Matemática E Semiextensivo V. 2

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1 Matemática E Semiextensivo V. Exercícios 0) possibilidades 0) possibilidades 0) possibilidades 0) C Logo, são 4. 4 possibilidades No total, temos 0 + possibilidades. 04) Ida: ida possibilidades Volta: ara a volta devemos desconsiderar uma estrada entre A e B e outra estrada entre B e C. Nessas condições, para o retorno teremos estradas de C a B e 9 estradas de B até A: volta :. Total de possibilidades ) 0 Como o número deve ser par, na última "casa" só podemos considerar os algarismos 4,, 8, ou seja, possibilidades. p p 4p p 48,, Logo, Maneiras elo Diagrama: início Resultado do jogo ( erde; anha) 0) Como o número deve ser par, vamos dividir o problema em dois casos: p 4p 0 com final zero Logo, são. 4 0 possibilidades 4p 4p com final. Observe que na primeira casa não podemos contar com o zero. Matemática E

2 08) B Elaborando uma tabela, temos: 09) E De A até B 0 De B até X ara o trajeto de A até C passando por B há ao todo 0. 0 caminhos distintos. De A até C De B até X 8 ara o trajeto de A até C passando por C há ao todo caminhos distintos. Totalizando assim possibilidades. ortanto, o número de percursos diferentes partindo de A e chegando até X é: ) C I. Falso. De A até C há ao todo trajetos, no entanto para cada trajeto deve-se pagar dois pedágios, sendo no total. pedágios. or exemplo, para o trajeto ADBC pagam-se dois pedágios, um na rodovia D e outro na rodovia. II. Verdadeiro. Observe na tabela a seguir os percursos possíveis. Nos percursos 4 e são iguais as distâncias percorridas e os valores pagos com pedágios. Trajetos A até B Trajetos A até C Trajetos B até C Total ercurso Rodovia Distância edágio Rodovia Distância edágio Distância ercorrida Custo com edágios D 8 R$,0 0 R$,0 4 R$,0 D 8 R$,0 H R$, 4 R$, E 89 R$, 0 R$,0 49 R$, 4 E 89 R$, H R$, 0 R$,40 F 90 R$,0 0 R$,0 0 R$,40 F 90 R$,0 H R$, R$,4 III. Verdadeiro. De acordo com a tabela anterior, o maior valor pago com pedágio é de R$,4: passando pelas rodovias F e H. IV. Falso. Menor distância: 4 km; menor valor pago com pedágio: R$,0. ortanto, a menor distância corresponde ao menor valor do pedágio. ) S R SC RS p p p p verde ou vermelho... possibilidades Matemática E

3 ) A rimeiro tanque: possibilidades Cada um dos demais tanques não poderá repetir o anterior. Ou seja, cada um dos outros tanques sempre terá 4 possibilidades para conter um único ácido Total ) 49 p 4p 0p 9p 8p vogais algarismos 0 possibilidades 0 possibilidades Logo possibilidades. Logo, Lucas testou possibilidades. 4) Começando com 4: Começando com, ou.. 4 Total ) a) b) c). 4 (. ). (4.. ) d) e) ( 0 ) 0 09 nn f) ( n ) ( ) ( n ) n g) ( n + ) ( n ) ( n + ) + ( n+ ) ( n+ ) n + ) D 0 ( n ) nn ( )( n ) 0 ( n ) n(n ) 0 n n 0 n n 0 0 n 4 n ) E Obs.: n 4 não pode ser, pois n pertence ao conjunto dos números naturais. Logo, S {}. (n + 4) + (n + ).(n +) (n + 4)(n + )(n + ) + (n + )(n + ).(n +) (n + )[(n + 4)(n + ) + (n + )].(n +) (n + 4)(n + ) + (n + ) n + n + 4n + + n + n + 8n + n + 8n 0 n 0 n 8 8) E Obs.: n 8 não serve. Logo, n 0. ( n+ ) ( n ) ( n ) ( n+ ) + + ( n+ ) + [ + ] ( [ n+ ) + ] ( n + ) ( n + ) + n + n n + + n + Matemática E

4 9) A (n + ) ( n + ) (n + ) ( n+ ) ( n +) (n + ) ou (n + ) ( n + ) or definição, o fatorial de um número é sempre maior ou igual a. Assim, o lado direito da igualdade deverá ser maior ou igual a. Isto é, ( n +) n + n 0 0) B Como n não pode ser menor do que zero, temos que n 0 (n ) (n ) n n ) D ) B ( n+ ).( n ) ( n+ ) ( n+ )( n+ ).( n ) ( n+ ) n( n ) ( n + ) n n + 0 n n 0 A solução n 0 é um número divisível por. ( k ) [ kk ( ) ] k [( k ) ] ( k ) ( k ) ( k ) )Verdadeira (a, a + a, a + a + a,...) (a, a, a,..., ka) Logo, p a. a. a..... ka p k. a. a. a.... a p k. a k kvezes K (K ) 4) D ( N ) ( N ) AN ( N ) ( N 4) ( N ).( N ) A N N N ( N 4). N ( N ) ( N ) ( N ).( N ).( N 4) N ( N 4). N.( N ) N 4. N 4. (N ) N 4N N ) Qualquer um dos 0 pode assumir um primeiro lugar. Restam 9 que podem assumir o outro primeiro lugar. or fim, restam ainda 8 que podem assumir o outro primeiro lugar. Ou seja, as possibilidades são: ) 0 0 lápis 0 cores Rio rande do Sul, Santa Catarina e araná estados. É o mesmo que formar números de três algarismos distintos dentre 0 algarismos ) ara que o número seja ímpar é necessário que termine em,, ou. Ou seja, há quatro opções. Como os algarismos devem ser distintos, restam ainda para a primeira posição possibilidades e para a segunda posição possibilidades: ) E 9) A 0) D Com cinco tambores, quantos conjuntos de tambores é possível formar? Observe que a ordem de escolha do grupo A não importou, ou seja, é uma combinação. Na segunda escolha, a ordem importou, pois tem o fator "mando de campo". Logo, é um arranjo. A senha inicia com o algarismo. O algarismo 4 pode estar na posição das centenas, dezenas ou unidades: 4, 4 ou 4 4 na posição da centena 4 : Restam 8 possibilidades para a dezena e possibilidades para a unidade: Matemática E

5 4 na posição da dezena 4 : Restam 8 possibilidades para a centena e possibilidades para a unidade: na posição da unidade 4: Restam 8 possibilidades para a centena e possibilidades para a dezena: Total Obs.: oderíamos usar outro modo de resolução: O número começa com o algarismo possibilidade; O algarismo 4 pode estar nas outras três posições: possibilidades; O restante (8 algarismos) ocupará as outras duas posições: ) C n,p p ( n p) C 0, ( 0 )... C 0, C 0, 0 ) 48 C n,p p ( n p) C, ( ) C, 48 ) C n,p p ( n p) C, ( ) C,.. 0 C, 4) C n,p p ( n p) Brasileiros: C 0, ( ) Franceses: C 0, 4 ( 8 4) Brasileiros e franceses: C 0,. C 0, ) B ) E Física quântica: 4.. C, ( ).. 0 Física médica: 4... C, ( )... 0 Física nuclear: C 4, ( 4 ). 4 Física quântica, física médica e física nuclear: C,. C,. C 4, De peixes, 40% Dos peixes, são carpas. Ao pescar 0 peixes de modo que 4 sejam carpas, deveremos ter uma combinação de 4 entre carpas e entre 9 dos demais. Carpas: C, ( 4) Demais: C 9, ( 9 ) ) 4 Total C,4. C 9, Três pontos não colineares implicam que um dos pontos será colinear com 8. C 0, ( 0 ) ) Base do triângulo formada por pontos dentre os colineares: C, 4.. ( ). 0. Base do triângulo formada por pontos dentre os não colineares:.. C, ( ).. Total: C,. C, 0. 0 Matemática E

6 9) B 40) E 4) C.. C, ( ).. Triângulos com base em s: C, ( ) Triângulos com base em r:. 8 Total de triângulos + 8 Comissão formada só por matemáticos: C, 4.. ( ). 0. Comissão formada por matemáticos e geógrafo dentre os três: 4...C, ( ) Total: entre as moças: 4. C,4 4 ( 4) 4. 4 ara cada grupo de 4 garotas se juntará apenas rapaz entre os 0. Isto é: ) E O problema informa que cada grupo deverá ter no máximo rapaz, e isso significa que poderá haver grupos formados somente por garotas. Dessa forma, o total de grupos possíveis é: com 4 garotas e rapaz: 0 com garotas: Total 0 + C n,p p ( n p) C n, ( n ) 4 ( n ) 80 nn ( )( n ) ( n ) 80 n(n ) 80 n n 80 0 n 0 n 9 4) D 44) D 4) B n 9 não serve. ortanto, n 0. Observe que ela possui frutas, tendo que escolher frutas por dia. Vamos dividir em dois casos. Caso I: As três diferentes. C Caso II: Duas diferentes. C.. Como ela pode repetir, no caso dois são 4 possibilidades, ou seja, + 4 No total, temos + 4 possibilidades. Como o jogo é feito de números e João assinalou, temos: C. Logo, João tem a possibilidade de jogos. Sendo R$,00 cada, logo pagará R$4,00. João fez jogos, como vimos na questão anterior. Observe que dos números jogados ele acertou 4, ou seja, AAAA números acertados C EEE números errados dos números ele errou. Logo João acertou quadras. Temos. 4, 9,9 4) Com a palavra VIDRO: a) Anagramas: Matemática E

7 b) Começa com I Resta uma combinação de 4 letras: Começa com O Resta uma combinação de 4 letras: Total: Obs.: Ainda poderíamos encontrar a solução da seguinte maneira: Com a palavra VIDRO há posições para as letras: 4 Vogais 4 ermutação com as demais letras c) Com a palavra VIDRO há posições para as letras: 4 Consoantes ermutação com as demais letras Consoantes.... 4) MÁICOS LETRAS a) b) Com a palavra MÁICOS há posições para as letras: 4 Vogais 4 ermutação dessas letras Vogais c) ara que tenha as letras e I juntas nessa ordem, basta considerar I como apenas uma letra para fins de cálculo Matemática E

8 48) B d) ara M e juntas nessa ordem, é o mesmo cálculo do item anterior, ou seja, 0 possibilidades. Agora, como não importa a ordem, devemos considerar também e M nessa ordem, sendo ainda 0 possibilidades. Nessas condições, os anagramas com M ou M nessas ordens são: orém, o total de anagramas é 040. Logo, a quantidade de anagramas que não possuem as letras M e juntas é de Suponha que os livros A e B devam estar juntos: AB nessa ordem, resta uma permutação entre as demais posições: ara BA nessa ordem, é o mesmo cálculo: 0 Total de livros disponibilizados na estante de modo que dois livros sempre estejam juntos: ) a) 88 4 possibilidades 4 possibilidades 4 possibilidades possibilidades possibilidades possibilidades 8 possibilidades 8 Logo Temos então 8 que ocupa a 88 o posição. b) 8 4 possibilidades 4 possibilidades possibilidades 0) C ) C ) B ) D Logo o número é 8. Da palavra Castelo, para que as vogais estejam em ordem alfabética, basta considerar AEO como apenas uma letra entre. 0 Total de possibilidades entre as oito pessoas: ossibilidade de Lúcia e Joaquim ficarem juntos, não importando a ordem: Das 400 possibilidades de as pessoas sentarem-se, deve-se tirar 0080, que são as possibilidades de os dois ficarem juntos. Total rimeiramente observe que são cinco atividades e que na permutação teríamos: 0 O item A e o item D não podem ser invertidos, pois obviamente o aposentado deverá primeiro levar o seu neto à escola e depois ir buscá-lo. Isto é, devemos dividir o resultado por : Total 0 0 n 040 n Fazer a combinação de em com elementos: C n,p p ( n p) 4... C, ( ) possibilidades 8 possibilidades possibilidades 8 Matemática E

9 4) C ) A Com 8 letras osição das letras Iniciando com X começam com vogal: osição das letras 4 ossibilidades 4 ermutação X 48 Y Começando e terminando em consoante 4 ossibilidades ossibilidades ermutação..... Y ) αβγ n n αβγ ) 040,,,... ARARAQUARA 0 letras A repetições R repetições, ) a) 0 CASADA letras A repetições b) 4 ossibilidades ossibilidades Matemática E 9

10 c) 4 Basta considerar as quatro vogais como apenas uma: CASADA consoantes + ( vogais) 4 4 9) 00 IRACICABA 0 letras A repetições I repetições C repetições,, 0,, ) C, ) E ) 0 UARAUAVA 0 letras A 4 repetições U repetições 4 0, 0. 4 ) Logo, temos Matemática E

11 4) 0 Da casa de João até a de Ana, ele sempre anda ruas na horizontal (H) e na vertical (V)., Logo H H H V V 0 Da casa de Ana até a escola eles sempre andam ruas na horizontal e na vertical., Logo H H H H V V Logo k, k k 9) k+ K K K K + K + K K ouro prata bronze Se analisarmos a equação acima como a ideia de "soluções inteiras de uma equação linear", teremos o seguinte: No total temos (...) (...) (...) K ) C São elementos com repetição de. Logo.. 4 ) E ) E M M M C C C C 4 4 Logo, temos O número de permutação da palavra ECONOMIA é 8. O número de permutações começando com 0 é. Também terminando com 0. O número de permutações que começam e terminam com 0 é. 8) D Logo ) E ) A ) D ) E QNT K QNT K QNT K Logo, temos a permutação de K bolinhas e sinais de mais (+), ou seja, permutação de k + elementos, com repetição de k bolinhas e dois sinais. k, k k k k k k ( + ) ( + ).( + ) k+ k k Logo, temos a permutação de 8 elementos com repetição de e., C ( ) 0 C ( ) 4 4 C N (N ) 400 (N ) 8 N 8 N 9 Matemática E

12 4) 8400 H M H M H M 0 4 M 9 H 8 H M 4 H 4 M ) B ) D odemos permutar os garotos de 0 maneiras, pois C ( ) 0. Da mesma maneira, podemos permutar as garotas de 0 maneiras. Observe que as permutações dos garotos aconteceram nas posições ímpares e as das garotas nas posições pares. Cada garoto pode ocupar posições pares e as garotas ímpares. Logo Matemática E