Teorema de Tales no plano

Transcrição

1 MA620 - Aula 3 p. 1/ Teorema de Tales no plano Teorema de Tales: (no plano) Se duas retas paralelas são cortadas por duas retas concorrentes, então as medidas dos segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais.

2 MA620 - Aula 3 p. 2/ Teorema de Tales no espaço Teorema: Um feixe de planos paralelos determina segmentos proporcionais sobre duas retas secantes.

3 MA620 - Aula 3 p. 3/ Planos e retas perpendiculares Definição: Uma reta é perpendicular a um plano se ela é ortogonal a toda reta a toda reta contida no plano.

4 MA620 - Aula 3 p. 3/ Planos e retas perpendiculares Definição: Uma reta é perpendicular a um plano se ela é ortogonal a toda reta a toda reta contida no plano. Se a reta r e o plano π são perpendiculares, então toda a reta r paralela a r também é perpendicular a π; todo plano π paralelo a π também é perpendicular a r.

5 MA620 - Aula 3 p. 3/ Planos e retas perpendiculares Definição: Uma reta é perpendicular a um plano se ela é ortogonal a toda reta a toda reta contida no plano. Se a reta r e o plano π são perpendiculares, então toda a reta r paralela a r também é perpendicular a π; todo plano π paralelo a π também é perpendicular a r. duas retas distintas r e r perpendiculares a um mesmo plano são paralelas; dois planos π e π perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.

6 MA620 - Aula 3 p. 4/ Planos e retas perpendiculares Teorema: Se r é ortogonal a um par de retas concorrentes, então r é perpendicular ao plano definido por estas retas.

7 MA620 - Aula 3 p. 4/ Planos e retas perpendiculares Teorema: Se r é ortogonal a um par de retas concorrentes, então r é perpendicular ao plano definido por estas retas. Teorema: Por um ponto dado, existe um único plano perpendicular a uma reta dada. Da mesma forma, por um ponto dado, existe uma única reta perpendicular a um plano dado.

8 MA620 - Aula 3 p. 5/ Exercícios Seja P um ponto exterior a um plano π. Para cada ponto Q de π seja X o ponto do segmento PQ que o divide na razão XP XQ = k. Qual é o lugar geométrico do ponto X quando Q percorre o plano π.

9 MA620 - Aula 3 p. 5/ Exercícios Seja P um ponto exterior a um plano π. Para cada ponto Q de π seja X o ponto do segmento PQ que o divide na razão XP XQ = k. Qual é o lugar geométrico do ponto X quando Q percorre o plano π. Mostre que por um ponto dado existe uma única reta ortogonal a duas retas não paralelas.

10 MA620 - Aula 3 p. 5/ Exercícios Seja P um ponto exterior a um plano π. Para cada ponto Q de π seja X o ponto do segmento PQ que o divide na razão XP XQ = k. Qual é o lugar geométrico do ponto X quando Q percorre o plano π. Mostre que por um ponto dado existe uma única reta ortogonal a duas retas não paralelas. Dados três pontos A, B e C não colineares, mostre que se as retas AB e BC são ortogonais a reta r, então a reta AC também é ortogonal a r.

11 MA620 - Aula 3 p. 6/ Sistema ortogonal de coordenadas I Fixado um plano π, escolha um ponto O em π e trace uma reta r passando por O.

12 MA620 - Aula 3 p. 6/ Sistema ortogonal de coordenadas I Fixado um plano π, escolha um ponto O em π e trace uma reta r passando por O. Em seguida, trace a única reta s em π que é ortogonal a r e passa pelo ponto O.

13 MA620 - Aula 3 p. 6/ Sistema ortogonal de coordenadas I Fixado um plano π, escolha um ponto O em π e trace uma reta r passando por O. Em seguida, trace a única reta s em π que é ortogonal a r e passa pelo ponto O. Finalmente, trace a única reta t perpendicular ao plano π e passando pelo ponto O.

14 MA620 - Aula 3 p. 6/ Sistema ortogonal de coordenadas I Fixado um plano π, escolha um ponto O em π e trace uma reta r passando por O. Em seguida, trace a única reta s em π que é ortogonal a r e passa pelo ponto O. Finalmente, trace a única reta t perpendicular ao plano π e passando pelo ponto O. As coordenadas (x,y,z) de um ponto arbitrário P em relação a (O,r,s,t) são definidos da seguinte forma.

15 MA620 - Aula 3 p. 7/ Sistema ortogonal de coordenadas II Trace uma reta passando por P e perpendicular a π, cortando-o no ponto Q; esta reta é paralela a reta t. A coordenada z é dada pelo tamanho do segmento PQ.

16 MA620 - Aula 3 p. 7/ Sistema ortogonal de coordenadas II Trace uma reta passando por P e perpendicular a π, cortando-o no ponto Q; esta reta é paralela a reta t. A coordenada z é dada pelo tamanho do segmento PQ. Trace uma reta no plano π passando por Q e paralela a reta r, cortando-a no ponto R. A coordenada y é dada pelo tamanho do segmento QR.

17 MA620 - Aula 3 p. 7/ Sistema ortogonal de coordenadas II Trace uma reta passando por P e perpendicular a π, cortando-o no ponto Q; esta reta é paralela a reta t. A coordenada z é dada pelo tamanho do segmento PQ. Trace uma reta no plano π passando por Q e paralela a reta r, cortando-a no ponto R. A coordenada y é dada pelo tamanho do segmento QR. Trace uma reta no plano π passando por Q e paralela a reta s, cortando-a no ponto S. A coordenada x é dada pelo tamanho do segmento QS.