CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 CÁLCULO I Prof. Eilson Neri Júnior Prof. Anré Almeia Aula n o 08: Regra a Caeia. Derivação Implícita. Derivaa a Função Inversa. Objetivos a Aula Conhecer e aplicar a regra a caeia; Utilizar a notação e Leibniz para escrever a regra a caeia. Apresentar a técnica e erivação implícita; Determinar a erivaa a função inversa; Regra a Caeia Consiere a função F (x) = (x 2 + 3x) 2. Sabemos que F (x) é a composta as funções y = x 2 + 3x e g(y) = y 2 e que F (x) = (g f)(x). Pelo o que foi ministrao em aulas anteriores, sabemos erivar separaamente f(x) e g(y), contuo, aina não sabemos erivar uma função composta. A regra e erivação para uma função composta é a chamaa regra a caeia, enunciaa abaixo: Teorema (Regra a Caeia). Sejam g(y) e y = f(x) uas funções eriváveis, com Im g D f. Então a função composta g(f(x)) é erivável e vale a regra: [g(f(x))] = g (f(x)).f (x) () Em notação e Leibniz, temos: g x = g x Vejamos alguns exemplos e utilização e aplicação a regra a caeia. (2) Exemplo. Calcule a erivaa e F (x) = x 2 +. Vamos resolver esse exemplo e uas formas. Solução(): Determinamos as funções y = f(x) e g(y) tais que F = (g f)(x). E observano a função F, observamos que f(x) = x 2 + e g(y) = y. Logo, utilizano a fórmula (), obtemos que F (x) = g (f(x)).f (x) = 2 f(x).2x = x x 2 + Solução(2): Uma outra forma e resolver esse exemplo é chamano y = x 2 + e assim, obtemos que F (y) = y. Assim, pela fórmula (2), obtemos que F x = F x = 2 y.2x = x 2 + Portanto, poemos utilizar qualquer uma as fórmulas no teorema para calcular a erivaa e uma função composta. Vejamos mais alguns exemplos.

2 Exemplo 2. Derive y = sen x 2 e z = sen 2 x. Escreveno t = x 2 e y = sen t. Logo, por (), obtemos que y = y (t(x)).t (x) = cos(t(x)).2x = 2x cos(x 2 ) Agora, escreveno y = sen x, obtemos que z = y 2. Logo, utilizano (2) obtemos que z x = z = 2y. cos x = 2 sen x cos x = sen 2x x Exemplo 3. Derive y = (x 3 ) 00. Escreveno u = x 3, obtemos que y = u 00. Logo, Exemplo 4. Calcule f (x), seno que f(x) = x = u.u x = 00u99.3x 2 = 300x 2 (x 3 ) 99 3 x 2 + x +. Fazeno f(u) = 3 u e u(x) = x 2 + x +, temos que f (x) = f (u(x)).u (x) = 3 3 u 4 (2x + ) = 2x (x 2 + x + ) 4 Exemplo 5. Encontre a erivaa a função g(t) = ( ) t t + Fazeno y = t 2 2t +, obtemos que g(y) = y9. Logo, pela regra a caeia, obtemos que g t = g t = 9y8 t (3) Calculano t, tem-se t = t [ t 2 2t + ] = (t 2) (2t + ) (t 2)(2t + ) (2t + ) 2 = 2t + 2t + 4 (2t + ) 2 = 5 (2t + ) 2 Logo, (3) torna-se ( ) g t 2 8 t = (t 2)8 = 2t + (2t + ) 2 (2t + ) 0 Exemplo 6. Se h(x) = sen (cos(tg x)), etermine f (x). Solução (): Fazeno y = f(x) = cos(tg x) e g(y) = sen y, segue a regra a caeia que h (x) = g (f(x)).f (x) = cos(f(x)).(cos(tg x)) = cos(cos(tg x)).(cos(tg x)) Consierano agora que y = f(x) = tg x e g(y) = cos y, aplicamos a regra a caeia novamente e obtemos que [cos(tg x)] = sen (f(x)). sec 2 x = sen(tg x). sec 2 x Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 2

3 logo, h (x) = cos(cos(tg x)).sen(tg x). sec 2 x Solução (2): Escreveno y = cos(tg x) então h(y) = sen y. Pela regra a caeia, h x = h x (4) Como y = cos(tg x) é uma função composta, então poemos escrever u = tg x, temos que y = cos u. Logo, pela regra a caeia, obtemos que x = u (5) u x Substituino (5) em (4), obtemos que h x = h u u x = cos(y).( sen u). sec2 x = cos(cos(tg x)).sen (tg x). sec 2 x ( Exemplo 7. Seja f : R R uma função erivável e seja g(x) = f(cos x). Calcule g π ) supono ( ) 3 f = 4. 2 Utilizano a regra a caeia, obtemos que g (x) = f (cos x).(cos x) = f (cos x) senx logo, ( g π ) ( ( π )) ( π ) ( ) 3 = f cos sen = f = 2 3 Exemplo 8. Calcule 2 y sabeno que y = cos 5x. x2 Chamano u = 5x, segue a regra a caeia que Derivano novamente, temos que 2 y x 2 = x Chamano novamente u = 5x, temos que x = u = sen u.5 = 5sen(5x) u x ( ) = ( 5sen 5x) = 5 (sen 5x) x x x (sen 5x) = 5 cos(5x) x logo, 2 y = 25 cos(5x) x2 Exemplo 9. Seja f : R R uma função erivável até 2 a orem e seja g aa por g(x) = f(x 2 ). Calcule g (2), supono que f (4) = 2 e f (4) = 3. Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 3

4 Segue a regra a caeia que g (x) = f (x 2 ).2x = 2x.f (x 2 ) e que g (x) = (g (x)) = (2x.f (x 2 )) = 2f (x 2 )+2x.(f (x 2 )) = 2f (x 2 )+2x.(f (x 2 ).2x) = 2f (x 2 )+4x 2.f (x 2 ) Seno assim, g (2) = 2f (2 2 ) f (2 2 ) = 2.f (4) + 6f (4) = = 52 Exemplo 0. A função iferenciável y = f(x) é tal que, para too x D f, Mostre que xf(x) + sen (f(x)) = 4 (6) f (x) = f(x) x + cos(f(x)) Derivano a equação (6) em relação a x, obtemos que [xf(x) + sen (f(x))] = x x [4] x [xf(x)] + [sen f(x)] x = 0 f(x) + xf (x) + cos f(x).f (x) = 0 f (x) [x + cos f(x)] = f(x) f (x) = f(x) x + cos f(x) Exemplo. Seja y = x 3, em que x = x(t) é uma função erivável até 2 a orem. Verifique que 2 ( ) y x 2 t 2 = 6x + 3x 2 2 x t t 2 Derivano em relação a t e utilizano a regra a caeia, obtemos que t = x x = 3x2 x t t Derivano mais uma vez em relação t, obtemos que 2 y t 2 = [ ] = t t t Utilizano a regra o prouto, temos que 2 y t 2 = [ 3x 2 ] x t t + 3x2 t [ 3x 2 x ] t [ ] x = [ 3x 2 ] x t t t + 3x2 2 x t 2 Pela regra a caeia, obtemos Assim, [ 3x 2 ] = 6x x t t 2 ( ) y x 2 t 2 = 6x + 3x 2 2 x t t 2 Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 4

5 Aula no 08 Cálculo I 2 Derivação Implícita As funções apresentaas até agora poem ser escritas expressano-se uma variável explicitaente em termos e outras. Por exemplo: y = x2 3x + ou y = sen(x) ou, em geral, y = f (x). Algumas funções, entretanto, são efinias implicitamente por uma relação entre x e y, tais como x2 + y 2 = ou x3 + y 3 = 6xy. Observe que o gráfico a equação x2 + y 2 = é uma curva chamaa circunferência e raio com centro na origem. Se você separar y a equação, é possível escrever explicitamente em relação a x, porém temos uas funções, uma positiva e outra negativa: p p y = x2 ou y = x2. Apresentaremos a seguir, algumas curvas efinias implicitamente. (a) Círculo:x2 + y 2 = (c) Curva o Diabo: y 2 (y 2 4) = x2 (x2 5) (b) Carióie: x2 + y 2 = (2x2 + 2y 2 x)2 () Fólio e Descartes: x3 + y 3 = 6xy Definição. Dizemos que uma função y = f (x) é aa implicitamente pela equação Q(x, y) = 0, se para too x no omínio e f, o ponto (x, f (x)) for solução a equação, isto é, Q(x, y) = 0. Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 5

6 Exemplo 2. A função f(x) = sen2 (x) 3x é aa implicitamente pela equação sen2 (x) + y = 3xy, uma vez que para too x ( ) 3, o par x, sen2 (x) é solução esta equação. 3x 2. Derivação Implícita Suponha y = f(x) uma função iferenciável e aa implicitamente pela equação: Q(x, y) = 0. Usano a regra a caeia poemos erivar Q(x, y) = 0, isto é, erivamos os ois laos esta equação em relação a x: [Q(x, y)] = 0, x consierano x como variável inepenente e lembrano que y é função e x. Desta forma, é possível obeter a erivaa as funções implícitas, mesmo não conheceno explicitamente a função f(x). Basta achar a erivaa usano as proprieaes e a regra a caeia para y. Este processo é chamao e erivação implícita. Exemplo 3. Seja y = f(x) uma função aa implicitamente pela equação 3x 2 + 6y + 2x = 6. Calcule x. Derivano a equação aa em relação a x, temos: x ( 3x2 + 6y + 2x) = x (6) 6x + 6 x + 2 = 0 x = x 3. Exemplo 4. Se g(x) + xsen(g(x)) = x 2, encontre g (0). Derivano a equação em relação a x, temos: [g(x) + xsen(g(x))] = x x [x2 ] g (x) + sen(g(x)) + x cos(g(x)).g (x) = 2x g (x) = 2x sen(g(x)) + x cos(g(x)) g (0) = sen(g(0)). Como g(x) satisfaz a equação aa, então fazeno x = 0 nesta equação: Substituino este valor em g (0), obtemos: g(0) + 0.sen(g(0)) = 0 g(0) = 0. g (0) = sen(0) = 0. Exemplo 5. Encontre a a equação a reta tangente a curva x 2 + y 2 = 9, no ponto (2, 5). Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 6

7 Derivano em relação x, temos: x (x2 + y 2 ) = (9) 2x + 2y x x = 0 x x y, y 0. Para escrever a equação a reta, precisamos calcular m: Assim: x x y = 2 = y 5 = (x 2) 5y + 2 5x = 9 5. Exemplo 6. Use erivação implícita para encontrar uma equação a reta tangente à curva sen(x + y) = 2x 2y, no ponto e abscissa (π, π). Consiere y = f(x) uma função aa implicitamente pela equação sen(x + y) = 2x 2y. Como já temos o ponto e tangência, resta eterminar o coeficiente angular a reta, ao por f (π). Derivano implicitamente a equação aa e usano a regra a caeia: Aplicano no ponto (π, π), temos: Portanto, a equação a reta tangente é aa por (sen(x + y)) = (2x 2y) x ( x cos(x + y). + ) = 2 2 x x 2 cos(x + y) = x 2 + cos(x + y) f (π) = 2 cos(2π) 2 + cos(2π) = 3. y π = 3 (x π) y = 3 x + 2π 3. Exemplo 7. Encontre a equação as retas tangente e normal à Curva o Diabo, aa implicitamente por y 2 (y 2 4) = x 2 (x 2 5), no ponto (0, 2). Derivano implicitamente a equação aa, temos: 4y 3 8y x x = 4x3 0x x = 4x3 0x 4y 3 8y x = 0. (0, 2) Portanto, a reta tangente é a reta horizontal y = 2 e a reta normal é a reta vertical x = 0. Exemplo 8. Se x 3 + y 3 =, encontre y por erivação implícita. Derivano implicitamente, temos: Derivano implicitamente novamente, temos (x3 + y 3 ) = () 3x3 + 3y 2.y = 0. (3x3 + 3y 2.y ) = 0 6x + 6y.y + 3y 2.y = 0 y = 2(x + y.y ) y 2. Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 7

8 3 Derivaa a função inversa Suponha f uma função inversível e erivável em um ponto x, com f (x) 0. Já vimos que: e y = f(x) x = [f(x)] x = f (x) x = [f (y)]. Da efinição e função inversa, segue que para too x D f, temos: f (f(x)) = x. Derivano esta última ientiae em relação a x e usano a regra a caeia, obtemos: Substituino f(x) por y na inversa, temos: [f (f(x))].f (x) = [f (y)] = [f(x)]. Ou aina: Com isto, temos a seguinte proposição: x =. x Proposição. Seja f uma função inversível com inversa f. Se f é erivável em um ponto x e f (x) 0, então sua inversa é também erivável em y = f(x). Além isso: (f ) (y) = f (x). Exemplo 9 (Derivaa a função arco-cosseno). Calcule f (x) para f(x) = arccos(x). Da efinição e inversa, temos que: y = arccos(x) x = cos(y), com y [0, π]. Usano a erivaa a inversa, segue que: [arccos(x)] = [cos(y)] = sen(y). Como x = cos(y) e sen 2 y + cos 2 y =, então sen(y) = cos 2 y = x 2. Substituino este valor na equação anterior, temos: [arccos(x)] =, x (, ) x 2 Exemplo 20 (Derivaa a função arco-seno). Calcule f (x) para f(x) = arcsen(x). Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 8

9 Da efinição e inversa, temos que: y = arcsen(x) x = sen(y), [ com y π 2, π ]. Usano a erivaa a inversa, segue que: 2 [arcsen(x)] = [sen(y)] = cos(y) = sen 2 y = x 2. Portanto, [arcsen(x)] =, x (, ) x 2 Exemplo 2 (Derivaa a função arco-tangente). Calcule f (x) para f(x) = arctg(x). Da efinição e inversa, temos que: y = arctg(x) x = tg(y), [ com y π 2, π ]. Usano a erivaa a inversa e a ientiae tg 2 x + = sec 2 x, segue que: 2 Portanto: [arctg(x)] = [tg(y)] = sec 2 (y) = + tg 2 y = + x 2. [arctg(x)] = + x 2. Exemplo 22 (Derivaa e e x ). Mostre que a erivaa a função y = e x é x (ex ) = e x. Como y = e x é a inversa e y = ln x e esta é erivável, então a função y = e x é erivável. Assim, utilizaremos o métoo a função inversa para calcular a erivaa e y = e x. Seja y = e x = ln y = x Derivano implicitamente a equação anterior, em relação a x, temos: Logo: y. x = x = y = ex. Resumo Faça um resumo os principais resultaos vistos nesta aula. Aprofunano o conteúo Leia mais sobre o conteúo esta aula nas páginas e o livro texto. Sugestão e exercícios Resolva os exercícios as páginas e o livro texto. Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 9