Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. Grupo I

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1 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática TM 1 OMTRI NO PLNO NO SPÇO I 1º Teste de avaliação versão rupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. screva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Num certo prisma, cada uma das bases tem n vértices. Quantas faces e arestas tem esse prisma? () n faces e n arestas () n faces e n arestas () n + faces e n arestas () n + faces e n arestas. Se o círculo da figura tem área área: π cm, então o quadrado nele inscrito tem () 1cm () cm () 4cm () cm. onsidere um prisma e uma pirâmide que têm bases geometricamente iguais, sendo a altura da pirâmide metade da do prisma. O volume do prisma é n vezes o volume da pirâmide, sendo n igual a: () () () 4 () 6 4. Na figura, as retas e são paralelas. e acordo com os dados da figura a medida de é: 6 cm 4 cm () cm () 7 cm () cm () 5cm cm 6 cm Professora: Rosa anelas 1 no Letivo 01/01

2 5. Na figura estão representados um paralelepípedo e um prisma triangular reto. scolha a afirmação verdadeira. J I () () s retas e são não complanares Os planos e são paralelos () reta J é paralela ao plano () s retas J e são perpendiculares rupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exato. 1. figura representa um cubo com m de aresta, onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular Mostre que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler. 1.. Sabendo que a altura da pirâmide é da aresta do cubo, determine que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada.. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a tracejado um quadrado [] com dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira peça, cortando e retirando o quadrado []. Relativamente à segunda figura, sabe-se que: ada vértice do quadrado [] pertence a um lado do quadrado [] Os quatro triângulos retângulos [], [], [] e [] são geometricamente iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor..1. Mostre que a área do quadrado [] é 5 dm. Professora: Rosa anelas no Letivo 01/01

3 .. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 45 dm de área e cuja altura é 1 dm. Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça metálica da alínea anterior, de tal modo que a peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [] ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide. etermine a distância, d, em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide. NOT: dmita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha em conta que a área do quadrado [] é 5 dm.. figura representa um cubo com aresta 8 cm, onde se desenhou uma secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das diagonais espaciais..1. etermine a área da secção, sabendo que os vértices do hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem... onsiderando agora que 1 I = desenhe um cubo e nele, com I todo o rigor, desenhe a secção produzida pelo plano I. 4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo Justifique porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular. Professora: Rosa anelas no Letivo 01/01

4 1.. á elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza? Quais são? Justifique. 1.. Supondo que a aresta do cubo é igual a duas unidades, prove que a área de cada face do tetraedro é e que a área total do tetraedro é 8.. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, três bolas de ténis. Que fração do volume da embalagem representa o volume das bolas? NOT: onsidere o raio da bola igual a r. ormulário eometria Perímetro do círculo: π r, sendo r o raio do círculo Áreas Paralelogramo: base altura diagonal maior diagonal menor Losango: Trapézio: base maior + base menor altura perímetro Polígono regular: apótema írculo: π r, sendo r o raio do círculo Álgebra Superfície esférica: 4π r, sendo r o raio da esfera Volumes Prismas e cilindro: área da base altura Pirâmide e cone: 1 área da base altura 4 sfera: r π, sendo r o raio da esfera órmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma b b 4ac ± ax + bx + c = 0 : x = a Questão TOTL otação Professora: Rosa anelas 4 no Letivo 01/01

5 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática TM 1 OMTRI NO PLNO NO SPÇO I 1º Teste de avaliação versão Proposta de resolução rupo I 1. () Num certo prisma, cada uma das bases tem n vértices. esse prisma tem n+ faces e n arestas. () Se o círculo da figura tem área π cm, é porque o seu raio é então o quadrado nele inscrito tem de diagonal e tem área: = = 4cm. () onsidere um prisma e uma pirâmide que têm bases geometricamente iguais, sendo a altura da pirâmide metade da do prisma. Seja a área das bases do prima e da pirâmide e seja h a altura do prima. ntão Vprisma = h e Vpirâmide h h = = 6 O volume do prisma é n vezes o volume da pirâmide, sendo n igual a 6 4. () Na figura, as retas e são paralelas. e acordo com os dados da figura, da semelhança dos triângulos resulta que 6 6 = = = cm cm 6 cm a medida de é cm : cm 6 cm 5. () Na figura estão representados um paralelepípedo e um prisma triangular reto. scolhamos a afirmação verdadeira. J I () () s retas e são não complanares LS Os planos e são paralelos VRIR () reta J é paralela ao plano LS () s retas J e são perpendiculares LS Professora: Rosa anelas 5 no Letivo 01/01

6 rupo II 1. figura representa um cubo com m de aresta, onde se escavou uma pirâmide quadrangular regular Mostremos que os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler. Nº de faces = 9 Nº de vértices = 9 Nº de arestas =16 Relação de uler: = = 18 onclusão: Os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de uler. 1.. Sabendo que a altura da pirâmide é da aresta do cubo, determinemos que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada. Volume do cubo: V = = 7m cubo Volume da pirâmide: 1 Vpirâmide = = 6m O volume da pirâmide é ( ) do cubo. 6 = = 0, do volume do cubo ou seja é de,()% do volume 7 9. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a tracejado um quadrado [] com dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira peça, cortando e retirando o quadrado []. Relativamente à segunda figura, sabe-se que: ada vértice do quadrado [] pertence a um lado do quadrado [] Os quatro triângulos retângulos [], [], [] e [] são geometricamente iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor..1. Mostremos que a área do quadrado [] é 5 dm, começando por reproduzir os dois quadrados: x x Professora: Rosa anelas 6 no Letivo 01/01

7 omo x + x = x = x = 1dm plicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [] temos: = 1 + = 1+ 4 = 5 dm O que prova que a área do quadrado [] é 5 dm... Na figura ao lado, está representada uma pirâmide quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 45 dm de área e cuja altura é 1 dm. Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça metálica da alínea anterior, de tal modo que a peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [] ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide. aresta da base da pirâmide é 45 = 5 dm O lado do quadrado da peça é 5 dm ntão podemos desenhar a secção produzida na pirâmide passando pelo vértice e por dois pontos médios de lados opostos da base: a semelhança dos dois triângulos resulta: 5 1 x 4 dm 5 = x = distância, d, em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide é então 1 4 = 8 dm V x x NOT: dmita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha em conta que a área do quadrado [] é 5 dm. 5. figura representa um cubo com aresta 8 cm, onde se desenhou uma secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das diagonais espaciais..1. eterminemos a área da secção, sabendo que os vértices do hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem. Observando a face superior do cubo verificamos que o lado do hexágono é 4 cm por ser a diagonal de um quadrado de lado 4 cm. Professora: Rosa anelas 7 no Letivo 01/01

8 h 4 plicando o Teorema de Pitágoras a um dos 6 triângulos equiláteros em que podemos dividir o hexágono vamos determinar o apótema h: ( ) ( ) h + = 4 h = 8 h = 4 h = 6 área do hexágono é 4 6 hexágono = 6 = 4 1 = 48 cm.. onsiderando agora que 1 I = desenhe um cubo e nele, com todo o rigor, desenhemos a secção produzida pelo plano I. 4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo. I 4.1. Justifiquemos porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular. e facto o poliedro tem 4 faces que são triângulos equiláteros geometricamente iguais por terem os lados iguais já que são diagonais faciais do cubo, além disso concorrem faces em cada um dos 4 vértices do cubo onde concorrem as diagonais do cubo. 4.. á elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza. São as arestas [] e [] pois estão nas faces da frente e de trás do cubo que estão desenhadas em verdadeira grandeza. Professora: Rosa anelas 8 no Letivo 01/01

9 4.. Supondo que a aresta do cubo é igual a duas unidades, prove que a área de cada face do tetraedro é e que a área total do tetraedro é 8. Se a aresta do cubo é igual à duas unidades a sua diagonal facial medirá então: altura de um triângulo equilátero cujo lado mede é h = = 6 = =. 4 área desse triângulo é ( ) área total do tetraedro é total = 4 = Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, três bolas de ténis. Que fração do volume da embalagem representa o volume das bolas? NOT: onsidere o raio da bola igual a r. alculemos o volume do cilindro com r de raio da base e altura 6r. V = π r 6r = 6π r cilindro alculemos o volume de três esferas de raio r. 4 V4esferas = π r = 4π r alculemos então a fração do volume da embalagem representada pelo volume das bolas: 4πr 6πr = s esferas representam do volume da caixa cilíndrica. Questão TOTL otação Professora: Rosa anelas 9 no Letivo 01/01

10 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática TM 1 OMTRI NO PLNO NO SPÇO I 1º Teste de avaliação versão ritérios de classificação rupo I (50 pontos) ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos rupo II (150 pontos) Indicar o nº de faces Indicar o nº de vértices Indicar o nº de arestas Verificar a Regra de uler alcular o volume do cubo alcular o volume da pirâmide 5 alcular a percentagem pedida 5 presentar o resultado alcular a medida de cada parte do lado 5 alcular a área pedida Reconhecer a semelhança dos triângulos 5 alcular a altura da pirâmide pequena 5 alcular a distância pedida alcular a medida do lado do hexágono 5 alcular a medida do apótema do hexágono 5 alcular a medida da área Professora: Rosa anelas 10 no Letivo 01/01

11 esenhar corretamente o cubo 5 esenhar corretamente a secção Referir justificando que as faces são polígonos regulares e geometricamente iguais 10 Referir que concorre igual nº de faces em cada vértice Sim 5 Indicar as arestas 5 Justificar resta do cubo diagonal facial 5 Lado do triângulo área do triângulo 5 Área total do tetraedro Volume do cilindro 5 Volume das esferas 5 ração pedida 5 Total 00 Professora: Rosa anelas 11 no Letivo 01/01