Mais derivadas. g(x)f (x) f(x)g (x) g(x) 2 cf(x), com c R cf (x) x r, com r R. rx r 1

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1 Universiae e Brasília Departamento e Matemática Cálculo 1 Mais erivaas Neste teto vamos apresentar mais alguns eemplos importantes e funções eriváveis. Até o momento, temos a seguinte tabela e erivaas: função f(±g( erivaa f (±g ( (f g( f(g (+f (g( (f/g(, se g( 0 g(f ( f(g ( g( 2 cf(, com c R cf ( r, com r R sen( r r 1 cos( Vamos começar completano a tabela com as emais funções trigonométricas. Lembre que a erivaa o seno foi calculaa em um teto anterior, a partir os ites abaio sen(h cos(h 1 = 1, = 0, e a fórmula o seno a soma e ois arcos. Um argumento análogo àquele nos permite erivar a função cosseno: (cos( = cos(+h cos( h cos(cos(h sen(sen(h cos( = [ ( ( ] cos(h 1 sen(h = cos( sen( h = cos( 0 sen( 1 = sen(. Assim, as uas funções trigonométricas principais têm suas erivaas aas por sen( = cos(, cos( = sen(. A partir as uas erivaas acima poemos facilmente calcular a erivaa as emais funções trigonométricas, utilizano a regra para erivação e quocientes. 1

2 tan( = ( sen( = cos((sen( sen((cos( cos( cos 2 ( = cos2 (+sen 2 ( cos 2 ( = 1 cos 2 ( = sec2 (. Proceeno e maneira análoga para as três funções trignométricas restantes, o leitor não terá ificulae em verificar que o quaro completo é como abaio: função erivaa função erivaa sen( cos( cos( sen( tan( sec 2 ( sec( sec(tan( csc( csc(cot( cot( csc 2 ( Nunca é emais lembrar que somente a primeira linha a tabela acima precisa ser memorizaa, pois aí as emais serão consequências simples a regra o quociente. Eemplo 1. Vamos calcular a erivaa as funções abaio. f( = 1+tan(, g( = ( sen( cos( Para a primeira, usamos a regra o quociente para obter cos(. f ( = cos((1+tan( (1+tan((cos( cos 2 ( = cos(sec2 (+(1+tan(sen( cos 2 ( = sec 3 (+(1+tan(sec(tan(. Para erivar a função g, temos que aplicar primeiro a regra o prouto: g ( = ( ( sen( ( 1 sen( = 2 cos( + ( sen( cos( + ( cos( ( sen( +sen(. (1 Note que aina é necessário calcular a erivaa o quociente sen(/. Esta conta poe ser feita usano-se, novamente, a regra o quociente ( sen( = (sen( sen(( 2 = cos( sen( 2. Basta agora substituir a epressão acima em (1 para obter g (. 2

3 Eemplo 2. Vamos eterminar a equação a reta tangente ao gráfico e f( = sen(2 no ponto P 0 = (0,f(0. Lembre que ela é a (única reta que passa pelo ponto P 0 e tem inclinação igual a f (0. O primeiro passo é calcular a erivaa e sen(2. Em um primero momento, essa tarefa parece complicaa pois, apesar e sabermos que (sen( = cos(, a função que queremos erivar agora é sen(2 e não sen(. Porém, usano a fómula para o seno a soma e ois arcos, poemos escrever f( = sen(2 = (sen(cos(+sen(cos( = 2sen(cos(, e moo que a regra o prouto nos fornece ( f ( = 2 cos( sen(+sen( cos( = 2(cos 2 ( sen 2 ( = 2cos(2. Como a função f tem erivaa em toos os pontos, a reta tangente também eiste em qualquer ponto o gráfico. Para o ponto (0, f(0, essa reta tem equação aa por y f(0 = f (0( 0. Uma vez que f(0 = 0 e f (0 = 2cos(0 = 2, concluímos que a reta tangente ao gráfico e f no ponto (0,f(0 tem equação y = 2. Daqui em iante vamos nos concentrar em calcular a erivaa a função eponencial. A primeira observação é que, como e +h = e e h, temos e +h e e = = e e h 1 h, (2 e moo que o cálculo a erivaa poe ser feito ese que possamos calcular o último ite acima. O problema é que esta é uma ineterminação o tipo 0/0 particularmente complicaa, pois não há nenhum tipo e manipulação algébrica aparente que nos permite einar a ineterminação. Vamos então voltar aos primórios e calcular a fração para valores e h próimos e zero. h 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 (e h 1/h 1, , , ,995 1,00005 Os aos apresentaos na tabela acima parecem inicar que a fração se aproima e 1. De fato, é possível mostrar que o ite em questão eiste e que e h 1 = 1. Lembrano agora a igualae em (2, concluímos que e = e. 3

4 Em outras palavras, a erivaa a função eponencial é a própria função eponencial. Conforme veremos algumas vezes nos tetos posteriores, essa é uma proprieae que fornece uma característica etremamente importante a função eponencial. Eemplo 3. Vamos eterminar a taa e variação a função f( = 2cos( 53 3e no ponto = 0. O primeiro passo é usar a regra o quociente para erivar f: f ( = 3e ( 2sen( 15 2 (2cos( 5 3 3e (3e 2 = 3e ( 2sen( cos(+5 3 (3e 2 = 2sen( 152 2cos(+5 3 3e. Como e 0 = 1, concluímos que a taa e variação em = 0 é f (0 = 2/3. Eemplo 4. Vimos que a erivaa a eponencial é a própria eponencial. Um erro comum no início os estuos sobre erivaa é escrever (e k = e k. Vamos ver neste eemplo que essa igualae é falsa para para too k 1. Para isso, vamos calcular a erivaa a função e k, one k R é um número que não epene e. Temos que e k(+h e k ek = = e k e kh 1 h = ke k e kh 1 kh. Fazeno a muança e variáveis z = kh no último ite acima, obtemos ek = ke k e z 1 z 0 z = ke k. Logo, qualquer que seja k R. ek = ke k, Eemplo 5. É sabio que, quano liamos com materiais raioativos, os núcleos atômicos instáveis emitem partículas e raiações eletromagnéticas, se transformano em núcleos mais estáveis. Por conta isso, a massa o material iminui com o passar o tempo. Esse fenômeno é conhecio como ecaimento raioativo. 4

5 Se enotarmos por Q(t a massa e material no instante t > 0, poe-se provar que a taa e variação a massa é proporcional à essa mesma quantiae. Desse moo, para alguma constante k > 0 (que epene o material em questão, vale a equação Q (t = kq(t t > 0. (3 É importante entener a razão o sinal negativo o lao ireito a igualae. Como a massa iminui com o tempo, a taa e variação a função Q é negativa. Uma vez que a massa é positiva, o sinal e menos garante que a erivaa é negativa. Observe que a função Q tem a proprieae e que a sua erivaa é um múltiplo ela mesma. Se olharmos então para o último eemplo, somos tentaos a inferir que a epressão e Q eve envolver uma função eponencial. De fato, aa qualquer constante c R, um cálculo simples mostra que a função Q(t = ce kt é tal que Q (t = (ce kt = c(e kt = c( ke kt = k(ce kt = kq(t. Deste moo, a equação (3 possui uma família e soluções aa por Q(t = ce kt. O fato e termos encontrao muitas soluções para um problema poe parecer estranho em um primeiro momento. Observe porém que, a maneira como foi colocao o problema, não temos elementos suficientes para eterminar a epressão eata e Q(t. É claro que ela epene e quanto material tínhamos no início o eperimento, e esse ao não nos foi fornecio. A solução completa o problema ficará a cargo o leitor, na tarefa seguinte. Tarefa Suponha que uma quantiae Q 0 > 0 e material raioativo comece a ecair. Nestas conições, para alguma constante k > 0, a massa Q(t e material no instante t 0 satisfaz Q (t = kq(t, t > 0, Q(0 = Q Verifique que, para too c R, a função Q(t = ce kt verifica a primeira equação acima. 2. Determine a valor e c para que a função Q efinia no item anterior satisfaça a conição inicial Q(0 = Q A meia-via o material é o tempo necessário para que a massa se reuza à matae a massa inicial. Mostre que esse tempo é igual a ln(2/k, e moo que ele não epene a quantiae inicial. 4. O que acontece com Q(t quanto t +? 5