MATEMÁTICA Permutações. Professor Marcelo Gonsalez Badin

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1 MATEMÁTICA Permutações Professor Marcelo Gonsalez Badin

2 Permutar é embaralhar (manter os elementos e apenas mudar a ordem) Anagrama é uma palavra ou pseudo-palavra obtida permutando as letras de uma palavra original. Vamos, por exemplo, escrever todos os anagramas da palavra PAI 1) PAI 3) API 5) IPA 2) PIA 4) AIP 6) IAP = 3! = 6 1. Quantos anagramas podem ser formados utilizando as letras da palavra: a) AMOR AMOR ROMA MORA MROA = 4! = 24 P n = n! O número de permutações de n elementos distintos (indicado por P n ) é n!

3 b) AMIGO c) AMIGA É fácil perceber que AMIGA tem menos anagramas que AMIGO = 120 Idéia boa, operação errada... Desconta as permutações entre os 2A = 60

4 d) GARAPA e) BANANA a/b a = c b.c 6! 3! Desconta as permutações entre os 3A = 120 6! = 60 3! 3A 2N P 6 (3,2) O número de permutações de n elementos, com α, β e γ repetições e indicado por P (α,β,γ) n é n! α!β!γ! P n = n! P (α,β,γ) n = n! α!β!γ!

5 2. Considere a palavra COMBATE a) Quantos anagramas podemos formar? b) Quantos anagramas começam por vogal? 7! = ! = = 2160 c) Quantos anagramas começam e terminam por vogal? 3 2 = = 720 E se fosse... Quantos anagramas começam ou terminam por vogal? C V T V C V + T V (CeT) V (CeT) V

6 d) Em quantos anagramas as letras C, O e M estão juntas e nessa ordem? COMBATE C O M * = 120 e) Em quantos anagramas as letras C, O e M estão juntas? COMBATE 3! Bloco = = = 4! =24 C O M C O M C COM CMO O M C O M Soma tudo! Soma de 6 parcelas iguais a Número de permutações no bloco COM MCO MOC OCM OMC 6

7 f) Em quantos anagramas as vogais estão juntas e as consoantes também? Vamos formar um bloco com as vogais e outro com as consoantes. Permutamos os blocos entre si e multiplicamos o resultado pelo número de permutações internas de cada bloco. AEO CBMT VC C 3! 4! = 288 g) Em quantos anagramas as vogais e consoantes estão alternadas? Como a palavra possui 4 consoantes e 3 vogais, a única possibilidade de formar anagramas que alternam vogais e consoantes é começar por consoante V C V C V C Outro modo: C V C V C V C = 144 4!. 3! = 144

8 3.(Fuvest) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 "palavras" (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas "palavras" forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250 a "palavra" começa com: a) EV b) FU c) FV d) SE e) SF E F S T U V Vamos colocar os anagramas de FUVEST em ordem alfabética, fixando a primeira letra e permutando as demais: E As primeiras 120 começam por E (1ª a 120ª) F As próximas 120 começam por F (121ª a 240ª) Fica claro que a 250ª palavra começa por S. Como há duas alternativas começando por S, vamos fixar a 2ª letra e permutar as 4 restantes S E As próximas 24 começam por SE (241ª a 264ª) 4! 250ª

9 4. (Unicamp) As avenidas de uma cidade estão dispostas na direção norte-sul e as ruas na direção leste-oeste. Um trabalhador que reside numa das esquinas dessa cidade trabalha numa firma localizada noutra esquina, duas quadras ao sul e três quadras a leste. Quantos caminhos (possíveis) o trabalhador pode seguir para ir de sua casa à fábrica, percorrendo sempre a menor distância? Explique seu raciocínio. O N L.R Também dá certo:.r S Alguns caminhos: S S L L L L S L S L L S L L S.F Note que um caminho difere do outro quando trocamos as posições dos elementos de uma sequência de 3L e 2S Assim, o número de caminhos é igual ao número de permutações dos elementos da sequência SSLLL Portanto, temos = 10 caminhos 3!.F

10 5. (UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de segunda a sexta-feira, estas cinco atividades: leva seu neto para a escola, às 13 horas; L pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; P passeia com o cachorro da família; C pega seu neto na escola, às 17 horas; B L B P C R 4! rega as plantas do jardim de sua casa. R Cansado, porém, de fazer essas atividades na mesma ordem, ele resolveu realizá-las em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades, em ordem diferente, é: a) 24 b) 60 c) 72 d) 120 L L 4! = 24 3! L Outro modo B = 6 Total = ! = 3.3! = 18 L 3 2 = 3.2. = 12 = 60 Desconta as permutações entre L e B

11 Em quantos anagramas da palavra AMIGO a letra A aparece antes da letra O? A O M I G 4! Total = 60 Outro modo A A 4! = 24 = ! = 3.3! = 18 A Desconta as permutações entre A e O 3 2 = 3.2. = 12 A O 3! = 6

12 (ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam as vogais em ordem alfabética? a) 2520 b) 5040 c) 1625 d) 840 e) 680 1) A, E, O 3) E, A, O 5) O, A, E 7! 3! = 840 2) A, O, E 4) E, O, A 6) O, E, A Desconta as permutações entre A, E e O

13 (ITA)O número de soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z + w = 5 é: a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56 Outro modo: x + y + z + w = 5 Solução Representação 4! (5, 0, 0, 0) = 4 3! (2, 1, 1, 1) (4, 1, 0, 0) 4! = 12 (2, 2, 0,1) (5, 0, 0, 0) (3, 2, 0, 0) (3, 1, 1, 0) 4! = 12 4! = 12 O número de soluções é igual ao número de permutações dos elementos da sequência 4! (2, 2, 1, 0) = 12 4! (2, 1, 1, 1) = 4 3! Total = 56 8! Portanto, temos 3! = 56 soluções