Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 13 GRUPO I 1. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [OABCDEFG] Sabe-se que: um dos vértices do cubo coincide com a origem do referencial; os vértices A, B e C pertencem aos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente; o vértice G tem coordenadas (10,10,10) ; o ponto P pertence à aresta [FG] e temordenada 3; o ponto Q pertence à aresta [ED] e tem ordenada 7; Seja I o ponto de intersecção da recta PQ com o plano xoz. A área do triângulo [EIC] é: (A) 45 (B) 175 (C) 175 (D) 50. Considere num referencial ortogonal monométrico Oxyz um ponto P com coordenadas ( 1 a,a, 5 ), sendo a um número real. Qual é o conjunto de valores de a para os quais o ponto P pertence à superfície esférica de centro (1, 4,0) e raio igual a 5? (A) { 4 } (B) { } (C) {,4} (D) { 4,} Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 009/010

2 3. Considere a função g, de domínio R, definida por g( x) = x + 7 Qual das equações seguintes tem duas soluções distintas? (A) g(x) = 3 (B) g(x) = 5 (C) g(x) = 7 (D) g(x) = 9 4. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xoy, duas parábolas geometricamente iguais, que são os gráficos de duas funções quadráticas, f e g. Os vértices das duas parábolas têm a mesma abcissa; A ordenada de um dos vértices é igual a 3 e a ordenada do outro vértice é igual a 4. Qual das expressões seguintes define a função g? (A) f ( x) + 7 (B) ( ) f x + 1 (C) f ( x) + 1 (D) ( ) f x Uma empresa de telecomunicações anuncia o seguinte plano de preços para as chamadas telefónicas feitas a partir de um telefone registado nessa empresa: 1 cêntimos pelo primeiro minuto de conversação (se a chamada durar menos de um minuto, o preço a pagar também é 1 cêntimos); 0,1 cêntimos por segundo, a partir do primeiro minuto. Por exemplo, se uma chamada durar um minuto e meio, o preço a pagar é 15 cêntimos (1 cêntimos pelo primeiro minuto, mais 0,1 cêntimos por cada um dos trinta segundos seguintes). Qual das expressões seguintes dá o preço a pagar, em cêntimos, por uma chamada feita a partir de um telefone registado nessa empresa, em função do tempo t de duração da chamada, medido em segundos? (A) 1 se t ,1( t - 60 ) se t > 60 (B) 1t se t ,1( t - 60 ) se t > 60 (C) 1t se t ,1 se t > 60 (D) 1 se t ,1 se t > 60 GRUPOII Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/010

3 1. Na figura estão representados, em referencial o.n. xoy: os pontos A e D, pertencentes ao eixo Oy; o ponto C, pertencente ao eixo Ox; a circunferência de centro na origem do referencial e raio 3, que contém os pontos A, C e D; a recta BD, que contém o ponto C; a recta AB, paralela ao eixo Ox; O ponto B tem coordenadas (6,3) Estão assinaladas na figura duas regiões: uma, tracejada, no primeiro quadrante outra, sombreada, no quarto quadrante Mostre que uma equação da mediatriz do segmento [BC] é y = -x Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira Determine a área da região tracejada. Apresente o resultado arredondado às centésimas.. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxy, o gráfico de uma função f, de domínio [-,7]. Indique o conjunto solução da condição f ( x) <. Apresente a sua resposta na forma de união de intervalos de números reais Seja f a função, de domínio R, definida por f ( x) = x 3x 6x Sem recorrer à calculadora, resolva a inequação f ( x) < 0, sabendo que um dos zeros de f é 4. Apresente o conjunto solução utilizando a notação de intervalos de números reais. 3.. Sejam A e B os pontos do gráfico de f cujas abcissas são 3 e 0, respectivamente. A recta AB intersecta o gráfico de f em mais um ponto. Designemos esse ponto por C. Determine as coordenadas do ponto C, percorrendo as etapas indicadas a seguir: determine a equação reduzida da recta AB; recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico de f e a recta AB, escolhendo uma janela que lhe permita visualizar também o ponto C; Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 009/010

4 reproduza, na sua folha de prova, o que visualiza na calculadora, assinalando também os pontos A, B e C. recorrendo à ferramenta adequada da calculadora, determine as coordenadas do ponto C e indique-as no gráfico que desenhou (as coordenadas do ponto C são números inteiros). 4. Na figura está representada uma circunferência de centro O e que contém os pontos R, S e T. Um ponto P desloca-se ao longo do trajecto que a figura sugere: P inicia o percurso em R e termina-o em T, percorrendo, sucessivamente e sem parar, a corda [RS] e o arco ST. Para cada posição do ponto P, seja t o tempo decorrido desde o início do percurso e seja d a distância do ponto P ao ponto O. Apenas um dos gráficos a seguir representados pode relacionar correctamente as variáveis t e d. Numa pequena composição, indique o gráfico que pode relacionar correctamente as variáveis t e d e apresente, para cada um dos gráficos rejeitados, uma razão pela qual o considerou incorrecto. FIM Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 009/010

5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 13 Proposta de resolução GRUPO I 1. (C) Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [OABCDEFG] Sabe-se que: um dos vértices do cubo coincide com a origem do referencial; os vértices A, B e C pertencem aos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente; o vértice G tem coordenadas (10,10,10) ; o ponto P pertence à aresta [FG] e temordenada 3; o ponto Q pertence à aresta [ED] e tem ordenada 7; Seja I o ponto de intersecção da recta PQ com o plano xoz. A área do triângulo [EIC] é 175 Para calcularmos a área do triângulo [EIC] vamos calcular as medidas da base EC = 10 (por se tratar de uma diagonal facial do cubo) e a altura EI. Ora da figura ao lado podemos por semelhança dos triângulos tirar que: x 15 = 7x = x 4x = 30 x = 3 x Então EI = 10 + = e a área do triângulo [EIC] é: A = = E 7 Q 10 F 3 P x I. (D) Considere num referencial ortogonal monométrico Oxyz um ponto P com coordenadas ( 1 a,a, 5 ), sendo a um número real. O conjunto de valores de a para os quais o ponto P pertence à superfície esférica de centro (1, 4,0) e raio igual a 5 é { 4,} porque ( ) ( ) ( ) ( ) PC = 5 1 a 1 + a = 5 a + a = 5 ± a + a + 4a = 0 a + 4a 16 = 0 a + a 8 = 0 a = a = 4 a = Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 009/010

6 3. (D) Considere a função g, de domínio R, definida por g( x) = x + 7 Das equações seguintes que tem duas soluções distintas é g(x) = 9 porque sendo o contradomínio de g [ 7,+ [, as duas primeiras equações são impossíveis e g( x) = 7 só tem uma solução. 4. (A) Na figura estão representadas, em referencial o.n. xoy, duas parábolas geometricamente iguais, que são os gráficos de duas funções quadráticas, f e g. Os vértices das duas parábolas têm a mesma abcissa; A ordenada de um dos vértices é igual a 3 e a ordenada do outro vértice é igual a 4. A expressão que define a função g é f ( x) + 7 porque o contradomínio de f (gráfico que resulta do de f por uma simetria em relação ao eixo das abcissas) é [ 3, [ + pelo que o contradomínio de f ( x) + 7 (que resultou do de f por uma translação associada o vector de coordenadas ( 0,7 ) ) é [ 4,+ [. 5. (A) Uma empresa de telecomunicações anuncia o seguinte plano de preços para as chamadas telefónicas feitas a partir de um telefone registado nessa empresa: 1 cêntimos pelo primeiro minuto de conversação (se a chamada durar menos de um minuto, o preço a pagar também é 1 cêntimos); 0,1 cêntimos por segundo, a partir do primeiro minuto. Por exemplo, se uma chamada durar um minuto e meio, o preço a pagar é 15 cêntimos (1 cêntimos pelo primeiro minuto, mais 0,1 cêntimos por cada um dos trinta segundos seguintes). A expressão que dá o preço a pagar, em cêntimos, por uma chamada feita a partir de um telefone registado nessa empresa, em função do tempo t de duração da chamada, medido em 1 se t 60 segundos é ,1( t - 60 ) se t > 60 Se o primeiro minuto de conversação custa 1 cêntimos, o mesmo acontecendo se a chamada durar menos de um minuto. (B) e (C) não respondem a esta situação dado que fazem pagar 1 cêntimos por cada segundo durante o primeiro minuto. Comparando agora as respostas (A) e (D) verificamos ter de ser a resposta (A) por na resposta (D) o custo de qualquer chamada com duração superior a um minuto é 1,1 cêntimos o que não se verifica na realidade, cada segundo para além de um minuto custa 0,1 cêntimos Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 009/010

7 pelo que 0,1 tem de multiplicar pelo número de segundo para além dos 60 segundos primeiros. GRUPOII 1. Na figura estão representados, em referencial o.n. xoy: os pontos A e D, pertencentes ao eixo Oy; o ponto C, pertencente ao eixo Ox; a circunferência de centro na origem do referencial e raio 3, que contém os pontos A, C e D; a recta BD, que contém o ponto C; a recta AB, paralela ao eixo Ox; O ponto B tem coordenadas (6,3) Estão assinaladas na figura duas regiões: uma, tracejada, no primeiro quadrante outra, sombreada, no quarto quadrante Mostremos que uma equação da mediatriz do segmento [BC] é y = x + 6 Comecemos por reconhecer as coordenadas de B e de C. B( 6,3 ) e C( 3,0 ) A equação da mediatriz é ( ) ( ) ( ) x 6 + y 3 = x 3 + y x 1x y 6y + 9 = x 6x y 6x 6y + 36 = 0 6y = 6x + 36 y = x + 6 que era o que pretendíamos demonstrar. 1.. Vamos definir, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira: Comecemos por identificar as equações das fronteiras: o Recta CD tem equação y = x 3 o Circunferência de centro na origem do referencial e raio 3 tem equação x + y = 9 o Final mente a região sombreada pode ser definida por y x 3 x + y Determinemos a área da região tracejada. Esta área é igual à área do triângulo [ABD] menos a área do triângulo [OCD] e menos a área de um quarto do círculo de centro na origem do referencial e raio 3. A área do triângulo [ABD] é AB AD 6 = 6 = 18 A área do triângulo [OCD] é OC OD = = Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 009/010

8 A área de um quarto do círculo de centro na origem do referencial e raio 3 é π 3 9 = π A área da região tracejada é 18 π 6, 43 4 Apresente o resultado arredondado às centésimas.. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxy, o gráfico de uma função f, de domínio [-,7]. Indiquemos o conjunto solução da condição f ( x) <. Apresentando a resposta na forma de união de intervalos de números reais. f ( x) < [, 1[ ] 1, 4[ 3 3. Seja f a função, de domínio R, definida por f ( x) = x 3x 6x Sem recorrer à calculadora, resolva a inequação f ( x) < 0, sabendo que um dos zeros de f é 4. Se 4 é zero de f é porque f ( x ) é divisível por x Daqui resulta que f ( x) = ( x 4)( x + x ) Calculemos os zeros de x + x 1± 1+ 8 x + x = 0 x = x = 1 x = Vamos então construir uma tabela x x x + x f ( x ) E concluir que f ( x) < 0 x ], [ ] 1,4 [ Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 009/010

9 3.. Sejam A e B os pontos do gráfico de f cujas abcissas são 3 e 0, respectivamente. A recta AB intersecta o gráfico de f em mais um ponto. Designemos esse ponto por C. Determinemos as coordenadas do ponto C, percorrendo as etapas indicadas a seguir: determinemos a equação reduzida da recta AB; Como A ( 3, 8) e B( 0,8 ) o declive da recta é 1 por ser AB = ( 3,36) de AB é y = 1x + 8 e a equação reduzida recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualizemos o gráfico de f e a recta AB, escolhendo uma janela que nos permita visualizar também o ponto C; reproduzimos, na sua folha de prova, o que visualizamos na calculadora, assinalando também os pontos A, B e C. recorrendo à ferramenta adequada da calculadora, determinemos as coordenadas do ponto C e indiquemo-las no gráfico que desenhámos (as coordenadas do ponto C são números inteiros). O ponto C tem coordenadas ( 6,80 ) 4. Na figura está representada uma circunferência de centro O e que contém os pontos R, S e T. Um ponto P desloca-se ao longo do trajecto que a figura sugere: P inicia o percurso em R e termina-o em T, percorrendo, sucessivamente e sem parar, a corda [RS] e o arco ST. Para cada posição do ponto P, seja t o tempo decorrido desde o início do percurso e seja d a distância do ponto P ao ponto O. Professora: Rosa Canelas 9 Ano Lectivo 009/010

10 Apenas um dos gráficos a seguir representados pode relacionar correctamente as variáveis t e d. Numa pequena composição, indique o gráfico que pode relacionar correctamente as variáveis t e d e apresente, para cada um dos gráficos rejeitados, uma razão pela qual o considerou incorrecto. A resposta correcta é (C) O gráfico (A) não pode representar a situação porque o ponto P começa por percorre a corda [RS] ao longo da qual a distância de P à origem começa por diminuir até meio da corda aumentando até atingir o ponto S da circunferência sendo a partir daí que a distância se mantém constante e igual ao raio. O gráfico (B) também não representa a situação porque em nenhuma altura do percurso o ponto P passa no centro para a distância ser igual a zero. O gráfico (D) não representa a situação descrita porque no ponto R onde se inicia o percurso e no ponto S onde a distância passa a ser constante as distâncias ao centro não são iguais o que é impossível porque R e S são pontos da circunferência e quando P lá passa está a uma distância do centro igual ao raio. FIM Professora: Rosa Canelas 10 Ano Lectivo 009/010

11 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 13 Critérios de correcção Grupo I C D D A A Grupo II reconhecer as coordenadas de B e de C. B( 6,3 ) e C( 3,0 )... Escrever uma equação da mediatriz ( ) ( ) ( ) x 6 + y 3 = x 3 + y Escrever a equação da mediatriz na forma y = x Equação da recta CD y = x 3 1 Equação da circunferência Definir a região sombreada por x + y = y x 3 x + y Reconhecer que área tracejada é A[ABD] A[OCD] A círculo/4.. 1 Calcular área de [ABD] AB AD = 18. Calcular área de [OCD] OC OD 9 =... Calcular área de Círculo/4 π 3 9 = π Concluir que A área da região tracejada é 18 π 6, Divisão por x 4 pela Regra de Ruffini. Professora: Rosa Canelas 11 Ano Lectivo 009/010

12 Cálculo dos zeros do polinómio do º grau..... Construir a tabela para resolver a inequação.. 4 Apresentar a solução Calcular as coordenadas de A e B.. Escrever a equação reduzida de AB.. 3 Apresentar o gráfico nas condições exigidas. 8 Apresentar as coordenadas de C Na tabela seguinte indica-se como deverá ser classificada a composição. Os níveis 1, e 3 dizem respeito ao desempenho na comunicação em língua portuguesa, de acordo com o disposto nos critérios gerais. Nível 1 Nível Nível 3 Rejeita correctamente os gráficos A, B e D Rejeita correctamente apenas dois gráficos Rejeita correctamente apenas um gráfico Nota: A rejeição correcta dos gráficos A, B e D implica a consideração do gráfico C como aquele que relaciona correctamente as variáveis t e d. Por isso, não se exige que o aluno explicite a indicação do gráfico correcto. Por outro lado, não deve ser valorizada, em qualquer caso, a indicação de que o gráfico C é o correcto. Dos critérios gerais A avaliação das competências de comunicação escrita em língua portuguesa contribui para valorizar a classificação atribuída ao desempenho no domínio das competências específicas da disciplina. Esta valorização é cerca de 10% da cotação do item e faz-se de acordo com os níveis de desempenho a seguir descritos: Total 100 Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 009/010