Matrizes. 2 e satisfaz a identidade matricial. = 2 2, então, o valor. sen cos. 4) Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j 2 - i 2.
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- Cristiana Brás Marreiro
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1 Matrizes ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: S = e D = S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número, Bernardo o número e Cláudio o número (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou chopes que ele próprio bebeu, chope de Bernardo e de Cláudio ( primeira linha da matriz S). Quem bebeu mais chope no fim de semana? Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? ) Considere três lojas, L, L e L, e três tipos de produtos, P, P e P. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj,i, j =,,. L P P P L 6 L 8 Analisando a matriz, podemos afirmar que a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loja L é. a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loja L é. a soma das quantidades de produtos do tipo P vendidos pelas três lojas é. d) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i =,,, é. e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P e P vendidos pela loja L é. ) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz A = (aij)x, tal que aij= i j, é:... d). e) 6. ) Seja a matriz M = (mij)x, tal que mij = j - i. Escreva M na forma matricial. Sendo M t a matriz transposta de M, calcule o produto M M t. ) Três barracas de frutas, B, B e B, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira. x a d,8 y c,, z B = Calcule, para esse dia, o valor, em reais: arrecadado a mais pela barraca B em relação à barraca B arrecadado em conjunto pelas três barracas. 6), e satisfaz a identidade matricial cos sen sen cos =, então, o valor d) e) 7) A matriz A = (aij), de segunda ordem, é definida por aij = i - j. Então, A - A t é:
2 d) e) 8) A matriz A= (aij) x indica a pontuação das equipes que disputaram um torneio de futebol por cada um dos jogos. Em relação às regras do torneio e à matriz A, sabe-se que: - as equipes jogaram entre si uma única vez no torneio; - em cada jogo, cada equipe ganhou pontos por vitória, por empate ou por derrota; - foi considerada campeã a equipe que totalizou o maior número de pontos; - as equipes foram numeradas de a ; - aij representa os pontos ganhos pela equipe i no jogo contra a equipe j, sendo que para i = j adota-se aij = ; - cada uma das equipes empatou ao menos um jogo. Sabendo-se que a equipe número foi a campeã do torneio, com um total de 8 pontos, é correto afirmar que a i i 6... d). e). é igual a ) A matriz M = está sendo usada para representar as coordenadas dos vértices A(, ),B(, ) e C(, ) de um triângulo ABC. Multiplicando-se M por uma constante k >, a matriz resultante da operação indicará os vértices do triângulo A B C, de acordo com o mesmo padrão anterior de representação. Em tais condições, a área do triângulo A B C será igual a k 6k k d) k e) 6k ) A matriz quadrada M, de ordem n >, satisfaz a equação M = M - I, onde I é a matriz identidade de ordem n >. Determine, em termos de M e I, a matriz M. ) A solução da equação matricial x. y é: d) ) A tabela mostra as quantidades de grãos dos tipos G e G produzidos, em milhões de toneladas por ano, pelas regiões agrícolas A e B. A tabela indica o preço de venda desses grãos. tabela tabela Região A Região B G G 6 G G 8 Sendo x o total arrecadado com a venda dos grãos produzidos pela região A e y pela região B, a matriz d) 6 e) 6 8 Preço por tonelada x y ) A toda matriz não nula [x y], corresponde um ponto P(x; y) no plano cartesiano, diferente da origem. Ao se multiplicar essa matriz pela matriz é, o ponto P:
3 Sofre uma rotação anti-horária de º em torno da origem. É projetado ortogonalmente no eixo das abscissas. Sofre uma reflexão em torno do eixo das abscissas. d) Sofre uma reflexão em torno do eixo das ordenadas. e) Sofre uma rotação horária de º em torno da origem. ) A, B e C são matrizes quadradas de ordem, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a alternativa correta: (A + B) = A + AB + B B.C = C.B (A + B).(A - B) = A - B d) C.I = C e) I.A = I ) Ao fim da ª fase do torneio "Rio-São Paulo-", os números de vitórias, empates e derrotas dos quatro times classificados estão representados na tabela abaixo. Sabendo que a cada vitória um time ganha pontos, a cada empate ganha ponto e a cada derrota, ponto, construa uma matriz conveniente de pontuação e obtenha, através de uma multiplicação de matrizes, a matriz que forneça a pontuação final dos times classificados. Vitórias Empates Derrotas Corinthians Palmeiras São Paulo 8 São Caetano 8 6 6) Com relação à matriz correta é: A I, sendo A I, sendo A A A A d) A A e) I I A 7) Considere a matriz A = A + A l A l, a opção a matriz identidade de ordem. a matriz identidade de ordem.. Obtenha as matrizes: 8) Considere a matriz A[aij], de ordem x, cujos elementos são mostrado a seguir. aij =, se, se i j i j É correto afirmar que:. Na matriz A, o elemento a é igual ao elemento a.. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.. O determinante da matriz A é igual a Se a matriz B é [ - -], então o produto B.A é a matriz -B. 6. Sendo I a matriz identidade de ordem, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a. Marque como resposta a soma dos itens corretos. ) Considere a matriz A[aij], de ordem x, cujos elementos são mostrado a seguir.,se i j,se i j Aij = É correto afirmar que:. Na matriz A, o elemento a é igual ao elemento a.. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.. O determinante da matriz A é igual a Se a matriz B é [ - -], então o produto B.A é a matriz -B. 6. Sendo I a matriz identidade de ordem, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a. Marque como resposta a soma dos ítens corretos. ) Considere a matriz e uma matriz A = [ -] e uma matriz B = [bij]. Se A.B.A = A, então, é correto afirmar que, na matriz B, b = b b = - + b b = + b d) b = + b e) b = b ) Considere a transformação de coordenadas cartesianas (x, y), dos pontos que compõem a figura a seguir, em coordenadas (x, y ), através da operação matricial indicada ao lado da figura.
4 e) x` y` = 6 x. x y Com essa transformação, a figura que se obtém no plano (x, y ) é ) Considere as matrizes A = 6 y x z, B =,com x, y, z números reais. Se A B = C, a soma dos elementos da matriz A é:... d). e) 8. e C = ) Considere as matrizes A e B, tais que A = e A.B 8 =. A soma dos elementos da primeira coluna da matriz B é igual a: d) e) ) Considere as matrizes reais x do tipo A(x) = cosx senx senx cosx Calcule o produto A(x).A(x). A(x).A(x)=A(x). d) ) Considere as matrizes: I. A = (aij), x6, definida por aij = i-j II. B = (bij), 6x8, definida por bij = i III. C = (cij), C = A.B O elemento c é: d) e) Não existe
5 6) Dada a matriz M = podemos afirmar que: Considere a matriz C, tal que C = - A t. Encontre o valor do número real p, sendo p o determinante da matriz C. A -, isto é, p = det (C. A - ) e A - matriz inversa da matriz A. M = M.M.M...M = M vezes DET (M) = M.X = M = d) M - = ) Numa pequena cidade realizou-se uma pesquisa com certo número de indivíduos do sexo masculino, na qual procurou-se obter uma correlação entre a estatura de pais e filhos. Classificaram-se as estaturas em grupos: alta (A), média (M) e baixa (B). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos de probabilidades, na matriz 7) Dadas as matrizes A = = B.A, então x.y = x y logyx = d) x + y = 8 e) x = y x y e B =, se A.B 8) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais x: x. x x y x ) É dada a matriz A = z z y z 6 Se B = A t - A,onde A t a matriz transposta de A e B = y x 7y x x 7 y y x 7y x determine o número real w, tal que w = x. y O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que é, significa que a probabilidade de um filho de pai alto ter estatura média é. Os demais elementos interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem válidas por algumas gerações, a probabilidade de um neto de um homem com estatura média ter estatura alta é: 6 d) 6 e) 6 ) O valor de a para que a igualdade matricial. a = seja verdadeira é:
6 d) - e) - ) Para acessar suas contas correntes via Internet, os clientes de um banco devem informar x: número do banco; y: número da agência; r: número da conta corrente; s: senha de acesso. Para garantir a segurança desses dados, que trafegam pela Internet, a matriz de informação I = x r y s é pré-multiplicada por A =. Assim, a informação que trafega pela rede é I.A. Se um cliente digitar x=; y=7; r=8 e s=6, qual será a informação que trafegará pela Internet? ) Para cada número x, considere as matrizes: A = x - - x - e B = x. Então, é correto afirmar: - Se x =, então A + B =. - Se x =, então AB = -. - Existe número real x tal que det A = det B. - Existe número real x tal que A é inversa de B. - O número complexo +i é raiz da equação det A =. - (det A)(det B) é um polinômio cujas raízes têm soma igual a. ) São dadas as matrizes A = e B =. A matriz X = A t + B, onde A t é a matriz transposta de A, é igual a: d) e) y x ) Se a matriz x é simétrica, então x -y é igual a: 8 d) 8 e) 6) Se a matriz 7 d) e) x z y 6 for simétrica, então x + y + z é: 7) Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira: AB = BA. Se AB = AC, então B = C. Se A = On (matriz nul, então A = On. d) (AB)C = A(BC). e) (A + B) = A + AB + B. a 8) Se as matrizes A = c = BA, pode-se afirmar que A é inversível det A = b = d) c = e) a = d = b d e B = são tais que AB ) Se as matrizes A= (aij) e B= (bij) estão assim definidas: aij se i j a se i j b b ij ij ij onde se se i j i j 6
7 d) e) d), - e e) n.d.a. a c b d ) Seja A = uma matriz x cujos coeficientes são números reais. Vamos chamar de transposta de A à a b c d matriz A t =. Dizemos que uma matriz A é simétrica se A = A t e dizemos que A é anti-simétrica se A = - A t. Dada uma matriz A qualquer, verifique que B = A t ) é uma matriz simétrica e que C = matriz anti-simétrica. (A - A t ) é uma (A + ) Se o produto de matrizes x y - d) e) - é a matriz nula, x + y é igual a:.. Mostre que toda matriz x é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica. A ) Seja a matriz a 8 A. É verdade que a + b é igual a b tal que ) Se os elementos da matriz Ax são definidos por aij = i - j, então, o elemento b da matriz B = - A.A t é. 7.. d). ) Se uma matriz quadrada A é tal que A t = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é antisimétrica e a a b... M = b c c 8 Obs. M: Matriz quadrada de ordem. Os termos a, a e a da matriz M valem, respectivamente: -, - e, e -, - e - d) - e) - ) Seja a matriz A = matriz A é. 8.. d) 7. e).. A soma dos elementos da 7
8 6) Sejam A = x y x y, B = e C = matrizes reais. Calcule o determinante de A, det(a), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) que satisfazem a inequação det(a) det(b). Determine x e y reais, de modo que A + B = C. 7) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que (A + B) = A + AB + B? Sempre, pois é uma expansão binomial. Se e somente se uma delas for a matriz identidade. Sempre, pois o produto de matrizes é associativo. d) Quando o produto AB for comutativo com BA. e) Se e somente se A = B. 8) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem e a matriz nula também de ordem. Assinale a alternativa correta: Se AB = então A = ou B = det(a) = det(a) Se AB = AC então B = C d) A(BC) = (AB)C e) det(a + B) = det(a) + det(b) ) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, x e pxq. Se a matriz A.B é x, então é verdade que: p = e q = p = e q = p = e q = d) p = e q = e) p = e q = ) Sejam as matrizes a seguir j A a ij,aij i x i B b,b j ij x Se C = A.B, então c vale: d) 8 e) ij ) Sejam as matrizes M e M a seguir e considere a operação entre estas matrizes: M=, M = p q Nessas condições p + q é igual a: 6 7 d) 8. ) Sendo A uma matriz correto afirmar que e M.M - M.M = - mn e B uma matriz pq, é (A t ) t = A e (B t ) t = B Sempre é possível efetuar (A + B) Se n = p, então A.B = B.A d) Sempre é possível efetuar o produto A.B e) Se n = p, então A.B t = B t.a - - ) Sobre as sentenças: I. O produto de matrizes Ax.Bx é uma matriz x II. A soma de matrizes Ax+Bx é uma matriz x III. A soma de matrizes Ax+Bx é uma matriz x É verdade que: somente a II é falsa somente a I é falsa I, II e III, são falsas d) I e III são falsas e) somente a III é falsa ) Uma agência de propaganda utiliza nas campanhas publicitárias que elabora para seus clientes três tipos de material para divulgação em papel: impresso tipo PB, em preto e branco no papel simples, impresso tipo CK, colorido no papel simples, impresso tipo CKX, colorido no papel mais grosso. Para fazer este tipo de trabalho, a agência contrata normalmente três gráficas, que cobram preços unitários diferentes para cada tipo de impressão conforme tabela abaixo. Tabela Tipo PB CK CKX Gráfica A R$, R$, R$, Gráfica B R$, R$, R$, Gráfica C R$, R$, R$6, Determine a gráfica que, para fazer impressões do tipo PB, do tipo CK e do tipo CKX apresentaria o menor custo. No último ano, a agência fez % dos seus impressos com a gráfica A, % com a gráfica B e o restante com a gráfica C. Supondo que, em cada campanha deste último ano, a agência sempre fez os três tipos de impressão com a mesma gráfica e que os preços unitários foram os valores 8
9 dados na Tabela, determine o custo unitário médio que a agência teve com cada tipo de impressão. ) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P e P. Essas peças são vendidas a duas empresas, E e E. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P é R$, e de cada peça P é R$,. A matriz abaixo fornece a quantidade de peças P e P vendidas a cada uma das empresas E e E no mês de novembro. A matriz, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E e E, respectivamente, é: d) e) ) Uma indústria farmacêutica produz, diariamente, p unidades do medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M, x, e N, x: r s M = [p q] e N = A matriz produto M.N representa o custo da produção de dia. dias. dias. d) dias. e) dias. 7) Uma matriz quadrada M é chamada de idempotente se M = M M = M. sen( ) cos( ) - cos( ) sen( ) seja idempotente. sen( ) matriz cos( ),, para que a sen( ) sen( ) seja idempotente. 8) Uma matriz real A é ortogonal se A.A t = I, onde I indica a matriz identidade e A t indica a transposta de A. Se A = x é ortogonal, então x + y é igual a: y z d) e) ) Uma matriz X tem elementos cuja soma vale. Seja X t a transposta da matriz X. Sabendo que X..X t = [], podemos afirmar que o produto dos elementos de X vale:,,6 d) - e) -6 6) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida por cada grama ingerida dos alimentos citados. fruta D leite 6 cereais fruta leite cereais,6 M,,8,,,,8 proteínas,8 gorduras,6 carboidratos
10 A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é: 8, 6,,, 8,,6,7 6, 6, 7,, e), 8, 6,, 6) Dada a matriz A, calcule a sua inversa A -. A relação especial que você deve ter observado entre A e A -, seria também encontrada se calculássemos as matrizes inversas de B, C e D. Generalize e demonstre o resultado observado. A = B= ; C= 6 ; D= 6) Discuta, em função de m, o sistema nas incógnitas x e y: mx y x my 6 k Dadas as matrizes A = m e B = para que valores de k e m, a matriz A é a inversa de B? 6) Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas por elementos inteiros pares receba o nome de EVEN. Seja M uma matriz, com elementos reais, tal que M = x x x. Admita que M seja EVEN, e que sua inversa tenha o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a. Determine o valor de x nas condições dadas. Determine a inversa de M nas condições dadas. 6) As matrizes A e B são quadradas de ordem e tais que AB =. Determine a matriz BA. 6) Considere as matrizes A e B a seguir : d) a a a b b b A = e B = Se a inversa da matriz A é a matriz B então: a = ou b = ab = ab = d) a = e b = e) a + b = 66) Considere as matrizes A, B, C, D e X, de tal forma que ABX +C = D.sendo que todas essas matrizes são inversíveis. Nestas condições é correto afirmar que: X = A B X = B A X = B - A - d) X = A - B - e) X = ( - B - 67) Considere as matrizes: cos sen sen cos M=, X = e Y = Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M. Resolva o sistema MX = Y. x y z 68) Dizemos que duas matrizes nxn A e B são semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P tal que B=P - AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então: B é sempre inversível. se A é simétrica, então B também é simétrica. B é semelhante a A. d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A. e) det( - - 6) O montante aplicado de R$., foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo rendido % em um mês, e a outra % no mesmo período. O total dos rendimentos dessa aplicação foi de R$.,. Sendo M, P e Q as x, matrizes M = y, P = e Q =,, a matriz M pode ser obtida pelo produto.(p t.q) - P t.q. Q -.P. d).(q t ) -.P e) (Q - ) t.p.
11 x 7) Se a matriz x valor de x é: - d) - e) x não é invertível, então o 7) Seja A =. Justifique, através do cálculo do determinante, que A é inversível. Mostre que A - =A t 7) Sejam A e B matrizes x tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A + AB - B =. Se B é inversível, mostre que: AB - = B - A e que A é inversível. d) e) 7) Sejam as matrizes: log, A = e B = Calcule: o determinante da matriz (B - A). a matriz inversa da matriz (B - A). log, 76) Uma matriz quadrada de ordem é tal que o elemento situado na linha x e coluna y vale x - y. Com relação à inversa dessa matriz, pode-se afirmar que: O elemento situado na linha x e coluna y vale x - y O elemento situado na linha x e coluna y vale x + y O elemento situado na linha x e coluna y vale y - x d) O elemento situado na linha x e coluna y vale y - x e) Essa matriz não tem inversa 7) Sejam as matrizes A = e B = Determine o elemento c da matriz C = (A + B) -. x 7) Sejam as matrizes A = 6 e M = y, onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é:
12 ) Cláudio bebeu mais ( chopes) chopes. ) Alternativa: E ) Alternativa: B ) M = 8 M.M t = 7 b b,8 ) b b, (b + -(b + = b - b =, -,8, milhares de reais. reais b b,8 b b, b b, (b + + (b + + (b +,8 +, +, b + b + b = 6,8 b + b + b =, milhares de reais. reais 6) Alternativa: B 7) Alternativa: B 8) Alternativa: A ) Alternativa: D Gabarito matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação, C. I = C. ) Matriz de pontuação: Obtenção da matriz com a pontuação final dos times: ) Alternativa: A 7) = 6 8) V V F V V = = 7 ) V V F V V = = 7 ) Alternativa: B ) Alternativa: C ) Alternativa: B ) Alternativa: C ) A(x).A(x) = senx senx ) M = I - M (obtenha as potências de M e perceba que elas formam uma seqüência de período 6, portanto M = M ) ) Alternativa: B ) Alternativa: B ) Alternativa: A ) Alternativa: D as alternativas A, B e C são falsas pois a multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. E como a ) Alternativa: E 6) Alternativa: A 7) Alternativa: C 8) x =, y =, z =. ) 7 p = 8 ) Alternativa: A
13 ) Alternativa: B ) Resposta: trafegará a matriz IA = 68 ) V F V F V F ) Alternativa: D ) Alternativa: B 6) Alternativa: C 7) Alternativa: D 8) Alternativa: D ) Alternativa: D ) Alternativa: C ) Alternativa: D ) Alternativa: B 8 7 Logo, podemos dizer que qualquer matriz A do tipo x é a soma uma matriz simétrica com uma anti-simétrica devidamente escolhidas. ) Alternativa: B ) Alternativa: A 6) deta = - x + y; gráfico. x = e y =. a b a c ) Seja A = c d e A t = b d temos B = (A + A t ) a b c a b c b c = b c d d = a b c b c Como B t = d = B então B é matriz simétrica. a b a c Seja A = c d e A t = b d temos C = (A - A t ) = b c b c c b c b = c b b c Como C t = = -C então C é matriz antisimétrica. Se A, B e C são matrizes x, B é matriz simétrica dada por B = (A + A t ) e C é anti-simétrica dada por C = (A - A t ) temos que B + C = A + A t + A - A t = A + A = A. 7) Alternativa: D 8) Alternativa: D ) Alternativa: B ) Alternativa: D ) Alternativa: C ) Alternativa: A ) Alternativa: D ) Resposta: Gráfica C Resposta: Os custos unitários médios, em reais, são,,,7 e,6, respectivamente, para os tipos de impressão PB, CK e CKX. ) Alternativa: C 6) Alternativa: B 7).
14 6 8) e) Multiplique a matriz A pela sua transposta e iguale à identidade. Resolva o sistema mantendo as incógnitas x, y e z ao quadrado. ) Alternativa: A Dica: perceba que a matriz X precisa ser do tipo (x). 6) Alternativa: E 6) A - = Isso acontece com matrizes do tipo determinante -, pois: Se A = A - = a c a c b a a c b a b a a bc = -a -bc = - - e A. A - = I, então a a c bc = b a com +bc x y z = cos sen 68) Alternativa: E x = cos 6) Alternativa: D e E Ambas representam a mesma matriz, pois.(q t ) -.P = (Q - ) t.p. Para usar a questão, mude uma das alternativas. Por exemplo, coloque: E) P.(Q - ) t. e nesse caso, a correta seria a D. 7) Alternativa: C 7) Aplicando a regra de Sarrus, obtemos o determinante da matriz como sendo det A =. Assim, a matriz é inversível, pois det A Se mostrarmos que A.A t = I (identidade) então estaremos mostrando que A t = A - (pela definição de Matriz Invers. De fato, multiplicando a matriz A pela sua transposta obtemos a identidade de ordem. 7) Resposta Se AB = BA, então B - AB = B - BA = B - AB B - = B - BA B - = B - A.I = I.A.B - = B - A = A.B -, ou seja, AB - = B - ª 6) SI: m = k = 6) x = 6) B.A = e m = ) Alternativa: C 66) Alternativa: C 6 cos sen 67) det M = e M - = -sen cos A + AB - B = (A + AB - B).B - =.B - A.(AB - ) + A - I = A.[AB - + I ] = I Assim, det(a.[ab - + I ]) = det I - + I) = Assim, concluímos que 7) Resposta : Para obter um elemento específico da matriz inversa, o ideal é usar o método de obter a matriz inversa via matriz adjunta. 7) Alternativa: A 7) B-A = 8 det (B-A) = + = (B-A) - = 76) Alternativa: E
Visite : c) 2 d) 1. a) 1000.(P t.q) -1 b) P t.q.1000 c) Q -1.P.1000 d) 1000.(Q t ) -1.P e) (Q -1 ) t.p.
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