Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Cálculo I Data: 14/08/2013 Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES. log 3x 40

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1 Universiae Feeral o Espírito Santo Prova e Cálculo I Data: 14/08/2013 Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Aluno: Matrícula Nota: : :.Observações: IPara fazer a prova é permitio usar somente caneta, lápis e borracha. INão são permitios: conversas, consultas, uso e calculaora, sair a carteira ou a sala. IAs respostas evem ser justi caas e corretamente reigias para serem válias. 1. (1; 0 ponto) Calcule os limites: (i) x 3 + x 2 17x + 15 log lim x! 5 x 2 = (ii) lim 3 (2x) 3x 40 x!0 log 2 (3x) = 2. (0; 5 ponto) Consiere a função f (x) = x ln (x) Determine o ponto o grá co e f no qual a reta tangente faz com o eixo-x o ângulo e (0; 5 ponto) Consiere a curva e nia pela equação carteziana 2x + 3y = e x+2y Determine a reta tangente a curva no ponto (2; 1). 4. (0:6 ponto) Determine e ienti que os pontos e mínimo e máximo a função f (x) = x 3p 1 x ; x 2 [ 1; 1] 5. (0:7 ponto) As imensões e um cilinro circular reto estão variano no tempo e moo que seu volume permanece constante igual a 8 cm 3. Supono que a altura o cilinro esteja aumentano a taxa e 0:5 cm= s, etermine a taxa e variação o raio quano a altura o cilinro meir 4 cm. 6. (0:7 ponto) Uma mulher eseja alugar uma casa. Se ela morar a istância e x km o trabalho, o custo anual o aluguel é e 2x+50= (x + 1) mil reais por ano, enquanto o custo o transporte ao longo e um ano é estimao em 2x mil reais. Determine a istância que ela eve morar o trabalho para minimizar o custo total com moraia e transporte. Boa Prova! 1

2 CHAVE DE CORREÇÃO Notação incorreta: 0:1 Terminologia incorreta: 0:2 Desorganização: entre 0:2 e 0:5 Questão 1 Se o cálculo o limite usar o Teorema e L Hôpital: - Cálculo e caa erivaa: 0:2 (2) - Demais cálculos e limite: 0:1 - Total (caa ítem): 0:5 Questão 2 - Cálculo a erivaa a função: 0:2 - Avaliação a erivaa no ponto: 0:1 - Expressão a reta tangente: 0:1 - Demais cálculos: 0:1 - Total: 0:5 Questão 3 - Cálculo a erivaa implícita: 0:2 - Avaliação a erivaa implícita no ponto: 0:1 - Expressão a reta tangente: 0:1 - Demais cálculos: 0:1 - Total: 0:5 Questão 4 - Cálculo a erivaa a função: 0:2 - Cálculo os pontos críticos: 0:2 - Cálculo a função nos extremos o omínio e comparação e valores: 0:1 - Registro a resposta: 0:1 - Total: 0:6 Questão 5 - De nição e variáveis e expressão o volume o cilinro: 0:2 - Derivaa o volume em relação ao tempo: 0:2 - Relação entre as taxas e variação a altura e raio o cilinro: 0:1 - Substituições e valores: 0:1 - Conclusão e registro a resposta: 0:1 - Total: 0:7 Questão 6 - De nição e variável e função custo: 0:2 - Cálculo a erivaa a função custo: 0:2 - Cálculo o ponto crítico a função custo: 0:1 - Cálculo o custo nos extremos o omínio e comparação e valores: 0:1 - Conclusão e registro a resposta: 0:1 - Total: 0:7 2

3 RESOLUÇÕES Questão 1) Para calcular os limites, usamos o teorema e L Hôpital: (i) x 3 + x 2 17x + 15 lim x! 5 x 2 3x 40 x! 5 x! 5 x x3 + x 2 17x + 15 x (x2 3x 40) 3x 2 + 2x 17 2x 3 = 3 ( 5)2 + 2 ( 5) 17 2 ( 5) 3 48 = 3:7 (Resposta) 13 (ii) lim x!0 log 3 (2x) log 2 (3x) x!0 x!0 x log 3 (2x) x log 2 (3x) 1 2 ln(3) 2x 1 3 ln(2) 3x ln (2) x!0 ln (3) ln (2) = (Resposta) ln (3) Questão 2) Consieramos a função f (x) = x ln (x) A reta tangente ao grá co e f num ponto (x 0 ; f (x 0 )) é aa pela seguinte equação carteziana one y = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) f 0 (x) = f = ln (x) + 1 x Para obtemos o ponto no qual a reta tangente faz com o eixo-x o ângulo e equação f 0 (x) = tan 45 0 = 1 ou seja Calculano ln (x) + 1 = 1 () ln (x) = 2 () x = e 2 f e 2 = e 2 ln e 2 = 2e 2 Portanto, o ponto o grá co no qual a reta tangente faz com o eixo-x o ângulo e e 2 ; 2e 2 (RESPOSTA) 45 0 temos que resolver a 45 0 é 3

4 Questão 3) Consieramos a curva Calculamos a erivaa implícita e y em relação a x: No ponto (2; 1) tem-se 2x + 3y = e x+2y (2x + 3y) = x x ex+2y ) 2 + 3y 0 = e x+2y (1 + 2y 0 ) ) y 0 = ex+2y 2 3 2e x+2y one 3 2e x+2y 6= 0 y 0 j (2; 1) = e e 2 2 = 1 Portanto, numa vizinhança o ponto (2; 1), a curva coincie com o grá co e uma função y = y (x) cuja erivaa em x = 2 é y 0 = 1; assim, a equação carteziana a reta tangente a curva no ponto (2; 1) é aa por y = 1 (x 2) Equivalente a isso: y = 1 x (RESPOSTA) Questão 4) Vamos aplicar a técnica os pontos críticos para eterminar os pontos e mínimo e máximo a função f (x) = x 3p 1 x ; x 2 [ 1; 1] A erivaa e f (x): f 0 (x) = p x 3 1 x = 3x 2p 1 x x x 3 2 p 1 x ; x 2 (0; 1) Pontos críticos e f (x): f 0 (x) = 0 () 3x 2p 1 x x 3 2 p = 0 1 x () 6x 2 (1 x) = x 3 () 7x 3 6x 2 = 0 () x = 0 ou x = 6=7 Comparação os valores e f nos extremos o omínio e no ponto crítico no interior o omínio: f ( 1) = p 3 r ; f (1) = 0 ; f (0) = 0 ; f (6=7) = > 0 Concluimos: Ponto e mínimo: x = 1 Ponto e máximo: x = 6=7 (RESPOSTA) 4

5 Questão 5) Denote as imensões o cilinro circular reto em questão por: I r : raio o cilinro I h : altura o cilinro. I V = r 2 h : volume o cilinro. Do enunciao, euzimos que r e h variam no tempo e moo que V permanece constante igual a 8 cm 3. Devemos eterminar r=t quano h = 4 cm sabeno que Ora Como V=t = 0, segue Como h=t = 0:5 = 1=2, segue V t = t Como V = 8 cm 3, quano h = 4 cm tem-se one segue Substituino (III) em (II), obtem-se: r t = h=4 V t = 0 ; h t = 0:5 cm= s (I) r 2 h = 2rh r h + r2 t t 2rh r h + r2 t t = 0 p 2 16 r t = r 4h r 2 4 = 8 r t = r = p 2 quano h = 4 r h 2h t cm= s 0:089 cm= s (RESPOSTA) (II) (III) 5

6 Questão 6) A função custo total em função a istância x o trabalho (meia em uniaes e mil reais) é aa por C (x) = 4x + 50 x + 1 ; x 0 Para obtermos o mínimo a função custo, vamos aplicar a técnica os pontos críticos. A erivaa e C (x): C 0 50 (x) = 4 (x + 1) 2 Pontos críticos e C (x): C 0 (x) = 0 () 4 50 (x + 1) 2 = 0 () (x + 1)2 = 50=4 () x = 5= p 2 1 ou x = 5= p 2 1 Descartano a raiz negativa, concluimos que C (x) possui um único ponto crítico, O corresponente valor crítico o custo é e x = 5= p 2 1 C 5= p 2 1 = 4 5= p Os valores a função C (x) nos extremos o omínio são C (0) = = = p = 20p 2 4 lim C (x) 4x + 50 = 1 x!1 x!1 x + 1 Comparano o valor a função custo no ponto crítico e nos extremos o omínio, concluimos que ela possui valor mínimo e que ele é atingio no ponto crítico. Portanto, a istância o trabalho que minimiza o custo total com moraia e transporte é aa por: x = 5= p 2 1 km 2:5 km (RESPOSTA) (Problema aaptao e: H.J. Keisler: Elementary Calculus: an in nitesimal approach 2n. Eition. Preprint, Ano 2005: p.144) 6