S = ABC + A( C + B) -> Aplicando identidades auxiliares B C + B= C+B

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1 Resolução do Exercício feito em sala de aula: A B S Expressão por Soma dos produtos: S = AB + AB + AB + AB Simplificação: S = AB + A( B + B + B) -> olocando A em evidência S = AB + A( B + B( + )) -> olocando B em evidência S = AB + A( B + 1) -> Aplicando postulado da adição em + =1 S = AB + A( B + B) -> Aplicando postulado da multiplicação 1=B S = AB + A( + B) -> Aplicando identidades auxiliares B + B= +B S = AB + A + AB-> istributiva para desmembrar A + A S = ( AB + A) + AB-> olocando em evidência S = ( B + A) + AB-> Identidades auxiliares em A B + A = B+A S = B + A + AB-> istributiva para chegar na forma final (soma dos produtos) Repare que alcançamos a simplificação máxima na penúltima expressão, antes de aplicarmos a distributiva. Sempre preste atenção nesse detalhe, isto é, se você conseguiu obter um circuito com menos portas lógicas antes de aplicar distributiva no final, o que é muito comum. Expressão por Produto das Somas: S = ( A + B + ).( A + B + ).( A + B + ).( A + B + ) -> Essa é a expressão por Produto das Somas S = ( A + ( B + ).( B + ).( B + )).( A + B + ) -> olocando A em evidência S = ( A + ( B + ( ).( B + )).( A + B + ) -> olocando B em evidência S = ( A + ( B( B + )).( A + B + ) -> Postulado da multiplicação em =0. Logo, B+0=B S = ( A + ( BB + B)).( A + B + ) -> Aplicando distributiva em B ( B + ) = B B + B S = ( A + (0 + B)).( A + B + ) -> B B=0 segundo o postulado da multiplicação S = ( A + ( B)).( A + B + ) -> 0+B = B S = ( A + B).( A + ).( A + B + ) -> Aplicando distributiva em A + (B) = ( A + B).( A + ) S = [ B + ( ( A + ))].( A + ) -> olocando agora B em evidência S = [ B + ( AA + A)].( A + ) -> Aplicando distributiva em A.( A + ) = A A + A S = [ B + (0 + A)].( A + ) -> Segundo o postulado da multiplicação de Boole, A A=0 S = [ B + ( A)].( A + ) ->0+A = A segundo o postulado da soma do grande George Boole, o magnífico! S = ( B + A).( B + ).( A + ) -> Aplicando distributiva em B + (A) = (B+A).(B+) Maravilha! Agora, vamos aplicar distributiva pra ver se conseguimos chegar no mesmo resultado da simplificação por soma dos produtos. Aplicando distributiva (multiplicando todos os termos uns pelos outros): S = BBA+BB+BA+B+ABA+AB+AA+A -> Aplicamos distributiva e a expressão ficou assim S = BA+B+BA+B+AB+AB+A+A -> Aplicando postulados da multiplicação, eliminamos várias variáveis repetidas S = BA+B+BA+A -> Aplicando postulados da soma, também eliminamos várias repetições S = AB+B+AB+A -> Organizando as letras em ordem alfabética, pra melhor visualização S = A(B+B+)+B -> olocando A em evidência S = A(B+) + B -> Aplicando identidades auxiliares, B+B = B

2 S = AB + A + B -> Finalmente, aplicando distributiva em A(B+) = AB+A+B, chegamos ao mesmo resultado obtido por soma dos produtos, o que significa que nossa simplificação está certa em ambos os métodos! Agora, atente para o seguinte detalhe: quando falamos em simplificação, queremos transformar uma expressão grande na menor expressão possível. Nem sempre você obterá resultados idênticos. Por exemplo, no caso do exercício anterior, obtivemos uma expressão final que esteve na forma de soma dos produtos (AB+A+B). Está evidente que podemos simplificá-la um pouco mais colocando uma das letras em evidências. Qualquer letra que eu escolher colocar em evidência vai simplificar o circuito ao máximo. Mas se eu escolher colocar A em evidência, vou ter uma expressão simplificada diferente daquela que obterei se escolher colocar B ou em evidência. Portanto, resultados iguais só ocorrem se forçarmos a expressão ao máximo, sem deixar nenhum termo em evidência no final. Isso foi feito na simplificação por produto das somas do exercício. Repare que antes da palavra Maravilha, nós chegamos à simplificação máxima por produto das somas, que teve essa forma: S = ( B + A).( B + ).( A + ). Quantas portas lógicas foram usadas nesse caso? 3 OR e 2 AN, totalizando 5 portas lógicas. epois de aplicarmos distributiva e chegarmos no resultado AB+A+B, quantas portas usamos? Igualmente, 5 portas lógicas, só que agora com 3 AN e 2 OR. Então, repare que as duas respostas estão corretas, embora uma esteja na forma de soma dos produtos e a outra por produto das somas. Portanto, em uma eventual prova, se você parasse a simplificação por produto das somas em S = ( B + A).( B + ).( A + ), a resposta estaria correta e seria melhor ainda se colocasse uma das letras em evidência, pois reduziria para 4 portas lógicas. Veja melhor a seguir: Respostas possíveis para a expressão simplificada por soma dos produtos S = AB+A+B: olocando A em evidência: A(B+)+B -> Total de 4 portas lógicas (2 OR e 2 AN) olocando B em evidência: B(A+)+A -> Total de 4 portas lógicas (2 OR e 2 AN) olocando em evidência: (A+B)+AB -> Total de 4 portas lógicas (2 OR e 2 AN) Repare então que nos três casos obtivemos a máxima expressão simplificada, com 4 portas lógicas, e repare também que as 4 expressões são diferentes uma das outras, dependendo de qual variável você coloca em evidência! Você só vai saber que as três são iguais se aplicar distributiva nelas e ver que obterá resultados iguais. Respostas possíveis para a expressão simplificada por produto das somas: S = ( B + A).( B + ).( A + ) olocando A em evidência: (A+()).(B+) -> Total de 4 portas lógicas (2 OR e 2 AN) olocando B em evidência: (B+()).(A+) -> Total de 4 portas lógicas (2 OR e 2 AN): olocando em evidência (+(A)).(B+A) -> Total de 4 portas lógicas (2 OR e 2 AN) Portanto, o máximo que conseguimos simplificar do circuito anterior é transformar tudo em 4 portas lógicas (2 OR e 2 AN). E, como vimos, existem 6 respostas corretas possíveis que são igualmente simplificadas e produzem o mesmo resultado. 42) A figura abaixo representa um circuito lógico digital. Retire a expressão lógica e, utilizando os métodos de e Morgan e Algebra de Boole, simplifique-a ao máximo. Qual é a resposta? a) S = (A+B). b) S = ( A + ). B c) S = d) S = ( A + B).

3 43) emonstre porque a expressão S = A[ A + ( A + B)] nunca pode ter como resultado nível lógico alto (1). 44) Aplique a propriedade istributiva nas expressões abaixo. a) S = (+) b) S = B + B c) S = ( A + B).( A + B).( A + ) d) S = 45) Utilize o teorema de e Morgan para transformar todas as expressões lógicas abaixo em portas Nand e Nor de 2 entradas, sem simplificar nenhuma das expressões, apenas transforme-as. a) b) c) Y = A + B + + d) e) + AB + AB + AB f) Y = A + Resolução exercício 42): Método mais rápido: Simplificando a própria expressão do circuito: A expressão lógica do circuito em si é: S = + Aplicando e Morgan para retirar a barra que está pegando duas variáveis, teremos: Aplicando distributiva, teremos: S = + + olocando em evidência: S = ( A + B + AB) Aplicando identidades auxiliares dentro do parênteses: S = ( A + B + A) Aplicando o teorema da adição em termos repetidos: S = ( A + B) Portanto, a resposta correta é a letra ) S = ( A + B). + Método mais demorado: Não vamos realizar abaixo o método mais demorado. Ele consiste em tirar a tabela-verdade do circuito e, à partir da tabela-verdade, obter a expressão lógica e simplificá-la. O resultado terá de dar o mesmo. Para praticar, faça também por este método e compare o resultado. Resolução exercício 43) S = A[ A + ( A + B)] omeçaremos aplicando distributiva no termo entre parênteses: S = A[ A + A + BB] Aplicando postulado da multiplicação: S = A[ A + A + 0] Aplicando postulado da adição: S = A[ A + A] Aplicando identidades auxiliares: S = A Segundo o postulado da multiplicação, A =0. Logo, a saída sempre será 0, independente do que colocarmos nas entradas A e

4 Resolução exercício 44) a) + b) S = ( B + ).( B + B) S = ( B + ).1 S = B + Repare que nessa letra b) bastaríamos utilizar identidades auxiliares para chegar na resposta. Aplicando distributiva, dá pra chegar no mesmo resultado. c) S = ( A + B).( A + B).( A + ) S = A + + A + + A + + A + S = A A A + 0. S = A S = A S = A S = A( + B + B + B + B) -> Identidades auxiliares na primeira parte da expressão (depois de +) S = A( + B + B) -> Identidades auxiliares na segunda parte da expressão (B+B) S = A( +1) -> Postulado da adição S = 1 = A d) (+A).(+B).(+) Resolução exercício 45) a) -> Essa é a expressão original, com uma AN de 3 Entradas. Lembre-se que nós queremos transformar este circuito em um equivalente feito com NANs de 2 entradas apenas. Assim, vamos colocar as duas barras, mas essas duas barras só irão pegar as duas primeiras variáveis, pois se pegarem toda a expressão, teremos uma Nand de 3 entradas. Veja: -> Barrando tudo, transformamos o circuito em portas NAN, mas a primeira porta NAN terá de ter 3 entradas, o que não é o que queremos. Assim, precisaremos barrar apenas duas variáveis de cada vez: -> Aqui colocamos duas barras sobre B e o ficou de fora. Agora nós temos uma NAN de 2 entradas sobre A e Feito isso, basta acrescentar outra NAN de 2 entradas, barrando toda a expressão: -> Pronto! Agora temos o circuito que queremos usando apenas NAN de 2 entradas. ompare a diferença: No primeiro caso, usamos NAN de 3 entradas e no segundo usamos NAN de 2 entradas, como se estivéssemos ligando duas AN em cascata para formar uma de 3 entradas.

5 Transformando em NOR: Expressão original: -> olocamos duas barras em B, pois queremos transformar tudo em NOR de 2 entradas, logo, devemos aplicar o e Morgan de 2 em 2 variáveis. Y = A + -> Quebramos o efeito da barra inferior e agora temos uma NOR de 2 entradas entre A e Falta agora o Y = A + -> Inserimos duas barras sobre a expressão e vamos transformar a AN que está com em OR: Y = A + B + -> Pronto! Agora temos a expressão lógica apenas com portas NOR de 2 entradas! b) Transformando em NAN de 2 entradas. Expressão original: -> Barramos duas vezes as duas variáveis da direita Agora elas já estão como NAN de 2 entradas em ao precisamos mais nos preocupar com elas. -> Barramos duas vezes toda a expressão até, para fazermos mais uma NAN de 2 entradas entre B e, como se estivéssemos ligando em cascata! -> Fazemos a mesma coisa com e pronto! Agora temos a expressão convertida em portas NAN de 2 entradas. Transformando em NOR de 2 entradas. Expressão original: -> Sempre de 2 em 2, pois desejamos portas de apenas 2 entradas, barramos B duas vezes Y = A + -> Quebramos o efeito da barra inferior e transformamos a NAN em NOR de 2 entradas. A e B já estão feitos. Agora vamos cuidar de Y = A + -> olocamos duas barras entre a expressão que tínhamos trabalhado e, com o objetivo de, à seguir, quebrar o efeito da AN que estava com e transformá-la em NOR. Y = A + B + -> Maravilha! Agora também está ligado a uma NOR de 2 entradas! Agora falta apenas. Y = A + B + -> Barramos duas vezes para fazer a quebra de efeito na AN que estava em e transformá-la em NOR Y = A + B + + -> Feita a quebra de efeito, vemos claramente que a expressão está composta apenas de portas NOR de 2 entradas. Perfeito! c) Transformando em Nand de 2 entradas. Expressão original: Y = A + B + + Y = A + B + + -> Inicialmente barramos duas variáveis, pois queremos transformar tudo em Nand de 2 entradas. B + + -> Realizando a quebra de efeito para transformar NOR em NAN. Pronto, matamos A e B + + -> Agora, vamos incluir a variável Vamos barrar duas vezes tudo junto com ela. + -> Realizando a quebra de efeito para transformar a NOR em NAN.

6 + -> Agora tratamos de. Barramos tudo para transformar a última OU em NAN -> Finalmente terminamos! Se quisermos, podemos tirar as duas barras sobre, para economizarmos duas NAN. Transformando em NOR de 2 entradas: Y = A + B + + Y = A + B + + -> Inserindo duas barras em A e B para criarmos uma NOR de 2 entradas Y = A + B + + -> Agora inserimos duas barras também em, para criarmos outra NOR de 2 entradas Y = A + B + + -> Por fim, inserimos mais duas barras em para criarmos a terceira NOR em cascata de 2 entradas. Está pronto! d) Transformando em NAN de 2 entradas. Expressão original: Para resolver, basta ter em mente os exemplos anteriores. Vamos aplicá-los todos aqui. Repare que a expressão original tem duas partes separadas por uma OR. Basta tratar cada parte separadamente e depois que elas estiverem convertidas para NAN, então trataremos da OU que as interliga. -> omeçamos fazendo o mesmo de sempre: barrando duas variáveis para transformar a AN em NAN de 2 entradas. -> Agora estendemos para, transformando ele também em NAN de 2 entradas -> Agora as duas partes da expressão estão convertidas para NAN de 2 entradas. Basta agora convertermos a OR -> Inserimos duas barras sobre toda a expressão, já nos preparando para transformar a OU em Nand. -> Finalmente, agora temos a expressão toda feita com portas NAN de 2 entradas Transformando em NOR de 2 entradas. Expressão original: Novamente, começaremos tratando os dois lados da expressão simultaneamente, transformando cada AN em NOR. -> olocamos as duas barras... Y = A + + A + -> Então as quebramos para chegarmos à NOR de 2 entradas Vamos incluir agora Y = A + + A + -> Acrescentamos duas barras para abranger Y = A + B + + A + B + -> Agora também está ligado a uma NOR de duas entradas. Falta apenas Y = A + B + + A + B + -> Acrescentamos duas barras para abranger também

7 Y = A + B A + B + + -> E a quebramos para transformar a última AN do circuito em NOR! Agora, só falta a OU que interliga as duas expressões Y = A + B A + B + + -> Inserimos duas barras em tudo e está pronto! O circuito inteiro está agora feito com portas NOR de 2 entradas Podemos ainda retirar as barras duplas sobre, economizando assim duas portas NOR A expressão final fica: Y = A + B A + B + + e) Transformando em NAN de 2 entradas. Expressão original: + AB + AB + AB Irei apenas dar a resposta, uma vez que o método de resolução já foi exaustivamente feito nos exercícios anteriores... AB. AB. AB Transformando em NOR de 2 entradas. Resposta: Y = A + B A + B A + B A + B A + B + + f) Transformando em Nand de 2 entradas. Expressão original: Y = A + Y = A + -> Y = A + -> -> Transformando em NOR de 2 entradas: Y = A + -> Y = A + B + - > Y = A + B +