Matemática 4 Módulo 9

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1 Matemática 4 Módulo 9 ANÁLISE COMBINATÓRIA I COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA (n + )! (n + )(n )!. I. Dada a função ƒ (n). Simplificando, temos: n! + (n )! (n + ).n.(n )! (n + ).(n )! (n )![(n + ).n (n + ] n.(n )! + (n )! (n ).[n+ ] (n + ).n (n + ) (n + ).[n ] n (n + ) (n + ) II. Se ƒ(n) n, então ƒ(996) Para cada questão temos duas possibilidades de resposta (sim ou não).. Solução a) Logo, o número de divisores é dado por: 4.. 4, em que: 4 ( + ), sendo epoente do. ( + ), sendo epoente do. ( + ), sendo epoente do. b) Os divisores ímpares são obtidos através dos epoentes dos números e (que são ímpares). Daí,. 6 ( + ) (+ ) Epoente do. Epoente do. c) Os divisores positivos que são quadrados perfeitos: 4 9 Totalizando 4 divisores. 6. a) O total de maneiras é. b) 4. a) centena dezena unidade centena dezena unidade 0 ou A 0 6, centena dezena unidade Solução Fatorando 60: Qualquer divisor de 60 é de forma. y. z, em que, y e z são os epoentes dos fatores que podem variar de zero até o valor do epoente obtido na fatoração. a) Para formar todos os divisores positivos serão feitas escolhas: menos o zero! b) 4 00 menos o zero! c) Podem terminar em: 4 0 (0) 4 4 () 6 + Eistem 4 4 divisores positivos. b) Para formar os divisores positivos ímpares não pode haver fator, por isso seu epoente tem de ser nulo: 4 4 (4) 6 Eistem 6 divisores positivos. PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 4

2 c) Para formar um quadrado perfeito, os epoentes têm de ser pares: III. A quantidade de possibilidades para um código é: Eistem 4 divisores positivos quadrados perfeitos. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. Temos 0 candidatos para ocupar quatro vagas. Assim para o primeiro cargo temos 0 candidatos, para o segundo, 9 candidatos, e assim por diante. Então: o o o o cargo cargo cargo 4 cargo. IV. Como não podemos ter todo branco, ou todo preto, então só podemos ter Encontrando os números que começam por 6, lembrando que começando por 6, o o algarismo não poderá ser, pois tem de ser menor que Dezena de milhar Unidade de milhar Centena Dezena N o de possibilidades Igual a 6,, 4 Unidade 8 Cor da a listra Cor da a listra Cor da a listra... Cor da 7 a listra Encontrando os números que começam por ou 4:. a) 4. N o de possibilidades... O total de possibilidades é. 6 9 Resposta correta: letras algarismos b) I que são TODAS as placas distintas possíveis II igual igual que são todas as placas que têm as duas primeiras letras iguais. Logo, a porcentagem 6. 0 P P ou P,8% ºlugar ºlugar ºlugar. I. Observe que cada barra pode ser branca ou preta, ou seja, temos duas possibilidades. II. Também vemos que não podemos ter um código todo branco ou todo preto. Dezena de milhar Unidade de milhar N o de possibilidades 4 48 ou 4 O total de números é Temos que: n! + + n! n! + n n vezes n Centena + 49n Dezena n! + n! + n! n! n n (+ n)n n. n! + n.n! + n + n n n + 49n + 49n n. n! 48n n! 4 n! 4! n 4 Unidade + 49n 8. Veja que: ! 0 0 vezes 0! PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 4

3 9. Ida temos Volta temos 9 Logo, ida e volta 7 maneiras distintas. 0. Desenvolvendo a equação: m! + (m )! 6 (m + )! m! m(m )! + (m )! 6 (m+ ) m(m )! m(m )! (m )! (m + ) 6 (m )! [(m + )m m] m+ 6 m 6m m 0 m e m 6 (Não convém). Observe a disposição das possibilidades: Homem Mulher o Banco o Banco o Banco Usam-se ideias básicas de contagem: eaustão das possibilidades e as simetrias do problema. Do ponto A o besouro pode alcançar os pontos B, C, D e E, na primeira etapa. Vejamos quantos caminhos, saindo de A e passando por B, chegam até F (figura a seguir). Há 7 caminhos diferentes, satisfazendo as condições do problema, isto é, caminhos que não passam por qualquer vértice mais de uma vez. Analogamente, há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por C, até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por D, até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por E, até F. Logo, há 8 caminhos diferentes de A para F, nas condições do problema.. São feitas 0 escolhas, os resultados de cada prêmio: Resultado o jogo Resultado o jogo... Resultado 0 o jogo N o de possibilidades ( ) 0 ( 0 ) (.000) de resultados. 4. Serão feitas escolhas: o e o prêmios. Ganhador o prêmio Ganhador o prêmio N o de possibilidades. O número de elementos do conjunto A B é 4. A B {(,0), (,), (,), (,), (,), (,)... (,)}. Uma relação é formada por subconjunto de A B. Para cada elemento de A B eiste duas possibilidades: pertencer ou não pertencer à relação. (,0) (,) (,)... (,) possibilidades Uma função de A em B é a relação de A em B em que todos os elementos de A devem ter uma única imagem em B, podendo diferentes elementos de A ter a mesma imagem. Por eemplo: A B 0 ou Cada elemento de A deve ser ligado a um de B podendo haver repetição, então para cada elemento de A, eistirão 4 possibilidades: A {,, } 0 N o de possibilidades Resposta correta: 8 A função injetora é a função em que cada elemento de B é gerado por apenas um elemento de A. Conjunto A {,, } N o de 4 4 possibilidades possibilidades PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 4

4 ANÁLISE COMBINATÓRIA II Módulo 0 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. Considerando Rogério e Reginaldo como uma pessoa só: Marcelo, Rogério e Reginaldo, Danielle, Márcio P 4 4! 4 48 Rogério e Reginaldo ou Reginaldo e Rogério. a) Fiando A nos etremos e trocando a posição das letras: F, R, T, L, Z A FORTELZA P 7 7! b) Considerando F, R, T, L e Z como apenas uma letra e trocando as consoantes de posição entre elas: A F R T L Z E O A P P!! c) Considerando F, R, T, L e Z como apenas uma letra: A F R T L Z E O A P! 6 d) A L F R T E Z O A P 7 7! 840 Considerando a troca de posição das consoantes: P! 0 Ordem Alfabética e) !! 7 P 7!! Resposta correta: a) 840 b) 70 c) 6 d) 7 e) I. Esse número é precedido pelos números da forma: (,,,, ) P 4 4! 4 (,,,, ) P 4 4! 4 (4,,,, ) P 4 4! 4 (6,,,, ) (6,,,, ) P! 6 P! 6 + (6, 4,,, ) P! 6 (6, 8,,, ) P! (6, 8,,, ) P! 94 números II. Concluímos que 684 é precedido por um total de 94 números, assim a posição de 684 é a 9º. 4. I. Temos bolas, vermelhas e amarelas. Assim, há uma permutação com repetição. II., P!. 4!.!.!! 0. I. Permutando todas as possibilidades, temos: P 7 7! II. Como os números ímpares devem ficar em ordem crescente (,,, 7), quando permutamos os sete números, estamos permutando os números ímpares, porém só serve a ordem crescente. Assim devemos dividir 7! pela permutação dos ímpares P 4 4! III... 4! 4! 4! 0 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. Observe a disposição: Chevrolet Ford o o o 4 o o 6 o 7 o 8 o 9 o Volkswagen 0 o o o o 4 o o Trocando os carros de lugar, teremos P 4, P e P 6. Considerando a troca de posição das marcas, teremos P : P P 4 P P 6 4!! 6 6 4!! 6!. Para ser múltiplo de é necessário que a soma dos algarismos seja múltiplo de, isso só será possível se forem u- sados os algarismos, 4, 8 e 9 (soma 4) ou 4, 6, 8 e 9 (soma 7) ou, 4, 6, 8 (soma ); para obtermos os números devemos trocar os algarismos de posição (permutando):, 4, 8 e 9 P 4 4! 4 4 4, 6, 8 e 9 P 4 4, 4, 6 e 9 P 4 4 Total 7 4 PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 4

5 . Queremos que V, E e S fiquem juntos, então, devemos considerá-los como sendo uma letra só, permutando a posição de 8 letras, VES TIBULAR, P 8. P Cada questão possui 4 opções, então: N o de possibilidades Opção a questão Opção a questão... Opção 0 a questão I. Todos os números entre 00 e 9009 possuem 4 algarismos. II. Se o produto dos 4 algarismos desses números é, então estes algarismos só podem ser,, e, em alguma ordem. III. Para que estes números sejam maiores do que 00, eles devem começar com ou como algarismo das unidades de milhar, assim: o caso: o caso: Há 6 possibilidades. P,! possibilidades!! P,! possibilidades!! 6. Temos uma permutação de 8 elementos com elementos repetidos ( azuis, vermelhas, branca). Assim:,, 8 P 8! !.!.!.!!. 68 Resposta correta: 68 (Retificação de gabarito) 7. I. Indo de "A" para "C":,!. 4.! P 0!.!!. II. Indo de "A" para "B",!.! P!.! III. Indo de A para B, passando por C, temos: Atenção: O número de soluções inteiras não negativas da equação n r, é: (n + r )! r!. (n )! Dada a equação + y + z + w 7, temos: r 7, n 4. Temos: 4 (4 + 7 )! ! !.(4 )! 7!.. 9. I. p: + y + z ; (; ; ) 6, 8! P8 8! 6! II. q: + y + z 6 (a + ) + (b + ) + (c + ) ;(;;),! P 0!! 0. a) Indo da casa do Joventino para a casa de Genuíno., P!. 4!!.!! 0 b) I. Indo da casa do Joventino para a casa de Genivalda temos 0 modos. II. Indo da casa da Genivalda para a casa de Carlinaldo, temos:, 4 P 4! III. Indo de Joventino para Carlinaldo, passando por Genivalda, temos: ANÁLISE COMBINATÓRIA III Módulo COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. I. Se prêmios iguais (não importa a ordem): C n, k + 0 C n, II. Se prêmios distintos (importa a ordem): A n, 4K 0 A n, III. Dividindo () por (), temos: n! k+ 0 (n )! k+ 0 4k 0 n! 4k 0 (n )! 4k 0 k + 40 k 0 k p + q PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 4

6 n! 4k 0 A 4() 0 (n )! IV. n, n(n ) (n )! 90 n(n ) 90 n 0 (n )!. I. Total de candidatos 0. II. Homens 8 e mulheres, pois III. Fumantes (H + M) ; não fumantes (H + M) 7. IV. Mulheres não fumantes 7; mulheres fumantes. V. Homens fumantes 8, pois + 8. VI. Homens não fumantes 0, pois VII. Seleção dos homens não fumantes: 0! ! C0, 4 8!! 8!. VIII. Seleção das mulheres não fumantes: C7,!! IX !!.. I. Formar triângulos C7,! 4! II. Formar quadriláteros C7, 4 4!! III. Formar pentágonos C 7,!!.. 4! 4!.... 4! 4!.!.!! IV. Formar heágonos! C7, 6 7 6!! 6!. V. Formar pentágonos C 7, 7 VI. Total de polígonos conveos: I. a, 4! ; C!, ( 4)! ( )!. ()! II.. A, 4 4!; C,!. 4..! ( 4)!.! ( )!! ( 4)! ( )!! ( 4)( )! ( )! ( 4) 0 Resposta correta: 4 II. Logo, a diferença (C 0, 6 C 8, 4 40) fornece o número de modos possíveis de efetuar as misturas. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. Numa comissão, a ordem das pessoas não tem importância, desta maneira, trata-se de uma questão de combinação; as possibilidades são: homem e mulheres C 8, C, homens e mulher C 8, C, C 8, C, + C 8, C, 8!! 8!! + ( 8 )!! ( )!! ( 8 )!! ( )!! 8 7! 0! 8 7 6!! + 7! 0! 6!!! Na primeira fase, em cada grupo eistem equipes e cada jogo é formado com duas equipes, não tendo importância a ordem (combinação). Em um grupo são realizados C, 0 jogos. Eistem 4 grupos, ou seja, são realizados jogos. Na segunda fase, eistem 4 equipes realizando C 4, 6 jogos. Total de jogos é jogos. Resposta correta: 46 jogos. Dos 0 livros, escolhemos para a primeira gaveta (C 0, ); dos livros restantes, escolhemos para a segunda (C, ) gaveta; os dois restantes vão para a a gaveta. C 0,. C, Das três casas eiste uma ocupada por pombos. Devemos escolher os dois pombos que irão para essa casa, C 4,. Trocando a posição dos conteúdos das casas: P. C 4, Resposta correta: 6 pombos pombo pombo AB C D. A ordem dos times não tem importância (combinação) na formação das chaves, só serão escolhidos times para cada chave, dispondo, então, de apenas 9 6 times.. I. Misturar as substâncias {A, B, C, D, E, F} é o mesmo que misturar {B, F, A, D, C, E}. Assim, o número total de misturas eistentes é C 0,6. Por outro lado, o número de combinações em que as duas substâncias eplosivas aparecem é C 8, 4. 6 PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 4

7 6. Se dois membros pertencem ao grupo, devemos escolher apenas pessoas das que sobraram, lembrando que num grupo a ordem das pessoas não tem importância, se tratando, então, de uma combinação.! 0! C, 86 ( )!! 0! 7. A ordem em que receberam os ingressos não tem importância, então, tratamos de uma combinação, em que dos 0 alunos devemos escolher. 0! ! C 0, 4060 (0 )!! 7! 8. I. Como < 0, então { 9, 8, 7, 6,, 4,,,...,, 6, 7, 8, 9}. No conjunto dos possíveis valores de "", temos 9 números pares e 0 números ímpares. II. Uma soma de três números, para dar um resultado par, é necessário números pares ou dois ímpares e um par. III. Se forem pares, temos: C 9, 9! !! 6! 6! IV. Se forem dois ímpares e um par: C 0,. C 9, V. Logo o total é c7, 4!. 4!.. 4! 4!. 0. I. Escolhe no total de 9: C 9, 9! !.!.7. 6.!!.4.. II. Escolhe 4 no total de 4: C 4, 4 III. Total: C 9,. C 4, PROBABILIDADE 6 Módulo COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA. I. Total de bolas brancas Total de bolas pretas + Total de bolas azuis Total de bolas 8 + II. P(azul),comP(azul), temos: P (A B) P(A) + P(B) P(A B) P (A B) P (A B) 0 P (A B). I. O número de elementos do espaço amostral é o número de formas de dispor nove livros em fila, que corresponde a P 9 9! II. Considerando que os livros juntos correspondam a um único, então temos 7! permutações. Como os elementos do trio podem permutar entre si, ao todo teremos! 7! permutações. III. Assim, a probabilidade pedida é:! 7!!. 7! 9! ! I. Para retirar bolas da 0 eistentes, temos: a retirada: 0 a retirada: a retirada: 8 II. Para retirar bolas defeituosas, temos: 6. III. A probabilidade de se retirar pelo menos uma bola não defeituosa, é: 6 9 P I. Para o nascimento de 6 filhos, temos: II. Como dois são do seo masculino, então quatro são do seo feminino. Para serem homens e 4 mulheres temos:. 6 P 4, 6.. 4! 4!. III. A probabilidade é 64 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS! 4! 0!!!! PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 4 7

8 . Das cartas eistem apenas rei, então, a probabilidade é.. Para ocorrer o desejado, é necessário que a primeira carta não seja rei P, tendo sido retirado uma carta, restarão. A segunda carta deve ser um rei P. ª carta rei ª carta rei P 4. Os múltiplos de ou são,, 4, 6, 8, 9, 0,, 4,, 6, 8, 0,,, 4, 6, 7, 8 e 0, ou seja, eistem 0 possibilidades, então, o total de possibilidades é O número de possibilidades total é O número de possibilidades desejadas é 4 (branca preta) e 4 (preta branca), resultando 4 possibilidades. 4 4 Desta maneira: P Ao se retirar o primeiro sapato, devemos garantir que o segundo tenha a mesma cor. Dos que sobraram apenas tem a mesma cor, então, a probabilidade é. 9. Sendo a probabilidade de C vencer igual a P(C), então P(B). P(C) e P(A) P(B). 6. A soma de todas as probabilidades é. P(A) + P(B) + P(C) , 0% Resposta correta:. Deve ser retirada uma bola de cada cor, sendo a probabilidade de cada uma, então, a probabilidade desejada é: P P (verde). P (azul). P (branca) P.. P 7 Considerando a troca de posição P! 6, a probabilidade é Como P(A) 6, então P(A) 60%. 0. A probabilidade de cada um errar é, e. Desta maneira, a probabilidade de 6 6 todos errarem é ,0 %. Resposta correta: 9 6. Eistem frutas, para ocuparem lugares, podendo repetir, o total de possibilidades então será: X X O que desejamos é que eistam duas frutas iguais e uma diferente. Então devemos escolher duas frutas para o- cuparem as três posições, C,. Escolhidas as frutas temos de levar em consideração que podem trocar de lugar. Maçã maçã uva!! Uva maçã maçã P!! Maçã uva - maçã Devemos ainda considerar que pode ser uvas e maçã, eistindo 6 possibilidades. 6. C, 60. P -409 Rev.: Jylita 8 PRÉ-VESTIBULAR VOLUME MATEMÁTICA 4