Aula 1 Conjuntos Numéricos

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1 1 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA Aula 1 Conjuntos Numéricos Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1

2 2 EMENTA Basicamente, veremos: U1 Conjuntos Numéricos. Regra de três (simples e compostas). Funções de 1º e 2º grau. U2 Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Limites, Derivadas e Integrais. Datas importantes: 1ª prova: 27 de agosto. Entrega da lista: 03 de setembro. (somente pra quem ficou abaixo da média) 2ª prova: 01 de outubro. Avaliação de recuperação: 08 de outubro.

3 3 SONDAGEM Inicialmente, façamos uma revisão: 1 Calcule o valor das expressões abaixo. Dê as respostas de todas as formas possíveis (inteiro, fração irredutível, forma mista e decimal) a) ( 2) 3 ( 3) 2. ( 5) 0 + (+10) 3 b) {35 [20 ( ) : 2] } (+5) 2 ( 4)( 5) c) 3 / / 2 d) ( 2 / 3 ) 1 ( 6 / 5 ) 2. ( 1 / 2 ) 3 1 / 3 2 / 5 2 Simplifique as expressões: a) (3x 2 2x + 9) (3x 1)(x + 4) b) (x 4) 2 + 2(x + 3) 2 (xy + 2 / 3 ) 2 c) (x + 2)(x 2) (3x + 4)(3x 4) 3 (UFRN) Dada a função f(x)=ax+b, calcule o valor de a e b, sabendo que f(1) = 10 e f (-1) = 4. 4 Dada a função f(x)=ax+b, calcule f(3), sabendo que f(2) = 1 e f (-1) = 3.

4 4 CONJUNTOS NUMÉRICOS DEUS criou os números naturais. O resto é obra dos homens. Leopold Kronecker (Matemático Alemão) N: conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3,...} Criado para representar a contagem. Z: conjunto dos números inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Criado para responder questões, tais como 3 8 =? Q: conjunto dos números racionais: {x x = a / b ; a, b Z, b 0} Criado para responder questões, tais como 3 : 8 =? I: conjunto dos números irracionais: {x x Q} Criado para responder questões, tais como 3 =? R: conjunto dos números reais: {x x (Q I)} Criado para unir os conjuntos Q e R C: conjunto dos números complexos: {x x=a+b.i ; a,b R e i= 1} Criado para responder questões, tais como 1. OBS: Todos os números são considerados números complexos

5 5 INTERVALOS DE NÚMEROS REAIS Considere os números reais 4 e 9. O conjunto dos números reais entre 4 e 9 (inclusive 4 e 9) é denominado intervalo fechado e representado por: ]4, 9[ Se excluirmos 4 e 9, denominamos por intervalo aberto, sendo assim: Dizemos que a amplitude (tamanho) do intervalo é dado por: EXTREMIDADE MAIOR extremidade menor Ex: 9 4 = 5 FORMAS DE REPRESENTAÇÂO

6 6 INTERVALOS DE NÚMEROS REAIS O intervalo é fechado se o extremo pertence ao conjunto, isto é, se tiver o sinal de ou, caso contrário, o intervalo é aberto, < ou >. Podem ocorrer as situações de serem os dois abertos ou um aberto e outro fechado. [4, 9[ representa o conjunto dos números reais tais que 4 x < 9 ]4, 9[ representa o conjunto dos números reais tais que 4 < x < 9 Agora vamos representar o conjunto dos números reais x tais que x 2 + lê-se mais infinito, não tem significado numérico, já que desconhecemos o seu valor. EXEMPLO: Considere os conjuntos e Represente, sob a forma de intervalo, os conjuntos A e B.

7 7 TEORIA DOS CONJUNTOS SITUAÇÃO PROBLEMA Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas de uma comunidade para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol; 18 de vôlei e 14 de basquete; 10 gostam de futebol e de vôlei; 9 de futebol e de basquete; 8 de basquete e vôlei e 5 gostam dos três esportes. a) Quantas pessoas gostam somente de futebol? b) Quantas não gostam de nenhum esporte? c) Quantas não gostam nem de basquete, nem de vôlei? d) Quantas gostam só de basquete ou só de vôlei? Para resolver situações problemas desse tipo é que estudaremos a Teoria dos conjuntos.

8 8 TEORIA DOS CONJUNTOS CONCEITOS PRIMITIVOS Pertinência Notação: (pertence) ou (não pertence) Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer aquele conjunto. Continência Notação: (contido) ou (não está contido) Quando um conjunto estiver inserido em outro conjunto, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo conjunto. LEMBRE-SE: A relação ou é utilizada somente para relacionar elementos com conjuntos. A relação ou é utilizada somente para relacionar conjunto com conjunto. Exemplo: Utilize, corretamente, um dos quatro símbolos: a) 4 / 11 N b) N Ir c) N R d) 5 R e) -4,7 Z

9 9 TEORIA DOS CONJUNTOS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Para facilitar o entendimento, sejam os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. UNIÃO: A união de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A, ou em B, ou em ambos. Ex: A B = INTERSEÇÃO: A interseção de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo. Ex: A B = DIFERENÇA: A diferença de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A mas não estão em B. Ex: A B = B A = COMPLEMENTO: Se U é o conjunto Universo, U A é chamado de complemento de A e é denotado por Ā ou C B A. Ex: Ā =

10 10 TEORIA DOS CONJUNTOS NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO DE CONJUNTOS Consideremos o conjunto A como o conjunto dos números ímpares entre 0 e 10, e o conjunto B dos números primos entre 0 e 10. Então, se n(a) representa a quantidade de elementos do conjunto A, temos: A = { } n(a) = B = { } n(b) = Vejamos o que acontece quando estudamos a interseção e a união dos conjuntos: A B = { } n(a B) = A B = { } n(a B) = Observe que n(a B) n(a) + n(b). Na verdade, temos: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B)

11 GABARITO: 1) a) 260 b) 470 c) 160 2) a) 9 b) 17 c) 26 d) TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 630 pessoas e o resultado foi o seguinte: 350 delas lêem o jornal A, 210 lêem o jornal B e 90 lêem os jornais A e B. Pergunta-se: a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b) quantas pessoas lêem jornais? c) quantas pessoas não lêem jornais? 2 Responda a situação problema do slide 7.

12 12 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do Ensino Médio costumam ler: Pergunta-se: Revistas Leitores a) Quantos foram os estudantes consultados? A 150 B 200 C 250 A e B 70 A e C 90 B e C 80 A, B e C 60 Nenhuma 180 b) Quantos estudantes lêem apenas a revista A? c) Quantos estudantes lêem a revista B e não lêem a C? d) Quantos estudantes não lêem a revista A? e) Quantos estudantes lêem a revista A ou a revista C? 4 (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia de Ponta Negra, 55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de: A) 20% B) 35% C) 40% D) 25% GABARITO: 3) a)600 b) 50 c) 120 d) 550 e) 310

13 13 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 5 (UFRN) Indique a opção sempre verdadeira, quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, de modo que A B. a) A B C b) A C c) B C d) A C B 6 (UFRN) As figuras abaixo representam diagramas de Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a região hachurada representa o conjunto Y Z X. 7 Sejam A = {x /x é número par compreendido entre 3 e 15}, B = {x /x é um número par menor que 15} e C = {x /x é um número par diferente de 2}. Usando os símbolos ou, relacione entre si os conjuntos: a) A e B b) A e C c) B e C

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