de estar verde. N D A B C O L S 25) Um dispositivo lógico de entradas A, B, C e D e saída S, opera segundo o diagrama no tempo abaixo. Determine o circuito lógico mínimo que realiza tal função. 51