Parte IV Matriz e Determinante

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1 COLÉGIO ADVENTISTA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO NOME DO ALUNO N DISCIPLINA: Matemática DATA: CURSO: Ensino Médio ANO: 3º A / B BIMESTRE: 3º PROFESSOR: Alexandre da Silva Bairrada Parte IV Matriz e Determinante 1.(Unirio) Dada a matriz representada na figura adiante 4.(Uff) Determine o(s) valor(es) de x para que a matriz Determine o valor de A + A - I.. (Unirio) Seja a matriz mostrada na figura a seguir não admita inversa. Sabendo-se que A =A t, calcule o determinante da matriz A - A + I (3). 3.(Uerj) Considere a matriz A: A = (aöœ) é quadrada de ordem 5 em que aöœ = 1, se x é par e aöœ = -1, se x é ímpar Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A. 5.(Ufpe) Seja M uma matriz invertível tal que Det M =1/96, onde M é a matriz inversa de M. Determine o valor de Det M. 6.(Ufv) Dada a matriz mostrada na figura adiante determine: a) A 3.(Ufes) Considere a matriz mostrada na figura a seguir b) A. A -1 c) A + 3A Determine A 3. 7.(Unesp) Seja A=[a Œ] a matriz real x definida por a Œ=1 se i j e a Œ= -1 se i>j. Calcule A. 8. (Ufsc) Considere as matrizes A e B a seguir e n=det(ab). Calcule 7¾.

2 matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por: 9.(Fgv) Observe que 10.(Uel) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem. Se I e 0 são, respectivamente, as matrizes identidade e nula, de ordem, é verdade que a) A + B B + A b) ( A. B ). C = A. ( B. C ) c) A. B = 0 Ì A = 0 ou B = 0 d) A. B = B. A e) A. I = I 13.(Fei) Se as matrizes A= (a Œ) e B= (b Œ) estão assim definidas: ýa Œ = 1 se i = j þ ÿa Œ = 0 se i j ýb Œ = 1 se i + j = 4 þ ÿb Œ = 0 se i + j 4 11.(Unioeste) O valor de "a" para o qual o determinante adiante se anula é: onde 1 1,j 3, então a matriz A + B é: 1.(Cesgranrio) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura. Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada

3 14.(Fei) Dadas as matrizes A e B, a matriz de x de ordem que é solução da equação matricial Ax+B = 0, onde 0 representa a matriz nula de ordem é: 17.(Ita) Sejam A e B matrizes reais 3 3. Se tr(a) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A, considere as afirmações: [(I)] tr(a )=tr(a) [(II)] Se A é inversível, então tr(a) 0. [(III)] tr(a+ B)=tr(A)+ tr(b), para todo Æ R. 15.(Fei) Considere as matrizes A e B. Temos que: a) todas as afirmações são verdadeiras. b) todas as afirmações são falsas. Se a inversa da matriz A é a matriz B então: a) a = 0 ou b = 0 b) ab = 1 c) ab = 1/ d) a = 0 e b = 0 c) apenas a afirmação (I) é verdadeira. d) apenas a afirmação (II) é falsa. e) apenas a afirmação (III) é falsa. 18.(Mackenzie) Considere as matrizes A e B a seguir. e) a + b = 1/ Se a Æ IR, então a matriz A.B: a) é inversível somente se a = (Fuvest) O determinante da inversa da matriz a seguir é: b) é inversível somente se a = 1. c) é inversível somente se a =. d) é inversível qualquer que seja a. e) nunca é inversível, qualquer que seja a. 19.(Puccamp) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostradas a seguir, são tais que sua soma é igual a a) - 5/5 b) - 48/5 c) - 5/48 d) 5/5 e) 5/48 a) - 3 b) - c) - 1

4 d) e) 3 0.(Uece) Sejam as matrizes 3.(Uel) Sobre as sentenças: I. O produto de matrizes AƒÖ. B Ö é uma matriz 3x1. II. O produto de matrizes A Ö. B Ö é uma matriz 4x. III. O produto de matrizes A Öƒ. BƒÖ é uma matriz quadrada x. sendo M a matriz transposta de M, então n + n.q é igual a: a) 6 b) 9 c) 1 d) 18 e) 1 é verdade que a) somente I é falsa. b) somente II é falsa. c) somente III é falsa. d) somente I e III são falsas. e) I, II e III são falsas. 1.(Uel) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A.B é 3 x 5, então é verdade que a) p = 5 e q = 5 4.(Uel) Uma matriz quadrada A se diz ANTI- SIMÉTRICA se A =-A t. Nessas condições, se a matriz A mostrada na figura adiante é uma matriz antissimétrica, então x+y+z é igual a b) p = 4 e q = 5 c) p = 3 e q = 5 d) p = 3 e q = 4 e) p = 3 e q = 3.(Uel) Considere as matrizes M e M representadas a seguir. Conclui-se que o número real a pode ser a) 3 b) 1 c) 0 d) -1 e) -3 5.(Uel) A soma de todos os elementos da inversa da matriz M mostrada na figura é igual a a) Ë3 b) Ë c) d) - Ë e) - Ë3 a) - b) -1 c) 0 d) 1 e)

5 6. (Uff) Toda matriz de ordem x, que é igual a sua transposta, possui: a) pelo menos dois elementos iguais. b) os elementos da diagonal principal iguais a zero. (04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A.B é igual ao conjunto formado pelos elementos da matriz B. (08) det(3. A) = det(b) (16) A matriz inversa de A é a própria matriz A. c) determinante nulo. d) linhas proporcionais. Soma ( ) e) todos os elementos iguais a zero. 7. (Ufpr) Considere a matriz A = [a Œ], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir. a Œ= 9.(Ufrn) Dada a matriz M mostrada na figura adiante podemos afirmar que ý1, se i j þ ÿ0, se i = j É correto afirmar que: 01) Na matriz A, o elemento a ƒ é igual ao elemento aƒ. 0) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 30.(Ufrs) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante: A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P 1, P, Pƒ desse restaurante: 04) O determinante da matriz A é igual a ) Se a matriz B é [ ], então o produto B.A é a matriz -B. 16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1. 8.(Ufpr) Dadas as matrizes A e B mostradas na figura adiante. A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P 1, P e Pƒ, está indicada na alternativa É correto afirmar: (01) B. A = B (0) Todos os elementos da matriz A + B são números ímpares. 31.(Ufsc) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. Se A é uma matriz de ordem n, então det(ka)=k¾.deta, kær. 0. (A ). A = I

6 04. det (A + B) = det A + det B. 08. Se A é uma matriz de ordem n m e B é de ordem m k, então A+B é uma matriz de ordem n k. 16. A. B só é possível quando A e B forem matrizes de mesma ordem. 3.(Ufsc) Considere as matrizes, mostradas na figura adiante: e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P 1 e P vendidos pela loja L 1 é (Unirio) Considere as matrizes A, B e C na figura adiante: A adição da transposta de A com o produto de B por C é: e determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. A matriz A é inversível. 0. (A.B) = B.A, onde A significa a matriz transposta de A. 04. O sistema homogêneo, cuja matriz dos coeficientes é a matriz A, é determinado. 08. A + C é a matriz nula de ordem A.C = C.A. Soma ( ) 33.(Unesp) Considere três lojas, L 1, L e Lƒ, e três tipos de produtos, P 1, P e Pƒ. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento a Œ da matriz indica a quantidade do produto P vendido pela loja LŒ, i, j = 1,, 3. a) impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por C. b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos diferentes. c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta de A com o produto de B por C. d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo x3. e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3x. 35.(Fei) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis: Analisando a matriz, podemos afirmar que a) a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loja L é 11. b) a quantidade de produtos do tipo P 1 vendidos pela loja Lƒ é 30. c) a soma das quantidades de produtos do tipo Pƒ vendidos pelas três lojas é 40. d) a soma das quantidades de produtos do tipo P 1 vendidos pelas lojas L, i=1,,3, é 5. podemos afirmar que x/y vale: a) -1 b) 1 c) 36 d) -36 e) -1/6 36.(Fei) Para que o determinante da matriz

7 seja nulo, o valor de a deve ser: a) ou - b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou (Pucmg) M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(m)=. O valor da expressão det(m)+det(m)+det(3m) é: a) 1 b) 15 c) 36 d) 54 e) 7 40.(Uff) Considere a matriz 37.(Puccamp) Sejam as matrizes mostradas na figura a seguir O determinante da matriz A+B.C é a) -4 b) - c) 0 d) 1 e) 5 38.(Fuvest) Se A é uma matriz inversível que satisfaz A =A, então o determinante de A será: a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 Os valores de k que tornam nulo o determinante da matriz M - ki, sendo I a matriz identidade, são: a) 0 e 4 b) 4 e 5 c) -3 e 5 d) -3 e 4 e) 0 e 5 41.(Ufrs) Sendo A = (a Œ)ŠÖŠ uma matriz onde n é igual a e a Œ = i -j, o determinante da matriz A é a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3 Parte VI Sistemas 1. (Unisinos 01) Numa loja, todas as calças têm o mesmo preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça diferente do de uma camisa. Ricardo comprou 1 calça e camisas e pagou R$40,00. Roberto comprou calças e 3 camisas e pagou R$405,00. Qual o preço, em reais, de uma calça e uma camisa, respectivamente?

8 a) 70 e 95. b) 75 e 90. c) 80 e 85. d) 85 e 80. e) 90 e 75.. (Fuvest 01) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) (Acafe 01) Dado o sistema de equação abaixo, analise as afirmações a seguir. v x y z w 0 v x y z w 0 v x y z w 0 3v x y z w 0 v x 3y z aw 0 l. O sistema é homogêneo. ll. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. lll. O sistema não admite a solução trivial. lv. O sistema será possível e determinado para a. Assinale a alternativa correta. a) Apenas I e II são verdadeiras. b) Apenas I, III e IV são verdadeiras. c) Apenas a afirmação IV é verdadeira. d) Todas as afirmações são verdadeiras. 4. (Unicamp 01) Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela abaixo: Tipo de cebola Peso unitário aproximado (g) Raio médio (cm) Pequena 5 Grande 00 4 a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g. Formule um sistema linear que permita encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela consumidora e resolva-o para determinar esses valores. b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca. Determine a área de casca correspondente a 600 g de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem 19 π cm de área de casca, indique que tipo de cebola fornece o menor desperdício com cascas. 5. (Uerj 01) Uma família comprou água mineral em embalagens de 0 L, de 10 L e de L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$65,00. Veja na tabela os preços da água por embalagem: Volume da embalagem (L) Preço (R$) 0 10, ,00 3,00 Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 0 L, e a quantidade de embalagens de L corresponde a n. O valor de n é um divisor de: a) 3 b) 65 c) 77 d) (G1 - ifpe 01) Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de 01. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram: 1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 6,00; ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00; 3ª) canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00. Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é: a) R$ 0,00 b) R$ 18,00 c) R$ 16,00 d) R$ 14,00 e) R$ 1,00 7. (Uel 01) A tabela a seguir apresenta a capacidade de geração de energia C, a área inundada A e a razão da capacidade de geração de energia pela área inundada E C/A, de 5 usinas hidrelétricas brasileiras. Hidrelétrica C (MW) A (km ) E (MW/km ) Itaipu ,4 Porto Primavera ,8 Serra da Mesa ,7 Sobradinho , Tucuruí ,4 O maior valor de E é aquele da usina de Itaipu. O par ordenado (x, y) do sistema linear 3, 4 0, x 10, 4 0, 8 0, 7 y 10, 4 fornece a quantidade de vezes que se deve aumentar o valor de E nos pares de usinas Tucuruí/Sobradinho e Porto Primavera/Serra da Mesa para que cada par ordenado tenha o mesmo valor E de Itaipu. Com base no enunciado e nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, considere as afirmativas a seguir.

9 I. O sistema linear dado tem infinitas soluções. II. Para que a usina de Sobradinho tenha o mesmo E da usina de Tucuruí, é necessário que ela aumente 9,7 vezes sua capacidade de geração de energia. III. A matriz do sistema linear dado tem determinante não nulo, portanto a solução do sistema linear é única. IV. Para que a usina de Porto Primavera tenha o mesmo E da usina de Itaipu, é necessário que ela aumente 13,0 vezes sua capacidade de geração de energia. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas II e IV são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. e) Somente as afirmativas I, III e IV são corretas. 8. (Ufes 01) Dona Lúcia, preocupada com o longo tempo que seu filho Lucas passava conectado à internet bem como com a sua pouca motivação para estudar em casa, fez ao filho a seguinte proposta, que foi aceita por ele: a cada dia em que Lucas não acessasse a internet e estudasse em casa, ela lhe daria R$ 0,00; a cada dia em que ele acessasse a internet, mas, em compensação, estudasse, ela lhe daria R$ 5,00, e, finalmente, a cada dia em que Lucas não estudasse, ele devolveria R$ 15,00. a) Sabendo que, num período de 30 dias, a quantidade de dias em que Lucas acessou a internet e estudou foi igual à soma da quantidade de dias em que ele não acessou a internet e estudou com a quantidade de dias em que ele não estudou e que, nesse período, devido ao acordo, ele teve um saldo de R$ 305,00, calcule a quantidade de dias desse período em que Lucas não acessou a internet e estudou. b) Sabendo que, em outro período de 30 dias, Lucas estudará todos os dias, determine todos os possíveis valores que ele poderá ganhar nesse período. 9. (Unicamp 01) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites são considerados em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear: x z 60 a) y z 60 3,5x y 0 x z 60 b) y z 60 3,5x y 0 x z 60 c) y z 60 3,5x y 0 x z 60 d) y z 60 3,5x y (Ufg 01) Um fabricante combina cereais, frutas desidratadas e castanhas para produzir três tipos de granola. As quantidades, em gramas, de cada ingrediente utilizado na preparação de 100 g de cada tipo de granola são dadas na tabela a seguir. Tipo de granola/ingredientes Cereais Frutas Castanhas Light Simples Especial O fabricante dispõe de um estoque de 18 kg de cereais, 6 kg de frutas desidratadas e kg de castanhas. Determine quanto de cada tipo de granola ele deve produzir para utilizar exatamente o estoque disponível. 11. (Ufpr 01) Uma bolsa contém 0 moedas, distribuídas entre as de 5, 10 e 5 centavos, totalizando R$ 3,5. Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos é a mesma das moedas de 10 centavos, quantas moedas de 5 centavos há nessa bolsa? a) 6. b) 8. c) 9. d) 10. e) (Espm 01) Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de gude e algumas latinhas onde guardá-las. Ao colocar 4 bolinhas em cada lata, sobraram bolinhas, mas quando colocou 5 bolinhas em cada lata, a última ficou com apenas bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas ficariam com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse: a) 36 bolinhas b) 4 bolinhas c) 49 bolinhas d) 55 bolinhas e) 63 bolinhas 13. (Ufpb 01) Segundo dados do World Urbanization Prospects, publicados na revista Época de 06 de Junho de 011, o percentual da população urbana mundial em relação à população total, em 1950, era aproximadamente de 9% e, em 010, atingiu a marca de 50%. Estima-se que, de acordo com esses dados, o percentual I(t) da população urbana mundial em relação à população total, no ano t, para t 1950, é dado por I(t) a(t 1950) b, onde a e b são constantes reais. Com base nessas informações, conclui-se que o percentual da população urbana mundial em relação à população total, em 050, será, aproximadamente, de: a) 60% b) 6% c) 64% d) 66% e) 68%

10 14. (Ufsc 011) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) As soluções do sistema homogêneo x 3y z 0 x 8y 8z 0 são ternas ordenadas do tipo (a,b,c) 3x y 4z 0 com(a+b+c) múltiplo de 11. a b 0) Se det A = 8 para A, então det B = 8 para c d a b B. a+c b+d 04) O valor de x para que os pontos A(3, 5), B(x,9) e C(0,) sejam colineares é 3. 08) Se A,B,C săo matrizes inversíveis, entăo AB AC.B C. 5 1 t ) Se A então (A A A ) (Ufrgs 011) Rasgou-se uma das fichas onde foram registrados o consumo e a despesa correspondente de três mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo. Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é a) R$5,50. b) R$6,00 c) R$6,40. d) R$7,00 e) R$7, (Unicamp 011) Recentemente, um órgão governamental de pesquisa divulgou que, entre 006 e 009, cerca de 5, milhões de brasileiros saíram da condição de indigência. Nesse mesmo período, 8, milhões de brasileiros deixaram a condição de pobreza. Observe que a faixa de pobreza inclui os indigentes. O gráfico a seguir mostra os percentuais da população brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 006 e 009. Após determinar a população brasileira em 006 e em 009, resolvendo um sistema linear, verifica-se que a) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0 milhões, em 006, para 13,3 milhões, em 009. b) 1,9 milhões de brasileiros eram indigentes em 009. c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 006. d) entre 006 e 009, o total de brasileiros incluídos nas faixas de pobreza e de indigência passou de 36% para 8% da população. 17. (Pucsp 011) Vítor e Valentina possuem uma caderneta de poupança conjunta. Sabendo que cada um deles dispõe de certa quantia para, numa mesma data, aplicar nessa caderneta, considere as seguintes afirmações: - se apenas Vítor depositar nessa caderneta a quarta parte da quantia de que dispõe, o seu saldo duplicará; - se apenas Valentina depositar nessa caderneta a metade da quantia que tem, o seu saldo triplicará; - se ambos depositarem ao mesmo tempo as respectivas frações das quantias que têm, mencionadas nos itens anteriores, o saldo será acrescido de R$4947,00. Nessas condições, se nessa data não foi feito qualquer saque de tal conta, é correto afirmar que a) Valentina tem R$6590,00. b) Vítor tem R$5498,00. c) Vítor tem R$60,00 a mais que Valentina. d) o saldo inicial da caderneta era R$1649,00. e) o saldo inicial da caderneta era R$1554, (Fuvest 011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagandose 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 15,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) (Ufu 011) Por causa de hábitos alimentares inadequados, um cardiologista nota que os seus pacientes com hipertensão são cada vez mais jovens e fazem uso de medicamentos cada vez mais cedo. Suponha que Pedro, Márcia e João sejam pacientes, com faixas etárias bem distintas e que utilizam um mesmo hipertensivo em comprimidos. Sabe-se que João utiliza comprimidos de mg, Márcia de 4 mg e Pedro de 10 mg. Além disso, mensalmente, Pedro toma o triplo de comprimidos de Márcia e os três consomem 130 comprimidos, totalizando 780 miligramas da droga. Com base nestas informações, é correto afirmar que Márcia, mensalmente, ingere a) 50 comprimidos b) 0 comprimidos c) 60 comprimidos d) 30 comprimidos

11 0. (Upe 011) Considerando o 5x 3y 4z 3 sistema 15x 9y 8z 6 analise as afirmativas 0x 1y 16z 1 abaixo e conclua. a) O sistema é impossível. b) O sistema é possível e indeterminado. c) O sistema é possível e determinado. d) O sistema admite como solução única x = 4, y = 8, z = -11 e) O sistema admite como solução, para qualquer valor de x a terna (x, x, 5x) 1. (G1 - epcar (Cpcar) 011) Certo dia, Isabela e Ana Beatriz saíram para vender pastéis na praia. Elas tinham juntas 460 pastéis. No final do dia, verificou-se que Isabela conseguiu vender 3 5 dos pastéis que levara e Ana Beatriz 5 dos pastéis 8 que levara. Ao final do dia, o número de pastéis que restou para Ana Beatriz era a metade do número de pastéis que restou para Isabela. Se Ana Beatriz, levou x pastéis para vender, então, a soma dos algarismos de x é a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 Parte VI Progressão Aritmética e Progressão Geométrica 1. (Uel 01) Para uma apresentação de dança, foram convidadas 31 bailarinas. Em uma de suas coreografias, elas se posicionaram em círculos. No primeiro círculo, havia 15 bailarinas. Para cada um dos círculos seguintes, havia K bailarinas a mais do que no círculo anterior. cosx sen x Se K 1, quantos círculos havia nesta sen x cosx coreografia? Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.. (Ufrgs 01) A sequência (a 1, a, a 3, a 4, a 5,..., a 1 ) forma uma progressão aritmética. Sabendo-se que a 3 + a 10 = 3, o valor da expressão log (a 1 + a 1 ) 3 é a) 10. b) 15. c) 1. d) 6. e) (Fuvest 01) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 1 x, a 6x, a3 x 4 em que x é um número real. a) Determine os possíveis valores de x. b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a). 4. (Acafe 01) Em janeiro de 010, certa indústria deu férias coletivas a seus funcionários, e a partir de fevereiro recomeçou sua produção. Considere que a cada mês essa produção cresceu em progressão aritmética, que a diferença de produção dos meses de abril e outubro de 010 foi de 40 itens, e que em outubro a produção foi de 1.10 itens. Desta forma, pode-se concluir que o número de itens produzidos em agosto de 010 foi: a) b) 910 c) 80 d) (Uem 01) João e Pedro decidiram treinar para competir na Corrida de São Silvestre, mas cada um está fazendo um treinamento diferente: João está correndo 40 minutos por dia e consegue percorrer uma distância de 6 km em cada dia; já Pedro está correndo 30 minutos por dia, do seguinte modo: no primeiro dia, ele percorreu uma distância de 3 km, no segundo dia percorreu 3,5 km, no terceiro dia percorreu 4 km, assim sucessivamente até o décimo quinto dia, e reinicia o processo percorrendo, novamente 3 km. Com essas informações, assinale o que for correto. 01) A sequência numérica formada pelas velocidades médias de Pedro, nos quinze primeiros dias de treinamento, forma uma progressão geométrica. 0) No quarto dia, a velocidade média que Pedro correu foi igual à velocidade média que João correu. 04) No décimo dia, Pedro percorreu a distância de 7,5 km. 08) A distância total percorrida por Pedro, desde o primeiro até o décimo terceiro dia, foi a mesma percorrida por João no mesmo período. 16) A diferença entre as distâncias totais percorridas por Pedro e João, nos quinze primeiros dias de treinamento, é maior que 10 km. 6. (Espm 01) A figura abaixo mostra uma série de painéis formados por uma faixa de ladrilhos claros envoltos em uma moldura de ladrilhos escuros. Num desses painéis, o número de ladrilhos escuros excede o número de ladrilhos claros em 50 unidades. A quantidade total de ladrilhos desse painel é igual a: a) 16 b) 17

12 c) 156 d) 4 e) (Unicamp 01) Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura abaixo, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm. d) e) n n n 1. n n n. 10. (Upf 01) Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da reprodução do vírus (representado por um triângulo). Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da população de vírus, qual o número de vírus após uma hora? a) 140 b) 180 c) 178 d) 40 e) 537 a) Determine a área da região destacada na figura. b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 0 arcos de circunferência. 8. (Fgv 01) Um poço de petróleo que produz 100 barris de petróleo bruto por mês se esgotará em 1 ano. Em cada mês, o preço se mantém constante e é dado por f(x) 69,8 0,x dólares por barril, em que x 1 representa o 1º mês, x o º mês, e assim por diante. Qual será a receita total proporcionada pelo poço, até se esgotar? 9. (Insper 01) Na sequência de quadrados representada na figura abaixo, o lado do primeiro quadrado mede 1. A partir do segundo, a medida do lado de cada quadrado supera em 1 unidade a medida do lado do quadrado anterior. A distância do ponto O, vértice do primeiro quadrado, até o ponto V, n vértice do n-ésimo quadrado, ambos indicados na figura, é a) n n n 5. b) n n n 9. c) n n 4n (Uftm 01) Seja a sequência de conjuntos de inteiros 7, 8, 9,10,..., consecutivos dada por 1,, 3, 4, 5, 6, na qual cada conjunto, a partir do segundo, contém um elemento a mais do que o anterior. a) O 1.º conjunto dessa sequência tem como menor elemento o número 11. Calcule a soma de todos os elementos desse conjunto. b) Calcule a soma de todos os elementos do 100.º conjunto dessa sequência. 1. (Ulbra 01) João percebeu que, ao abrir a torneira ligada ao reservatório de água, por 5 minutos, o volume diminuía para 1/5 da sua capacidade remanescente. Depois de 0 minutos com a torneira aberta, o volume do reservatório era de 0,1 m 3. Qual é a capacidade total da caixa d água? a) litros. b) litros. c) litros. d) litros. e) litros. 13. (Uerj 01) Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 0 repetições. No entanto, como consequência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, foi sempre 8% maior do que o tempo gasto para fazer a série imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 5 segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos. Considerando log = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a: a) 100 b) 10 c) 140 d) 160

13 14. (Ufrn 01) Uma pilha de latas de leite está exposta num supermercado, em forma de pirâmide de base triangular, como mostra a figura a seguir. 1 c) d) e) (Unicamp 01) Para construir uma curva floco de neve, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4. Para montar uma pirâmide semelhante, um promotor de vendas usou 5 caixas contendo 4 latas em cada uma. Cada lata mede 15 cm de altura. Observe que, do topo para a base da pirâmide, a quantidade de latas é 1, 3, 6 e assim sucessivamente. a) Essa sequência é uma progressão aritmética? Justifique b) Essa sequência é uma progressão geométrica? Justifique c) Determine a altura da pirâmide formada pelo promotor de vendas. 15. (Uel 01) A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas surgem mais duas ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da ramificação anterior. Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a 6! a) cm 4!3! 5! b) cm 4!3! 5 4 c) cm d) cm (Ufg 01) Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a base de um muro, é formado por uma sequência de 30 triângulos retângulos, todos apoiados sobre um dos catetos e sem sobreposição. A figura a seguir representa os três primeiros triângulos dessa sequência. Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de h1 1 m, qual o comprimento vertical total da raiz, em metros, até h 10? 1 1 a) 1 10 b) Todos os triângulos têm um metro de altura. O primeiro triângulo, da esquerda para a direita, é isósceles e a base de cada triângulo, a partir do segundo, é 10% maior que a do triângulo imediatamente à sua esquerda Dado: 11 1,745 10

14 Com base no exposto, a) qual é o comprimento do muro? b) Quantos litros de tinta são necessários para pintar os triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que rende 10 m por litro? 18. (Ufrgs 01) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos sombreados são triângulos semelhantes tais que as alturas correspondentes formam uma progressão geométrica de razão 1. Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares, qual é o número N de barras para n setores triangulares? n1 a) N 3 para n 1 b) N 3n para n 1 c) N 3n n para n 1 d) N 3 (n 1) para n 1 e) N 1 n para n 1 0. (Unicamp simulado 011) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo. Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos perímetros dos quatro triângulos sombreados é a) 9. 8 b) c) d) e) (Uel 011) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas. Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para que seja possível exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a a) 00. b) c) 000. d) (Uff 011) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema: Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores. Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, e 3 setores triangulares com as respectivas quantidades de barras de mesmo comprimento. Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de a) pães. b) 55 6 pães. c) 0 pães.

15 d) 65 6 pães. e) 35 pães.. (Ufrgs 011) O quociente entre o último e o primeiro termo de uma sequência de números é Os logaritmos decimais dos termos dessa sequência formam uma progressão aritmética de razão 1. Então, o número de termos da sequência é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) (Unicamp 011) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contém a) 76 ladrilhos. b) 156 ladrilhos. c) 11 ladrilhos. d) 148 ladrilhos. 4. (Fgv 011) Seja a 1,a,a 3,... uma sequência com as seguintes propriedades: I. a1 1. II. an n an, para qualquer n inteiro positivo. III. an1, para qualquer n inteiro positivo. 6. (Enem 011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas passagens; em fevereiro, ; em março, Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) b) c) d) e) (Unifesp 011) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão aritmética e usualmente indicada por r. a) Considere uma PA genérica finita (a 1, a, a 3,..., a n ) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a 1, n e r. b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA ( 4, 0, 16,...) seja positiva? 8. (Mackenzie 011) A média aritmética de 0 números em progressão aritmética é 40. Retirados o primeiro e o último termos da progressão, a média aritmética dos restantes será a) 0 b) 5 c) 30 d) 35 e) (Fgv 011) a) Determine o quarto termo da sequência (a, a, a,, a, ) dada por: 1 3 n an an 1 1 e a1 1, com n 1. b) O jogo A torre de Hanói tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras: 1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez. ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferi-la é 3. a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência. b) Calcule o valor de a (Mackenzie 011) Em uma sequência numérica, a soma dos n primeiros termos é 3n +, com n natural não nulo. O oitavo termo da sequência é a) 36 b) 39 c) 41 d) 43 e) 45 Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número possível de movimentos.

16 b) 511 c) 51 d) 103 e) 104 c) O menor número de movimentos a n para transferir uma torre de n anéis, n 1,, satisfaz a relação: a 1 (a 1). Qual é o menor número de n n1 movimentos necessários para transferir uma torre com 6 anéis? 30. (Ufpr 011) Atribui-se ao matemático De Moivre uma lenda sobre um homem que previu sua própria morte. As condições da previsão estão dentro de uma narrativa que modela grosseiramente vários aspectos da realidade. Por exemplo, dormir 4 horas seguidas equivale a morrer, e assim por diante. A lenda é a seguinte: um homem observou que cada dia dormia 15 minutos a mais que no dia anterior. Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8 horas, quanto tempo levará para que ele durma 4 horas seguidas, não mais acordando? 31. (Uesc 011) Dois cidadãos, C 1 e C, devem a uma instituição financeira R$14580,00 e R$1460,00, respectivamente. Após uma negociação dessa dívida, os valores foram parcelados de modo que C 1 deverá pagar prestações mensais de R$480,00 e C deverá pagar prestações mensais de R$390,00. Se ambos começarem a pagar hoje, o saldo devedor de C 1 ficará menor do que o de C em a) dez meses. b) um ano. c) um ano e três meses. d) um ano e meio. e) dois anos. 3. (Espcex (Aman) 011) Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino utilizou na brincadeira é a) (Unesp 011) Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o 1º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 10 = 1.04, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de a) 4.947,50. b) 49.14,00. c) ,00. d) ,00. e) , (Ufrgs 011) Três números formam uma progressão geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do terceiro número, obteremos uma progressão aritmética cuja soma dos termos é a) 16. b) 18. c). d) 4. e) (Uel 011) Você tem um dinheiro a receber em pagamentos mensais. Se você recebesse R$ 100,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, você recebesse R$ 150,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos. Porém, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento, você recebesse o dobro do que recebeu no mês anterior, em quantos pagamentos receberia todo o dinheiro? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) (Uepg 011) Entre 4 5 e 1 são inseridos três meios 0 geométricos. Se a P.G. formada é oscilante, assinale o que for correto. 01) A sua razão é um número negativo. 0) O termo médio é um número positivo. a4 1 04). a ) a1 a a ) a (Unesp 011) Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando-se dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-

17 se o quadrado central. Repete-se este processo de divisão, para os quadrados restantes, n vezes. Observe o processo para as duas primeiras divisões: Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do quadrado inicial e qual a soma das áreas dos quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente? 38. (Fgv 011) A sequência de termos positivos (a 1, a, a 3,... a n,...) é uma progressão geométrica de razão igual a q. Podemos afirmar que a sequência (loga 1, loga, loga 3,... loga n...) é: a) Uma progressão aritmética de razão q. b) Uma progressão geométrica de razão q. c) Uma progressão aritmética de razão log q. d) Uma progressão geométrica de razão log q. e) Uma progressão aritmética de razão (loga 1 - log q ). 39. (Ifsp 011) Observe a sequência de figuras ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se o quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento indefinidamente, a soma das áreas de todos os quadrados sombreados dessa sequência é igual a 64 cm. A área do quadrado sombreado da décima figura dessa sequência, em centímetros quadrados, é igual a a). 16 b). 4 c). d) 4. e) (Uesc 011) Um colégio promoveu uma Olimpíada Interna de Matemática cuja prova consistiu de dez questões, numeradas de um a dez, que poderiam ser resolvidas em qualquer ordem e que foram pontuadas de acordo com as seguintes regras: c) à resolução correta da questão dois foi atribuído o valor ; d) à resolução correta da questão três foi atribuído o valor 4; e) à resolução correta da questão quatro foi atribuído o valor 8, e assim sucessivamente, até a questão dez. Nessas condições, pode-se afirmar que um participante da Olimpíada que obteve um total de 13 pontos resolveu corretamente a) seis questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar. b) seis questões, das quais apenas uma é de numeração par. c) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar. d) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração par. e) três questões de numeração par e três questões de numeração ímpar. 41. (Mackenzie 010) Se cos 15º, cos(a) e cos 75º formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, o valor de cos(a) é a) b) c) d) e) (Uepg 010) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 48. Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas condições, assinale o que for correto. 01) A distância entre cada telefone será de 35 km. 0) Haverá um telefone no km ) Se um motorista está no km 165, a menor distância que ele terá que percorrer para encontrar um telefone será de 13 km. 08) No km 73 não haverá telefone. 43. (Unemat 010) Dado uma PA cujo a 1 é o quádruplo de sua razão e a 0 é igual a 69, sua razão será: a) b) 6 c) 4 d) 5 e) (Uerj 010) Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela a seguir mostra os valores, em reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 010. a) a cada questão não resolvida, resolvida de forma parcial ou totalmente incorreta foi atribuído valor 0; b) à resolução correta da questão um foi atribuído o valor 1; Empres as A janeiro 1.000, 00 fevereir o , 00 março abril maio , , , 00

18 B 300,00 600,00 900, , , 00 A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida constante ao longo de um determinado período. Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal do depósito da empresa A será igual ao da empresa B. 45. (Ita 010) Considere a matriz a1 a a3 A 0 a4 a 5 M 3x3( ), 0 0 a6 em que a 4 = 10, det A = 1000 e a 1, a, a 3, a 4, a 5 e a 6 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão a d > 0. Pode-se afirmar que 1 d é igual a a) 4. b) 3. c). d) 1. e) (Fgv 010) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes dessa progressão é 00. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é a) b) c) 10. d) e) (Enem ª aplicação 010) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro. 48. (G1 - cftmg 010) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão 3. Portanto, a soma das medidas desse triângulo é a) 9 b) 18 c) 30 d) (Enem ª aplicação 010) O trabalho em empresas de exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal. Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas. Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta: Funcionário I: aproximadamente 00 estrelas. Funcionário II: aproximadamente estrelas. Funcionário III: aproximadamente estrelas. Funcionário IV: aproximadamente 500 estrelas. Funcionário V: aproximadamente 800 estrelas. Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária? a) I b) II c) III d) IV e) V 50. (Enem 010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir. Disponível em: Acesso em: 8 abr Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente, a) 1 dias. b) 13 dias. c) 14 dias. d) 15 dias. e) 16 dias. Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q b) C = 3Q + 1 c) C = 4Q 1 d) C = Q + 3 e) C = 4Q 51. (Unicamp 010) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda.

19 O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 00 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 00 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 00 entrarão na segunda, 300 na terceira etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos membros? 5. (Ita 010) A progressão geométrica infinita (a 1, a,..., a n,...) tem razão r < 0. Sabe-se que a progressão infinita (a I, a 6,..., a 5n+1,...) tem soma 8 e a progressão infinita (a 5, a 10,..., a 5n,...) tem soma. Determine a soma da progressão infinita (a 1, a,..., a n,...). 53. (Fgv 009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se mal na aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares. Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por Carlos foi: a) b) c) d) e) Divirtam-se!