Convergência de séries de Fourier

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1 Recorde-se que: Convergência de séries de Fourier Sendo f uma função definida num intervalo a,b, excepto, eventualmente, num número finito de pontos, diz-se que f é seccionalmente contínua em a, b se: i) o intervaloa, b pode ser subdividido num número finito de intervalos em cada um dos quais f é contínua, excepto, eventualmente, nos extremos desses subintervalos; ii) os limites laterais da função nos pontos extremos destes subintervalos existem (e são finitos) Definição: Diz-se que uma função f é seccionalmente suave em a, b se f for seccionalmente contínua ema, b e a sua função derivada também for seccionalmente contínua ema, b Notação: Sendo f uma função real definida em, representamos por fx e fx os seus limites laterais à direita e à esquerda de x, respectivamente Teorema (Teorema da Representação em Série de Fourier): Seja f uma função periódica de período e seccionalmente suave em, Então, a série de Fourier de f é convergente (em) e, para cada x,, a sua soma é dada por fx fx f f, se x,;, se x, Ana Matos Matemática Aplicada 0//07 Séries de Fourier

2 Nota: Repare-se que, sendo f uma função periódica de período, então f f e f f, pelo que f f f f f f, ou seja, também nos extremos do intervalo a soma da série é igual à média dos limites laterais no ponto Corolário: Seja f uma função periódica de período e seccionalmente suave em, Então: nos pontos x em que f é contínua, a soma da sua série de Fourier é igual a fx; em cada ponto de descontinuidade, a soma da série de Fourier é igual à média dos limites laterais da função no ponto Isto é, a 0 a n cosnx b n sennx n fx, se f é contínua em x fx fx, se f não é contínua em x Nota : Nestas condições, caso f seja contínua em,, então f é contínua eme, portanto, a função coincide com a soma da sua série de Fourier Nota : O Teorema e o Corolário foram apresentados para uma função periódica de período, mas são válidos, de modo análogo, para uma função periódica de período T Ana Matos Matemática Aplicada 0//07 Séries de Fourier

3 Exemplo 4: No Exemplo viu-se que, sendo f a função de período definida em, por tem-se que fx, se x 0, se 0 x, fx senm x m Como f é seccionalmente suave em,, esta série é convergente em Como f é contínua em, \0, em, tem-se senm x m fx, x,\0, x, 0, Note-se que, como f tem período, conclui-se mesmo que senm x m fx, se x k, para k, se x k, com k Ana Matos Matemática Aplicada 0//07 Séries de Fourier

4 Exemplo 5: No Exemplo viu-se que, sendo f a função de período definida em0, por fx, se 0 x 0, se x, tem-se que fx senm x m Como f é seccionalmente suave em0,, esta série é convergente em Como f é contínua em 0, \, em 0, tem-se senm x m fx, x 0, \, x 0,, Note-se que, como f tem período, conclui-se mesmo que senm x m fx, x, x Ana Matos Matemática Aplicada 0//07 Séries de Fourier 4

5 Propriedades É imediato que uma função constante é periódica de período T (para qualquer T 0) e a sua série de Fourier é a própria função constante Proposição: Sejam f e g funções periódicas de período T Então: os coeficientes de Fourier da função fgsão iguais à soma dos correspondentes coeficientes de Fourier das funções f e g; os coeficientes de Fourier da função cf são iguais ao produto por c dos correspondentes coeficientes de Fourier da função f Observação: Através destas propriedades podemos obter os coeficientes de Fourier de uma função a partir dos coeficientes de Fourier de outras funções, cujos coeficientes sejam conhecidos ou sejam mais fáceis de calcular Por exemplo, no exercício 8 considerou-se a função f, periódica de período 0, definida por fx 0, se 5 x 0, se 0 x 5 e calcularam-se directamente os coeficientes de Fourier desta função, tendo-se concluído que, fx m sen m 5 x Os cálculos podem simplificar-se, tendo em conta que subtraindo à função f obtemos uma função ímpar Ana Matos Matemática Aplicada 0//07 Séries de Fourier 5

6 y 4 y x x - - f g f Assim, fx 0 definida por gx, com g função periódica de período gx, se 5 x 0, se 0 x 5 Uma função constante admite qualquer período positivo, pelo que os coeficientes de Fourier de f são a soma dos coeficientes de g e da função constante Como g é ímpar, para esta função tem-se: a n 0, para n 0,, b n T 4 5 fx sennxdx com T 0 e Logo, b n senn 0 5 xdx 5 senn xdx n cosn 5 x 5 0 n cosn cos0 n n 0 se n é par n se n é ímpar Ana Matos Matemática Aplicada 0//07 Séries de Fourier

7 Assim, Como então gx fx m sen m 5 x m sen m 5 x (série cujos coeficientes são a soma dos coeficientes das duas séries de Fourier) Extensões de funções por Séries de Fourier Até este ponto, considerámos apenas funções períódicas, das quais era dada a expressão num intervalo de amplitude igual ao seu período fundamental (para as quais obtivémos a correspondente série de Fourier) Dada uma função f definida apenas num intervalo 0,L (e seccionalmente contínua no intervalo), podemos estender esta função ao intervalol, L e de seguida considerar a sua extensão periódica, com período L, com a correspondente série de Fourier Esta extensão pode ser feita de muitas maneiras, de acordo com os objectivos pretendidos, sendo frequente considerarmos a extensão par ou a extensão ímpar da função (para tirar partido das propriedades destas funções) No primeiro caso, a série de Fourier associada será uma série de cossenos e no segundo caso será uma série de senos Ana Matos Matemática Aplicada 0//07 Séries de Fourier 7