MANT _ EJA I. Aula 01. 1º Bimestre. Teoria dos Conjuntos Professor Luciano Nóbrega. DEUS criou os números naturais. O resto é obra dos homens.

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Matheus Henrique Malheiro Raminhos
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1 MANT _ EJA I DEUS criou os números naturais. O resto é obra dos homens. Aula 01 Teoria dos Conjuntos Professor Luciano Nóbrega Leopold Kronecker (Matemático Alemão) 1 1º Bimestre

2 2 Observe a foto de um supermercado: 01 O que aconteceria se os produtos vendidos nos supermercados não fossem agrupados? 02 Seria adequado colocar um mesmo produto em duas seções diferentes? Por quê? 03 Dê exemplos de seu cotidiano que utilize a ideia de agrupar elementos. CONCEITOS PRIMITIVOS USAMOS LETRAS MAIÚSCULAS 1º) CONJUNTO é uma coleção não-ordenada de objetos. PARA REPRESNTÁ-LOS. 2º) ELEMENTOS objetos que constituem o conjunto. usamos letras minúsculas para representá-los. 3º) SUBCONJUNTOS são agrupamentos formados dentro de um conjunto. 4º) CONJUNTO UNIVERSO é o conjunto que reúne TODOS os itens anteriores. 04 Dê exemplos dos conceitos primitivos da teoria dos conjuntos. 05 Determine o conjunto solução dado pela condição: a) x = 0 b) x 2 3x 10 = 0 e x > 0

3 RELAÇÕES 3 Relação de Pertinência Notação: (pertence) ou (não pertence) Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer aquele conjunto. Relação de Continência Notação: (contido) ou (não está contido) Quando um conjunto estiver inserido em outro conjunto, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo conjunto. OBSERVAÇÕES: A relação de pertinência, ou, é utilizada para relacionar elementos com conjuntos. A relação de continência, ou, é utilizada para relacionar conjunto com conjunto. Se A B e B A, então A = B. CONJUNTOS NUMÉRICOS N: conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3,...} Criado para representar a contagem. Z: conjunto dos números inteiros: {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Criado para responder questões, tais como 3 8 =? Q: conjunto dos números racionais: {x x = a/b ; a, b Z, b 0} Criado para responder questões, tais como 3 : 8 =? I: conjunto dos números irracionais: {x x Q} R: conjunto dos números reais: { x x ( Q + I ) } Criado para responder questões, tais como 3 =? Criado para unir os conjuntos Q e R 06 Utilize, corretamente, um dos quatro símbolos de relações: a) 4 / 11 N b) N Ǭ c) N R d) 5 R e) 4,7 Z f ) 0 I g) 2, Ir h) R Ǭ i) 5 Q j) Z Q

4 4 07 Se a e b pertencem a Z*, então, certamente serão números inteiros: A) a + b ; a b ; a / b B) a + b ; a.b ; a / b C) a.b ; a b ; a + b D) a b ; a ; a.b E) a + b ; a b ; a.b 08 Determine as frações geratrizes das dízimas: a) 0, b) 0, c) 0, d) 2, e) 3, f) 0, g) 1, h) 0, Sendo a = 0, e b = 2, , calcule o valor de a. b": 10 O intervalo XY de extremos 20,14 e 26,74 indicados na reta numerada abaixo está dividido em onze partes iguais. Nesse intervalo estão indicados os números decimais A, B e C. Determine o valor de B [ (C A) / 2 ] X A B C Y 11 Considere os números racionais A = 11 / 15, B = 7 / 12 e C = 13 / 18. a) Escreva os em ordem crescente; b) A + B + C =? c) 2A 3(B C) =? 1 0 0,1 0,8 12 (FEI) Que número real representa a expressão:

5 5 CONJUNTOS DAS PARTES P(A): É o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. OBS: O número de elementos de P(A) é dado por 2 n, onde n é o número de elementos de A. 13 Considere os conjuntos X = {a, b}, Y = {c, d, e} e Z = {f, g, h, i}. Determine: a) P(X) b) P(Y) c) P(Z) d) Para cada um dos itens anteriores, verifique a conjectura de que o número de elementos de P(A) = 2 n. 14 (Unifor CE) Se A = {x, y, z}, então o número de elementos de P(P(A)) possui: A) 8 elementos B) 16 elementos C) 256 elementos D) 512 elementos OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Considere os conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}. 15 UNIÃO: A união de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A, ou em B, ou em ambos. Sendo assim, determine A B 16 INTERSEÇÃO: A interseção de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo. Sendo assim, determine A B

6 6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Considere os conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}. 17 DIFERENÇA: A diferença de A e B, denotada por A B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A mas não estão em B. Sendo assim, determine: a) A B b) B A 18 COMPLEMENTAR: Se U é o conjunto Universo, U A é chamado de complemento de A e é denotado por Ā ou por ou ainda Sendo assim, determine: a) U = A U B b) Ā c) 19 Dados os conjuntos: A = {x x é um número natural primo menor do que 10} B = {x x Z e 6 < x 4} C = {x x N é divisor de 12}, determine: a) A B b) C B A c) A B d) A C e) B A f) A U B g) B C h) (A B) C i) A (B C) j) A C A B k) Ā l) (C B) U (C A) m) (B A) U (A B) 20 Dados os conjuntos: P = {Todos os polígonos}; L = {Todos os losangos}; G = {Todos os paralelogramos}; Q = {Todos os quadrados} e R = {Todos os retângulos}. Fazendo um diagrama, determine: a) L R b) L U G c) Q L d) G U P 21 (UFRN) As figuras ao lado representam diagramas de Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a região hachurada representa o conjunto Y Z X.

7 7 NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO UNIÃO 22 Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 5, 7}. Se n(a) representa a quantidade de elementos do conjunto A, então determine: a) n(a) b) n(b) c) A U B d) n(aub) e) A B f) n(a B) 23 Verifique (utilize V ou F ), com base nas respostas da questão anterior, se: a) n(a B) = n(a) + n(b) b) n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) 24 Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 630 pessoas e o resultado foi o seguinte: 350 delas lêem o jornal A, 210 lêem o jornal B e 90 lêem os jornais A e B. Pergunta-se: a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b) quantas pessoas lêem apenas o jornal B? c) quantas pessoas lêem jornais? d) quantas pessoas não lêem jornais? 25 Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos NÃO são ruivos e 9 meninas são ruivas. a) Quantas crianças existem na escola? b) Quantas crianças são meninas ou são ruivas? c) Quantas crianças são meninos e são ruivas? T R C U R T

8 8 26 O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes do Ensino Médio costumam ler: Revistas Leitores a) Quantos foram os estudantes A 150 consultados? B 200 b) Quantos estudantes lêem C 250 apenas a revista A? A e B 70 c) Quantos estudantes lêem a A e C 90 revista B e não lêem a C? B e C 80 d) Quantos estudantes não lêem A, B e C 60 a revista A? Nenhuma 180 e) Quantos estudantes lêem a revista A ou a revista C? 27 (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia de Ponta Negra, 55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de: A) 20% B) 35% C) 40% D) 25% 28 Os conjuntos A, B e A B têm, respectivamente, 10, 15 e 7 elementos. Qual o número de elementos de A U B?

9 9 29 Sabe se que n(a U B) = 15, n(a) = 7 e n(a B) = 3, então n(b A) é igual a: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 INTERVALOS Dados dois números reais a e b, com a < b, tem se: ]a. b[ = {x R a < x < b} = (a, b) a b [a. b] = {x R a x b} = [a, b] 30 Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos: a) {x R 1 < x 3} b) {x R 2 x < 3} c) [3, + [ d) x < 4 e) ] 5, 3] f) [ π, e [ g) x 2 h) { 1 < x < 1} [0, 3[ 31 Considere os conjuntos e a) Represente, sob a forma de intervalo, os conjuntos A e B. b) Represente, na reta real, os conjuntos A, B e A B. c) Indique a condição que representa A U B e A B. d) Indique o menor número inteiro que não pertence a A U B. 32 (UFMG) Em uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 7% dos entrevistados, acessam os três sites; 12% dos entrevistados acessam os dois sites, A e B; 15% acessam os sites A e C; 19% acessam B e C; 40%, o site A; 55% o B; 35% o C;135 pessoas entrevistadas não acessam nenhum dos sites. Quantas pessoas foram entrevistadas? A) 1500 B) 1450 C) 91 D) 100 a b

GABARITO 01) Pessoal. Ex: Dificuldade em encontrar um produto. 03) Pessoal. Ex: Grupo de alunos desta sala. 02) Pessoal. Exs: SIM, pois um mesmo produto pode pertencer a dois grupos diferentes.

10 GABARITO 01) Pessoal. Ex: Dificuldade em encontrar um produto. 03) Pessoal. Ex: Grupo de alunos desta sala. 02) Pessoal. Exs: SIM, pois um mesmo produto pode pertencer a dois grupos diferentes. Ou NÃO, pois dificultaria a organização. 05) a) S = ϕ b) S = { 2, 5} 06) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 10 04) Pessoal. Exs: CONJUNTO de alunos desta sala. Cada aluno é um ELEMENTO. O s meninos formam um SUBCONJUNTO. Todos os alunos da escola compõem o conjunto UNIVERSO. 07) E 08) a) 7 / 9 b) 23 / 99 c) 263 / 333 d) 7 / 3 e) 114 / 33 f) 1 / 180 g) 433 / 330 h) / ) 209 / ) 20,74 11) a) B<C<A b) 367 / 180 c) 113 / 60 12) 1 / 3 13) a) P(X) = {ϕ ; X; {a}; {b}} b) P(Y) = {ϕ ; Y; {c}; {d}; {e}; {c,d}; {c,e}; {d,e}} 13) //cont.// c) {ϕ ; Z; {f}; {g}; {h}; {i};{f,g}; {f,h}; {f,i}; {g,h}; {g,i}; {h,i}; {f,g,h}; {f,g,i}; {g,h,i}; {f,h,i}} d) Use P(A) = 2 n 14) C 15) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 16) (4, 5) 17) a) {1, 2, 3} b) {6, 7} 18) a) = (questão 15) b) {6, 7} c) 1, 2, 3} 19) a) {5, 6, 7, 8, 9} b) { 5, 4, 3, 2, 1} c) {0, 1, 2, 3, 4} d) {1, 2, 3, 4, 5, 6} e) = (b) f) { 5, 4, 3,..., 5, 6, 7, 8, 9} g) {1, 2, 3, 4} = (h) = (i) j) = (c) 20) a) Q b) L c) Q d) P 21) C 22) a) 5 b) 4 c) {1, 2, 3, 5, 7, 9} d) 6 e) {3, 5, 7} f) 3 23) a) F b) V 24) a) 260 b) 120 c) 470 d) ) a) 70 b) 57 c) 15 26) a) 620 b) 50 c) 120 d) 470 e) ) B 28) 18 29) 8 30) Graf. 31) a) A = ], 0[ B = [ 2, 3] b) Graf. c) A U B = ], 3] A B = [ 2, 0 [ d) 4 32) A

11 A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos. (Aristóteles Filósofo Grego) Complete com números: ção buscar no meu colo me beijar. pois ja rezei para encontrar de te levar para Vá correndo acessar... Você só paga R$ 5,00 (Brincadeirinha... É de graça!)

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