Convergência das Séries de Fourier

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1 Convergência das Séries de Fourier Elton Gastardelli Kleis 6 de outubro de 010 1

2 1 Palavras-Chave Séries de Fourier, convergência de séries e convergência Resumo O objetivo do presente artigo é estudar a convergência das séries de Fourier de uma função f. Para isso condições adicionais na f serão necessárias. Há também vários tipos de convergência que serão vistos: convergência pontual, convergência uniforme e convergência em média. 3 Introdução No estudo das séries trigonométricas, é possível facilmente conseguir resultados sucientes para tirarmos conclusões sobre a convergência das mesmas. Contudo nada podemos concluir sobre a convergência da série de Fourier de uma função, apenas conhecendo essa função. Neste artigo ilustraremos algumas condições sucientes que nos permitem avaliar sobre a convergência da série de Fourier de uma função. 4 Desenvolvimento 4.1 Convergência em Média Em um espaço de funções com produto interno expresso por uma integral a armação segundo o qual, b lim f r f = lim ( [f k (x) f(x)] 1/ = 0 k k não é o mesmo que dizer que a sequência f R converge para função f em todos pontos de [a, b] (convergência pontual). Em análise matemática essa convergência via produto interno é conhecida como convergência em média. Ela recebe este nome para enfatizar que ela é calculada por integração, que em certo sentido é um processo de média generalizada. a

3 Denição 1 Diz-se que uma série innita û k de vetores de um espaço euclidiano converge para o vetor û a sequência associada das somas parciais converge para û no sentido que: Se este é o caso, escrevemos: lim û k û = 0 k û = û k E dizemos que û foi desenvolvido em série innita. Mais detalhadamente, û k para û para cada número real ɛ > 0. Existe um inteiro k tal que: û k û < ɛ Toda vez que N > K. O real ɛ pode ser entendido como o erro. Na verdade, û k û é a distância da soma do vetor û. É sabido que todo espaço euclidiano de dimensão nita tem uma base ortonormal û 1, û, û 3,... e que todo vetor deste espaço pode ser escrito de modo único sobre a forma: Ou û = (ûû 1 )û (ûû n )û n +... û = (uû k )û k Entretanto sem informações mais detalhadas, não existe nenhuma garantia que esta série convirja para û. Os produtos internos (uû) se denominam de coordenadas ou coecientes de Fourier (generalizados) de u em relação a base (ou conjunto ortogonal) û 1, û, û 3,.... É comum escrever û (uû k )û k Onde o símbolo é para ressaltar que a série em questão pode não convergir para û. Caso convirja justica-se usar o símbolo de igualdade. 3

4 Teorema Seja a k û k qualquer série innita que converge em média para û, isto é, então, a k = uû k para cada inteiro k. û = a k û k É evidente que se a série converge em média para û vale escrever: lim û N a k û k = 0 N }{{} S n Onde S n é a soma parcial. Se o espaço euclidiano em tela for cp[a, b] deve-se entender û como f(x) e a k como A n e B n. Sendo A n sen(nx) e B n cos(nx) (a = π, b = π)(se f periódica de período π). 4. Desigualdade de Bessel e Igualdade de Parseval Teorema 3 Seja ĥ1, û, û 3,... um conjunto ortonormal de vetores de um espaço euclidiano de dimensão innita, e seja û um vetor desse espaço. Então: (uû k ) û Essa expressão é chamada de desigualdade de Bessel. Além disso, û 1, û, û 3,... é uma base do espaço em questão (ûû k ) û, que é a igualdade de Parseval. No caso das séries de Fourier, a igualdade de Parseval é dada por: f = 1 π π π f(x) dx = a 0 + (a k + b k) Teorema 4 Seja f uma função continuamente diferenciável por partes em cp[ π, π] (f tem uma derivada primeira continua por partes em [ π, π]). Então, o desenvolvimento em série de Fourier de f converge pontualmente em [ π, π] e tem o valor f(x+ 0 )+f(x 0 ) em cada ponto x 0 do interior do intervalo, e f( π+ 0 )+f(π 0 ) em ±π. 4

5 Note que ao escrevermos a série de Fourier de f como f(x) = ao + (a k cos(kx)+ b k sen(kx)) signica que a série em questão converge em média para f. Ou seja, lim f (A k cos(kx) + B k sen(kx)) = 0 N k=0 f(x) = f(x) x + f cos(kx) cos(kx) ( cos(kx) + f sen(kx) sen(kx) sen(kx) ) Ressaltamos que convergência em média não signica que a série converge pontualmente no sentido que, f(x 0 ) = a 0 + (a k cos(kx)+b k sen(kx)) x 0 [ π, π]. Contudo, o teorema apresentado explicita sobre que condições a convergência pontual ocorre, ou seja, o desenvolvimento em séries de Fourier de uma função f cp[ π, π], continuamente diferenciável por partes, converge. De fato, para f(x o ) quando x 0 é um ponto de continuidade de f, ou seja, converge na reta inteira. Teorema 5 Seja f uma função contínua em (, ), com período π e considere f tenha derivada primeira, contínua por partes. Então a série de Fourier de f converge uniformemente para f em todo invervalo fechado de x. Se f for continuamente diferenciável por partes em (, ) com período π. Então a série de Fourier de f converge uniformemente para f em qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de f. 4.3 Convergência Uniforme Teorema de Weterstrass 1 Se M k é uma série convergente de números reais positivos e se f k (x) é uma série de funções tais que f k (x) M k k e x no intervalo a x b. Obs 1 : Se f k (x) converge, diz-se que a série converge absolutamente. Obs : Diz-se que uma sequência f k (x) converge uniformemente para a função f(x) no intervalo a x b, se qualquer que seja ɛ > 0 exista um inteiro positivo α dependendo de ɛ, mas não de x tal que f k (x) f(x) < ɛ quando k α e x está no intervalo dado. Note que se f k (x) for a sequência das somas parciais S k (x) a série correspondente converge uniformemente. S k (x) f(x) < ɛ quando k α lim k f k (x) f(x) = 0, x. 5

6 Quando k (x) = lim k S(x) = k=0 û k (x) coincide exatamente com f(x) x [a, b]. A convergência uniforme é global. Obs: A sequência S k (x) é constituída a partir da sequência û k (x) para o caso da série de Fourier. S k (x) = N=0 (A k cos(kx) + B k sen(kx)) Ou seja, S 0 (x) = A 0 S 1 (x) = A 0 + A 1 cos(x) + B 1 sen(x). S k (x) = A 0 + A 1 cos(x) + B 1 sen(x) A k cos(kx) + B k sen(kx) S (x) = N=0 (A k cos(kx) + B k sen(kx)) + f(x) (Série de Fourier) 6

7 5 Conclusão A partir do que foi exposto acima podemos concluir que as séries de Fourier podem ser testadas em um vasto conjunto de condições. Esses resultados são muito cômodos, visto que poupam-nos do trabalho de determinar séries de Fourier divergentes. 6 Agradecimentos Agradeço ao professor Altair pelo seu empenho no curso de métodos matemáticos I o qual temos o imenso prazer de participar. Não somente pelo vasto conhecimento matemático, mas também pelo seu exemplo de vida junto a sociedade em diversos programas sociais àqueles que mais necessitam. Pedimos a Deus que abençoe abundantemente os seus projetos que podem ser considerados um bem para toda sociedade. Referências [1] Séries duplas de Fourier - Altair S. de Assis; [] Análise de Fourier e equações diferencias parciais - Djairo Guedes de Figueiredo; [3] Análise de Fourier - Murray R. Spiegel - Coleção Schaum; [4] Séries de Fourier ( a Parte) - João Carlos Martins Vieira; 7