Fundamentos de Álgebra Moderna Profª Ana Paula CONJUNTOS

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1 Fundamentos de Álgebra Moderna Profª Ana Paula CONJUNTOS O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática. Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetods bem definidos. Os objetos em um conjunto, como veremos nos exemplos, podem ser qualquer coisa: números, pessoas, letras, rios, etc... Esses objetos são chamados os elementos de um conjuntos. Representação: letras maiúsculas para conjuntos: A, B, C, D, letras minúsculas para elementos de um conjunto: a, b, c, d, Formas de representação: Forma de listagem: A a, e, i, o, u e, o, a, u, i, onde os elementos do conjunto são apresentados um a um, separados por vírgulas, sob a forma de uma lista linear não necessariamente ordenada. Pela propriedade: A x/x é um vogal do alfabeto da língua portuguesa x/p x x/x goza da propriedade P, o conjunto passa a ser referido pela propriedade de seus elementos, e a leitura é a seguinte: A é igual ao conjunto dos x, tal que x é uma vogal da Língua Portuguesa. O x é uma variável que representa cada um dos elementos cuja propriedade é a de ser uma vogal do alfabeto da Língua Portuguesa, o que não permitirá incluir, no conjunto A, o b como vogal. Pelo Diagrama de Venn-Euler: Exemplos: A: os números 1,3,7 e 10. B: As soluções da equação x 2 3x 2 0 C: As pessoas que habitam a Terra. D: Os estudantes Carlos, José e Roberto. E: Os alunos que faltaram à aula. F: Os países: Inglaterra, França e Espanha. G: Os números 2,4,6,8,... H: Os rios do Brasil 1

2 OBS: A repetição não cria novos elementos no conjunto. Exemplo: A a, e, i, o, u a, a, a, e, o, u, e, i, o, u. O símbolo é usado para especificar se um elemento pertence a um conjunto e quando não pertence a este conjunto. Exemplos: Seja A a, e, i, o, u. Então a A (o elemento a pertence ao conjunto A) e b A. b não é elemento do conjunto A). Definição 1: Um conjunto é vazio quando não contém elementos. Notação: x/x x OBS: 1) O conjunto vazio é único. 2) CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Definição 2: Um conjunto é finito se consiste de um número específico de elementos diferentes, isto é, se, ao contarmos os diferentes elementos de um conjunto, o processo de contagem chega a um final. De outro modo, o conjunto é infinito. Exemplos: A x /1 x 5 é um conjunto finito. B é um conjunto infinito. SUBCONJUNTOS Definição 3: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, dizemos que A está contido em B (A é um subconjunto de B) se, somente se, todo elemento de A pertence a B, isto é, A B x A / x B. Exemplos:A x /1 x 5 e B. A B ou A. 2

3 OBS: Dizemos que o conjunto A não está contido em B quando existe um elemento de A que não pertença a B., isto é, A B x A / x B. Teorema 1: Seja A um conjunto qualquer. O conjunto vazio é um subconjunto em qualquer conjunto A, isto é, A, A. Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, dizemos que dois conjuntos são iguais quando um está contido no outro e vice-versa, isto é, A B x, x A x B ou A B A B e B A. OBS: 1) A B significa A não está contido em (não é subconjunto) B e A não é igual a B. 2) B A significa B contém A. 3) B A significa B contém A e B não é igual a A. 4) A B significa que A está contido propriamente em B A B e A B. 5) B A significa que B contém propriamente em A A B e A B. Propriedades: 1) Reflexiva: A, A A. (Demonstração Imediata) 2) Transitiva: Se A B e B C A C. 3) Antissimétrica: Se A B e B A A B. (Demonstração decorrente da definição). São equivalentes as três afirmações: 1) A B. 2) Se x A, então x B. 3) Se x B, então x A. 3

4 CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,... 1, 2, 3, 4, Conjunto dos números inteiros: 0, 1, 2, 3,, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 3,, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 0 0, 1, 2, 3, conjunto dos números inteiros não-negativos., 3, 2, 1, 0 conjunto dos números inteiros não-positivos. 1, 2, 3, conjunto dos números inteiros positivos ou estritamente positivos., 3, 2, 1 conjunto dos números inteiros negativos ou estritamente negativos. 2n k /k 2n, n conjunto dos inteiros pares. 2n 1 k /k 2n 1 ou k 2n 1, n conjunto dos inteiros ímpares. Conjuntos dos números racionais: x/x a, a e b b Conjuntos dos números irracionais: C Conjunto dos números reais: x/x a 0, a 1 a 2 a 3 a n ; a 0 e a i 0, 1, 2, 9, com i 0 Conjunto dos números complexos: z/z a bi, a, b e i 1 De forma geral: A A 0 A x A/x 0 A x A/x 0 A x A/x 0 A x A/x 0 OBS:. 4

5 CONJUNTO DAS PARTES Definição 5: O conjunto das partes de A, P A, é o conjunto de todos os subconjuntos de A. Exemplo: A 1, 2 P A, 1, 2, 1, 2. Teorema 1: Se um conjunto A tem n elementos, então P A tem 2 n elementos. Definição 6: A cardinalidade de A é quantidade de elementos distintos deste conjunto. Notação: n A ou # A. OBS: 1) n 0 ou # 0. 2) n A 1 ou # A 1 se A é um conjunto unitário, 3) Se A é um conjunto com n elementos escreveremos # A n ou n A n. Exemplo: Seja A, 1, 1.Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas: a) A b) A c) A d) A e) 1 A f) 1 A h) 1, 1 A i), 1 A j), 1 A k), 1, 1 A Definição 7: Chamamos de conjunto universo U o conjunto em que todos conjuntos são subconjuntos deste conjunto U. Definição 8: Se os conjuntos A e B não possuem elementos em comum, isto é, se não há nenhum elemento A em B e se não há nenhum elemento de B em A, dizemos que A e B são disjuntos 5

6 OPERAÇÕES Definição 9: A interseção de dois conjuntos A e B é conjunto dos elementos que são comuns a A e B, isto é, os elementos que pertencem a A e também pertencem a B. A B x/x A e x B OBS: Se A B, então dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Definição 10: A união de dois conjuntos A e B é conjunto dos elementos que são comuns a A ou B, isto é, os elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. A B x/x A ou x B Propriedades da interseção: 1) Associativa: A B C A B C. 2) Comutatividade: A B B A. 3) A B A B A. 4) A. Propriedades da união: 1) Associativa: A B C A B C. 2) Comutatividade: A B B A. 3) A B A B B. 4) A A. 5) Se A B, então A e B. Definição 11: A diferença entre dois conjuntos, A e B, é o conjunto de elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B. A B x A/x A e x B. OBS: 1) A B A 2) Os conjuntos A B, A B e B A são mutuamente disjuntos. 3) A B A B c 6

7 Definição 12: A diferença simétrica é a união das diferenças entre dois conjuntos. A B A B B A COMPLEMENTAR Definição 13 : Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se B A, dizemos que o complementar de B em relação a A é todo elemento de A que não pertence a B, isto é, B C A x A/x B. Definição 14: Considerando U, o conjunto universo e A U, chama-se complementar de A em relação a U a parte de U formada pelos elementos de U que não pertencem a A. A c U x U/x A Outras notações: A c, A, A, U A A. OBS: 1) U c 2) c U 3) A c c A Propriedades: 1) A A c e A A c U. Lei de De Morgan. 2) A B C A c B c e A B c A c B c Lei de De Morgan. 3) Se A B B C A C Problemas envolvendo conjuntos Número de elementos do conjunto união O número de elementos da união de dois conjuntos é dado por: n A B n A n B n A B O número de elementos da união de três conjuntos é dado por: n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C 7

8 Exemplos: 1) Uma pesquisa, sobre a preferência de 420 alunos de uma escola em relação aos refrigerantes a e b vendidos na cantina, apresentou os seguintes resultados: bebem o refrigerante a; bebem o refrigerante b; - 65 não bebem refrigerante. Com base nesses dados, responda: a) Quantos alunos beben tanto o refrigerante a quanto o b? b) Quantos bebem somente o refrigerante a? c) Quantos bebem somente o b? Respostas: a) 35 b) 170. c) ) Numa empresa foi realizado um concurso escrito constituído de dois problemas: 340 candidatos acertaram somente um problema, 300 acertaram o segundo. 120 acertaram os dois e 250 erraram o primeiro. Quantos candidatos fizeram a prova? Resposta: 530 3) Em uma cidade de habitantes, há dois tipos de cerveja consumidas, X e Y. Após uma pesquisa concluiu-se que 20% da população não consome cerveja, 15% bebe os dois tipos e 45% toma a cerveja X. Quantos tomam a cerveja Y? Resposta: ) Uma empresa possui 135 funcionários, dos quais 60 falam inglês, 52 falam alemão e 40 falam alemão e não falam inglês. Quantos funcionários não falam alemão enm inglês? Resposta: 35 5) Foi feita uma pesquisa com um grupo de 500 pessoas sobre a leitura dos jornais A, B e C, e os dados foram registrados neste tabela: Jornais A B C A e B A e C B e C A,B e C Número de leitores Quantas pessoas não lêem nenhum dos jornais citados? Resposta:222 6) Numa pesquisa a respeito da assinatura das revistas A e B, foram entrevistadas 500 pessoas. Verificou-se que 20 delas assinavam a revista A, 14 a revista B e 4 as duas revistas. Quantas das pessoas entrevistadas não assinavam nenhuma das revistas? Resposta: 470 8

9 Produto Cartesiano Definição 15: Dados dois conjuntos, A e B, não vazios. O produto cartesiano de A por B é o conjunto formado por todos os pares ordenados x, y, com x A e y B. A B x, y /x A e y B Exemplo: A 0, 1, 2, 3 e B 4, 5, 6. A B Propriedades: 1. A B B A, em geral 2. A B C D A C B D 3. A B C A C B C A B C A C B C 4. A B C A B A C A B C A B A C 5. Se A, B e C são conjuntos tais que A, B e A B B A C C, então A B C. n 6. A 1 A 2 A n A i i 1 Exercício:Exibir quatro conjuntos A, B, C e D tais que A B C D A C B D. 9

10 Partição de um conjunto As operações de união e interseção foram definidas para dois conjuntos. Essas definições podem ser facilmente estendidas a um número finito de conjuntos: Sejam A 1,,A n conjuntos. Então n A i A 1 A 2 A n x A/x A 1 ou x A 2 ou ou x A n i 1 n i 1 A i A 1 A 2 A n x A/x A 1 e x A 2 e e x A n Exemplos: 1) Sejam A 1 1, 10, A 2 2, 4, 6, 10, A 3 3, 6, 9, A 4 4, 8, A 5 5, 6, 10 e J 2, 3, 5. Assim i J A i 2, 4, 6, 10, 3, 9, 5 e i J A i 6 2) B n x/0 x 1/n onde n são os números naturais. Assim i B n 0, 1 e i B i 0 3) D n x/x é um múltiplo de n onde n são os números naturais. Assim i D n e i B i Considere o conjunto A 1, 2,,9, 10 e seus subconjuntos: B 1 1, 3, B 2 7, 8, 10, B 3 2, 5, 6, B 4 4, 9 Definição 16: Dados os conjunto A e seus subconjuntos próprios A i, com i 1,,n, se ocorrer: n a) i 1 A i A 1 A 2 A n A b) Para dois conjuntos quaisquer A i e A j, temos A i A j se i j. dizemos que os subconjuntos A i formam uma partição de A. Exemplo: 1) Defina B n x/0 x 1/n onde n. B 1 0, 1, B 2 0, 1, 2 2) Defina D n x/x é um múltiplo de n onde n. D 1 1, 2, 3, 4,, D 2 2, 4, 6, 8, OBS: 1) Uma partição é um conjunto de conjuntos; cada membro de uma partição é um subconjunto de A. Os membros da partição são chamados partes. 2) As partes de uma partição são não-vazias. O conjunto vazio nunca é parte de uma partição. 3) As partes de uma partição são disjuntas duas a duas. Duas partes de uma partição nunca podem ter um elemento em comum. 4) A união das partes é o conjunto orginal. 10

11 Exemplos: 1) A 1, 2, 3, 4, 5, 6 e seja A 1, A 2, A 3 1, 2, 3, 4, 5, 6 a partição de A em três partes. Esta partição não é única partição de A. 2) O conjunto das retas paralelas a uma dada reta do plano constitui uma partição do plano. 3) B i i P, I, onde P é o conjunto dos números naturais pares e I é conjunto dos números naturais ímpares constitui uma partição do conjunto dos números naturais. Não são partições: 1) Seja T 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, A 1, 3, 5, B 2, 6, 10 e C 4, 8, 9. O conjunto A, B, C não é uma partição de T. 2) Seja T 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, F 1, 3, 5, 7, 9, G 2, 4, 10 e C 3, 5, 6, 8. O conjunto A, B, C não é uma partição de T. 11

12 Resumo Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Então temos: (a) Os elementos neutros: A A A X A (b) As leis de idempotência: A A A A A A (c) As leis comutativas: A B B A A B B A (d) As leis associativas: A B C A B C. A B C A B C. (e) As leis distributivas: A B C A B A C A B C A B A C (f) As leis de identidade A A A U U A A U A (g) Leis de Complementariedade A A c U A c c A A A c U c c U (h) Leis de De Morgan A A c e A A c U. A B C A c B c e A B c A c B c 12