Derivadas de Funções Trigonométricas
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- Paulo Palhares
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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Derivaas e Funções Trigonométricas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
2 Derivaas e Funções Trigonométricas 1.Derivaas e funções trigonométricas.extremos relativos e funções trigonométricas 3.Aplicações
3 1. Derivaas e funções trigonométricas Na aula anterior, vimos ois limites importantes: sen x 1 cos x lim = 1 e lim = 0 x x x 0 x 0 3
4 1.1. Derivaa a função seno Esses ois limites são utilizaos na eução a erivaa a função seno: sen ( x + x) sen x sen x cos x + sen x cos x sen x [ sen x] = lim = lim x x 0 x x 0 x sen x cos x sen x (1 cos x) sen x cos x sen x (1 cos x) = lim = lim lim x 0 x x 0 x x 0 x sen x (1 cos x) = lim cos x lim lim sen x lim x 0 x 0 x x 0 x 0 x = cos x 1 sen x 0 = cos x Portanto: x [ sen x] = cos x 4
5 1.. Derivaa a função cosseno [ x] Esses ois limites também são utilizaos na eução a erivaa a função cosseno: cos ( x + x) cos x cos x cos x sen x sen x cos x cos = lim = lim x x 0 x x 0 x Portanto: [ x ] cos x cos x cos x sen x sen x cos x cos 1 sen x sen x = lim = lim lim x 0 x x 0 x x 0 x 1 cos x sen x = lim lim cos x lim sen x lim x 0 x x 0 x 0 x 0 x = 0 cos x sen x 1= sen x x [ cos x] = sen x 5
6 1.3. Derivaa a função tangente Lembrano que tg x = sen x/cos x e utilizano a regra o quociente, teremos cos x sen x sen x cos x sen x [ tg x] = x x x x = cos x x Portanto: ( ) ( ) ( ) ( cos ) cos cos sen sen cos + sen = = cos x cos x x x x x x x 1 = = sec cos x x x [ tg x] = sec x 6
7 1.4. Derivaa a função cotangente Lembrano que cotg x = cos x/sen x e utilizano a regra o quociente, teremos sen x cos x cos x sen x cos x [ cotg x] = x x x x = sen x x ( ) ( ) ( x x) Portanto: ( ) ( ) ( sen ) sen sen cos cos sen cos = = sen x sen x x x x x x x sen + cos 1 = = = cossec sen x sen x x x [ cotg x] = cossec x 7
8 1.5. Derivaa a função secante Lembrano que sec x = 1/cos x e utilizano a regra o caeia, teremos 1 x x cos x x 1 1 sen x = sen x = = sec x tg x cos x cos x cos x 1 [ sec x] = = [ cos x] = 1 [ cos x] [ sen x] Portanto: x [ sec x] = sec x tg x 8
9 1.6. Derivaa a função cossecante Lembrano que cossec x = 1/sen x e utilizano a regra o caeia, teremos 1 x x sen x x 1 1 cos x = cos x = = cossec x cotg x sen x sen x sen x 1 [ cossec x] = = [ sen x] = 1 [ sen x] [ cos x] Portanto: x [ ] cossec x = cossec x cotg x 9
10 1.7. Resumo as erivaas as funções trigonométricas A seguir, são apresentaas as versões a Regra a Caeia para as regras e iferenciação e toas as seis funções trigonométricas. x [ sen u] = cos u u x x [ cotg u] = cossec u u x x [ cos u] = sen u u x x [ ] sec u = sec u tg u u x x [ tg u] = sec u u x x [ ] cossec u = cossec u cotg u u x 10
11 1.8. Exemplos Exemplo 1: Diferencie as funções: (a) y = sen (x), (b) y = cos (x - 1) e (c) y = tg (3x). ' ( ) Fazeno =, temos que = a u x u y u = cos u = cos ( x) [ x] = cos ( x) () = cos( x) x x x b u x u ' ( ) Fazeno = 1, temos que = 1 y u = sen u = sen ( x 1) [ x 1] = sen ( x 1) (1) = sen ( x 1) x x x ' ( c) Fazeno u = 3 x, temos que u = 3 y x u x (3 x) 3x = sec (3 x) (3) = 3 sec (3 x) x = sec u = sec [ ] 11
12 1.8. Exemplos Exemplo : Diferencie f(x) = cos (3x ). a u = x u = x ' ( ) Fazeno 3, temos que 6 y u = sen u = sen (3 x ) 3x x x x = sen (3 x ) (6 x) = 6x sen (3 x ) 1
13 1.8. Exemplos Exemplo 3: Diferencie f(x) = tg 4 (3x). Pela Regra a Potência, poemos escrever = x 4 3 [ tg (3 x) ] 4 [ tg (3 x) ] [ tg (3 x) ] [ x ] 3 = 4 tg (3 ) sec (3 x) (3) = 3 1 tg (3 x) sec (3 x) x 13
14 1.8. Exemplos Exemplo 4: Diferencie y = cossec (x/). y x x x = cossec cotg x x y 1 x x = cossec cotg x 14
15 1.8. Exemplos Exemplo 5: Diferencie f ( t) = sen 4t. ( t ) f ( t) = sen 4 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( sen 4t ) 1 ' f ( t) sen 4t sen 4t ' f ( t) sen 4t 4cos 4t ' f t ' f t 1 = 1 = cos 4t ( ) = ( ) cos 4t = sen 4t 1 t 15
16 1.8. Exemplos Exemplo 6: Diferencie y = x sen x. y = x x + x x x x x y = x cos x + sen x 1 x y = x cos x + sen x x [ sen ] sen [ ] 16
17 . Extremos relativos e funções trigonométricas Exemplo 7: Determine os extremos relativos e no intervalo e (0, π). y x = sen x Para achar os extremos relativos a função, eterminemos inicialmente seus pontos críticos. A erivaa e y é: y x = 1 cos x 17
18 . Extremos relativos e funções trigonométricas Igualano a erivaa a zero, obtemos cos x = 1/. Portanto, no intervalo (0, π), os pontos críticos são x = π/3 e x = 5π/3. Aplicano o Teste a Derivaa Primeira, concluímos que π/3 á um mínimo relativo e 5π/3 á um máximo relativo, conforme a figura acima. 18
19 . Extremos relativos e funções trigonométricas Exemplo 8: Ache os extremos relativos e f(x) = sen x cos x no intervalo e (0, π). f ( x) = sen x cos x ' f x x x ( ) = cos + sen cos x + sen x = 0 cos x + sen x cos x = 0 4sen x cos x + cos x = 0 cos x(sen x + 1) = 0 19
20 . Extremos relativos e funções trigonométricas Por aí vemos que os pontos críticos ocorrem quano cos x = 0 e quano sen x = -1/. Assim, no intervalo (0, π) os pontos críticos são x = π/, 3π/, 7π/6 e 11π/6. Aplicano o Teste a Derivaa Primeira, eterminamos os máximos relativos, (π/, 3) e (3π/, -1), e os mínimos relativos (7π/6, -3/) e (11π/6, -3/), conforme a figura a seguir. 0
21 . Extremos relativos e funções trigonométricas 1
22 3. Aplicações Exemplo 9: Um fabricante e fertilizantes acha que as venas e um e seus proutos segue um parão sazonal que amite o moelo F = sen π( t 60) 365 one F é a quantiae venia (em libras) e t é o tempo (em ias), com t = 1 representano 1 o e janeiro, conforme a figura a seguir. Em que ia o ano ocorre o máximo e vena e fertilizantes?
23 3. Aplicações A erivaa o moelo é F t π π( t 60) = cos Igualano a zero esta erivaa, vem: π ( t 60) cos = Como o cosseno é zero em π/ e 3π/, obtemos: 3
24 3. Aplicações π ( t 60) π = t 60 = t = t 151 π ( t 60) 3 π = t 60 = t = t 334 O 151 o ia o ano é 31 e maio e o 334 o ia o ano é 30 e novembro. Pelo gráfico seguinte, vemos que, e acoro com o moelo, a vena máxima ocorre em 31 e maio. 4
25 3. Aplicações sen 5
26 3. Aplicações Exemplo 10: A temperatura T (em graus Fahrenheit) urante certo períoo e 4 horas tem como moelo T π( t 8) = sen 1 one t é o tempo (em horas), com t = 0 corresponeno à meia-noite, conforme a figura seguinte. Determine a taxa e variação a temperatura às 6 horas a manhã. 6
27 3. Aplicações 7
28 3. Aplicações A taxa e variação a temperatura é aa pela erivaa T t 15 π π( t 8) = cos 1 1 Como 6 a manhã correspone a t = 6, a taxa e variação a essa hora é T t 15π π 5π π 5π 3 o = cos cos 3,4 F por hora 1 1 = 4 = 6 4 8
Derivadas de Funções Trigonométricas. Derivadas de Funções Trigonométricas ( ) ( ) ( ) [ x
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