Teste de avaliação (Versão A) Grupo I

Transcrição

1 UÁ M 3º. 10º MMÁ este de avaliação (Versão ) rupo s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. ara cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. screva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. e apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. ão apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 9 pontos, cada pergunta não respondida, anulada ou com resposta errada vale 0 (zero) pontos. 1. Um prisma regular com 9 faces e 14 vértices tem: () 5 arestas () 5 arestas () 3 arestas () 1 arestas.. um referencial o.n. (,, ) a recta paralela ao eio das abcissas que passa no ponto de coordenadas (, 3) tem equação: () = 3 () = () = () = 3 3. esfera de centro no ponto de coordenadas ( 5, 3, ) e tangente ao plano é definida pela condição z 4 () ( ) ( ) ( ) z 9 () ( ) ( ) ( ) z 5 () ( ) ( ) ( ) z+ () ( ) ( ) ( ) 4. figura representa um paralelogramo dividido em doze paralelogramos geometricamente iguais. Qual das relações seguintes é correcta? () FH + = FM 3 () MF = F H M Q () + M = 0 () + H = H F: osa anelas 1 006/007

2 5. elativamente a um referencial o.n. (,e 1,e) respectivamente u5, ( ) e v( 1,5; 5), então as coordenadas dos vectores u e v são () u e v são paralelos () u e v têm sentidos contrários () u=,5v () u e v não têm a mesma direcção. rupo as questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eacto. 1. o referencial da figura a unidade nos dois eios é o lado da 6 quadrícula ndique as coordenadas dos H U pontos, U,,, e. 1.. epresente por uma equação as rectas, F, e Qual é o ponto simétrico de em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares? em relação ao eio? 1.4. Qual é a mediatriz do segmento [U]? 1.5. alcule, na forma mais simplificada possível, a equação da mediatriz do segmento [U]. M F Q opie para a sua folha e complete as igualdades seguintes: U = Q QF = = = F + = F + + M + =... F: osa anelas 006/007

3 1.7. epresente analiticamente o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira.. a figura estão representados 6 cubos geometricamente iguais. o conjunto dos cubos foi aplicado um referencial ortonormado z em que a unidade é igual à aresta de cada cubo..1. ndique as coordenadas dos pontos,,, e. z.. ndique o simétrico de em relação ao eio z.3. screva uma equação do plano que passa por e é paralelo ao plano..4. screva uma equação da superfície esférica de diâmetro [] e averigúe se a origem pertence a essa superfície esférica..5. etermine as coordenadas de um vector paralelo a com o triplo da norma e sentido contrário..6. plano intersecta o sólido representado na figura. ndique quantos cubos são intersectados pelo plano e eplique como chegou a essa resposta. 3. rove que num triângulo rectângulo qualquer o ponto médio da hipotenusa está equidistante dos três vértices do triângulo. onsidere que os catetos medem e e escolha o referencial mais adequado. F: osa anelas 3 006/007

4 ÇÕ rupo ada resposta certa... 9 ada questão não respondida ou anulada... 0 rupo F: osa anelas 4 006/007

5 UÁ M 3º. 10º MMÁ este de avaliação proposta de resolução (Versão ) rupo 1. () Um prisma regular com 9 faces tem 7 faces laterais e por isso as bases são polígonos de 7 lados. número de vértices é 14 (duas vezes o número de vértices da base) e o de arestas que é o triplo do número de arestas da base é 1.. () um referencial o.n. (,, ) a recta paralela ao eio das abcissas que passa no ponto de coordenadas (, 3) tem equação = () esfera de centro no ponto de coordenadas ( 5, 3,) e tangente ao plano tem raio (distância do centro ao plano ) é definida z 4. pela condição ( ) ( ) ( ) -4 (, -3) 4. () figura representa um paralelogramo dividido em doze paralelogramos geometricamente iguais. 3 relação que é correcta é MF = porque F H M Q 3 MF é um vector com a direcção de MF, sentido contrário e comprimento igual a uma vez e meio o comprimento de MF condições. 5. () elativamente a um referencial o.n. (,e 1,e) respectivamente u5, ( ) e v( 1,5; 5) 5 ( 5) ( 1,5) 5 5 e verifica essas as coordenadas dos vectores u e v são, então u e v não têm a mesma direcção porque rupo F: osa anelas 5 006/007

6 1. o referencial da figura a unidade nos dois eios é o lado da quadrícula s coordenadas dos pontos, U,,, e são: H U 4 U (-5,-5) (-1,3) (-3,-1) (-3,5) (5,3) (1,-1) 1.. Uma equação das rectas, F, e é: F = 5 = 3 = = M F Q ponto simétrico de em relação à bissectriz dos quadrantes ímpares é H porque a bissectriz dos quadrantes ímpares é a mediatriz do segmento de recta [H]. em relação ao eio é porque o eio é a mediatriz do segmento de recta [] mediatriz do segmento [U] é a recta Q de equação = 1. orque esta recta passa no ponto médio de [U] e é perpendicular ao segmento alculemos, na forma mais simplificada possível, a equação da mediatriz do segmento [U], começando por verificar que as coordenadas dos pontos são ( 3, 1) e U( 1,3) ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) = = = = 0 8 = 4 = 1.6. opie para a sua folha e complete as igualdades seguintes: U= M = F+ = Q QF = = F + + M + = F 1.7. naliticamente o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira representa-se pela condição: ( ) ( ).. a figura estão representados 6 cubos geometricamente iguais. o conjunto dos cubos foi aplicado um referencial ortonormado z em que a unidade é igual à aresta de cada cubo. F: osa anelas 6 006/007

7 .1. s coordenadas dos pontos,,, e são: z ( 1,1,1 ) ( 1, 1,1 ) ( 1, 0, 1) ( 0,1 ) (,,0).. simétrico de em relação ao eio z é porque z é a mediatriz do segmento []..3. Uma equação do plano que passa por e é paralelo ao plano é z =..4. superfície esférica de diâmetro [] tem centro no ponto médio de [] que tem coordenadas (0,0,1) e tem raio igual à diagonal facial do cubo que mede pelo que a equação que a define é ( ) + + z 1 = e a origem não pertence a esta superfície esférica porque a distância da origem ao centro é 1, valor da aresta do cubo e portanto diferente de que é o valor do raio..5. s coordenadas de um vector paralelo a com o triplo da norma e sentido contrário são as 3 = 3 1,1 1 = 3, 3,3 coordenadas do vector ( ) ( ).6. plano que intersecta o sólido representado na figura passa também no ponto pelo que corta ao meio os 4 cubos a que pertencem os vértices,, e e ainda contém as arestas de trás do lado esquerdo dos dois cubos de baio, ssim podemos dizer que corta 4 cubos e é tangente aos outros dois. 3. retendemos provar que o ponto médio da hipotenusa de qualquer triângulo rectângulo está equidistante dos três vértices do triângulo. ara o conseguirmos, começamos por considerar um triângulo rectângulo com catetos e e escolhemos um referencial adequado como mostra a figura. M gora vamos determinar as coordenadas de,, e M. (0,0); (,0); (0,) e M por ser o ponto médio de [] terá coordenadas, =, orque M = M, vamos apenas calcular uma delas e a distância M. + M = 0 + = + = M = + = + = 4 4 e com isto fica provado que num triângulo rectângulo o ponto médio da hipotenusa está equidistante dos três vértices do triângulo. F: osa anelas 7 006/007