TEORIA DAS ESTRUTURAS II PROF.: VICTOR MACHADO

Transcrição

1 TEORIA DAS ESTRUTURAS II PROF.: VICTOR MACHADO

2 APRESENTAÇÃO Contatos: victormsilva.com

3 PLANO DE AULA Apresentação do Plano de Aula Forma de Avaliação Faltas e Atrasos

4 UNIDADE I - DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

5 TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS Princípio de D Alambert Para um ponto material em equilíbrio (a resultante das forças atuantes nesse ponto é igual a zero), o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é nulo P1 P2 Pn m d m1

6 TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS Princípio de D Alambert Corpos rígidos Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que sobre ele atuam é nula, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos Corpos elásticos Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos

7 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS Dada uma estrutura isostática, para realizar o cálculo da deformação em um ponto específico, precisamos considerar a estrutura como um corpo elástico Uma determinada seção da estrutura está submetida a deformações, chamadas de dj (rotação relativa entre duas seções distantes ds entre si, devida ao momento M), Dds (deslocamento axial relativo de duas seções distantes ds entre si, devido à normal N) e dh (deslizamento relativo de duas seções distantes ds entre si, devido ao cortante Q)

8 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS Os valores de cada deformação individualmente são dados pela Resistência dos Materiais: dφ = M. ds E. J ; ds = N. ds E. S E: módulo de elasticidade longitudinal do material G: módulo de elasticidade transversal ; dh = χ. Q. ds G. S J: momento de inércia da seção transversal em relação ao seu eixo neutro S: área da seção transversal c: coeficiente de redução, cujo valor varia com o tipo de seção

9 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS Roteiro para cálculo das deformações em um ponto devido a carregamentos externos (1) Calcula-se a estrutura para os carregamentos dados, determina-se os diagramas de momento fletor, esforço normal e esforço cortante. Essa configuração é chamada de ESTADO DE DEFORMAÇÃO, e as forças externas são responsáveis pela geração do trabalho real

10 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS

11 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS (2) Determina-se o ESTADO DE CARREGAMENTO da estrutura: ignora-se os carregamentos reais, e aplica-se um carregamento virtual unitário (que gera, portanto, trabalho virtual) no ponto em que deseja-se obter a deformação, e na direção da deformação. A partir daí são determinados os diagramas do estado de carregamento

12 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS (3) Pelo princípio de D Alambert para corpos elásticos, sabemos que o trabalho virtual total das forças reais (excetuando as reações, que não geram trabalho) é igual ao trabalho virtual das forças virtuais W virtual = തPδ O trabalho virtual das forças reais é igual à soma dos trabalhos virtuais de cada componente de deformação Igualando, temos W real = න l W real = න l ഥMdφ + න l M ഥMds EJ + න l ഥNΔds + න l N ഥNds ES + න l തQdh Qχ തQds GS തPδ = න l M ഥMds EJ + න l N ഥNds ES + න l χq തQds GS

13 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS Caso tivéssemos uma estrutura espacial, precisaríamos incluir uma parcela devida à torção. Não vamos considerar nesse curso, no entanto (4) Podemos fazer algumas aproximações. Em estruturas usuais que não estão submetidas exclusivamente a esforços normais (como as treliças), e que não possuem grande influência de esforços cortantes (como estruturas com vãos muito curtos e cargas muito elevadas), as parcelas de deformadas devidas a esforços normais e cortantes podem ser desprezadas. Ficamos então com a seguinte equação para cálculo: തPδ = න l M ഥMds EJ Estamos analisando casos de estruturas que possuem pequenas deformações. Estruturas muito esbeltas que apresentam grandes deformações precisam de análises mais sofisticadas

14 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS (5) Assumindo que EJ seja constante para as três barras do exemplo, e em seguida resolvendo a integral para cada barra separadamente, a nossa equação fica: തPδ = න l M ഥMds EJ M ഥMds M ഥMds M ഥMds = න + න + න barra 1 EJ barra 2 EJ barra 3 EJ തPδ = barra 1 M ഥMds + barra2 M ഥMds + barra3 M ഥMds EJ EJ. തPδ = න barra 1 M ഥMds + න barra 2 M ഥMds + න barra 3 M ഥMds

15 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS (6) Resolvendo para a barra 1 (comprimento total = 3m): M x = 150.x 3 = 50. x; ഥM = 3.x 3 = x Os sinais são contrários pois os momentos real e virtual estão em direções opostas barra1 0 = ഥMds M 3 0 = dx 50. x. x. 3 50x 2 dx = 50x3 3 ቊ3 0 barra1 M ഥMds = = = 450

16 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS (7) Resolvendo para a barra 2 (comprimento total = 5m): M x = x 5 ; ഥM = 3 5 x barra1 M ഥMds = dx = x dx = 450. x x2 10 ቊ5 0 barra1 M ഥMds = = ,5 + 0 = 1125

17 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS (8) O momento real da barra 3 é igual a zero, então essa componente se anula. Sendo assim, assumindo que EJ = kn.m² e lembrando que a carga virtual é unitária, temos que a deformação horizontal no ponto D é igual a: EJ. തPδ = න barra 1 M ഥMds + න barra 2 M ഥMds + න barra 3 M ഥMds δ = = 1575 δ = = 7, m = 7,88mm (9) A deformação total no ponto D é, portanto, 7,88mm. O sinal é negativo pois indica que a deformação possui sentido contrário à força virtual aplicada, logo o ponto D se desloca para a direita

18 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A CARREGAMENTOS EXTERNOS (10) O ftool permite o cálculo automático das deformações de toda a estrutura

19 USO DE TABELA PARA O CÁLCULO DAS INTEGRAIS De forma a simplificar os cálculos, pode-se utilizar uma tabela para a realização do cálculo das integrais dos momentos, assumindo-se que as propriedades do material e da seção são uniformes ao longo de cada barra Dessa forma, temos que: δ = න l M. ഥM. ds E. J M. ഥM. ds = න barra E. J = 1 E. J න M. ഥM. ds barra A parcela da integral pode ser determinada através de uma tabela, sabendo o formato dos diagramas de momento nos estados de deformação e de carregamento

20 USO DE TABELA PARA O CÁLCULO DAS INTEGRAIS

21 USO DE TABELA PARA O CÁLCULO DAS INTEGRAIS Aplicando a tabela, calcule as deformações lineares horizontais nos pontos B e C da estrutura abaixo. Considere que E.J = 2 x 10 5 kn.m² para todas as barras.

22 USO DE TABELA PARA O CÁLCULO DAS INTEGRAIS Aplicando a tabela, calcule a deformação linear horizontal no ponto B e a deformação linear vertical no ponto C da estrutura abaixo. Considere que E.J = 2 x 10 5 kn.m² para todas as barras.

23 CÁLCULO DE ROTAÇÃO NAS ESTRUTURAS Já vimos que para definir o estado de carregamento, devemos aplicar uma carga unitária no nó que desejamos descobrir a deformada. No entanto, só analisamos até o momento deslocamentos lineares. Para calcular rotações, basta aplicarmos uma carga momento unitária no lugar da força. A resposta da rotação será dada em radianos. Calcule, por exemplo, a rotação na extremidade em balanço da viga engastada e livre abaixo:

24 CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS COM BARRAS DE DIFERENTES INÉRCIAS Usualmente, em pórticos planos, as barras possuem seções transversais - e, portanto, inércias - diferentes. Nesses casos, não podemos uniformizar o cálculo de EJ para toda a estrutura, devendo realizar o cálculo individualmente para cada barra. No exemplo abaixo, todas as barras são de aço (módulo de elasticidade E = 210GPa), enquanto que os pilares são compostos por perfis W150x22,5 e as vigas são perfis W310x52,0 (retirados do catálogo Gerdau Açominas). Calcule a deformação linear ponto B e a rotação no ponto C.

25 CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS COM BARRAS DE DIFERENTES INÉRCIAS

26 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA Seguir o seguinte passo-a-passo Obter a temperatura da seção no centro de gravidade, t g, sabendo que a transmissão de temperatura é linear, ou seja, t g = (t i + t e ) / 2, se o perfil for uniforme (p. ex., uma seção retangular). As variáveis t i e t e são, respectivamente, as temperaturas atuantes interna e externa Como em estruturas rígidas submetidas a pequenas deformações nós podemos realizar a superposição de efeitos, devemos sempre analisar a estrutura submetida apenas à variação de temperatura (as cargas externas devem ser analisadas pelo método convencional já apresentado). Sendo assim, a estrutura não possui estado de deformação (pois não apresenta carregamentos externos). Deve-se então prosseguir com a determinação do estado de carregamento, da mesma forma que fizemos nos primeiros exemplos

27 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA Calcular a deformação a partir da seguinte equação, onde d é a deformada procurada, a é o coeficiente de deformação linear do material, Dt é a variação de temperatura (t i - t e ), h é a altura da seção e A N e A M são as áreas dos diagramas de esforço normal e momento fletor obtidos no estado de carregamento തPδ = αt g A ഥ N + αδt h A ഥM Por convenção, trataremos o esforço normal sendo positivo quando estiver tracionando as barras (como de costume), e o momento fletor como positivo quando estiver tracionando as fibras no interior da estrutura. As variações de temperatura serão positivas quando houver aumento de temperatura (observar que Dt = t i - t e ).

28 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA Vamos analisar a estrutura abaixo. Calcule o deslocamento horizontal no ponto B e a rotação no ponto C quando a estrutura está submetida a uma temperatura interna de 70ºC e externa de -10ºC. As barras possuem altura de 0,5m, e a = 10-5 /ºC.

29 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES Assim como na deformação devida à temperatura, deve-se isolar o cálculo da deformada devida a recalques nos apoios da estrutura. Sendo assim, seguem-se os dois passos abaixo: Determinar o estado de carregamento e suas reações (não é necessário obter os diagramas) Calcular a deformação conforme equação abaixo, sabendo que R são as reações dos apoios, e r são as deformações associadas às reações തPδ = തRρ

30 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES Por exemplo, considere que a estrutura abaixo possui os seguintes recalques: r Av = 2cm (para baixo), r Ah = 1cm (para a direita) e r Bv = 1cm (para cima). Calcule o deslocamento horizontal no ponto B e a rotação no ponto C.

31 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES Aplicando o princípio da superposição de efeitos, podemos calcular as deformações para uma estrutura com vários tipos de carregamento distintos. Para as estruturas seguintes, calcule as deformações nos pontos indicados considerando que: EJ (vigas) = 2 x 10 5 kn.m²; EJ (pilares) = 4 x 10 5 kn.m² Temperatura interna: 80ºC; temperatura externa: 0ºC; a = 10-5 /ºC Altura de todas as barras = 400mm Recalque no apoio A: 2cm (vertical, para cima) e 1cm (horizontal, para a esquerda) Recalque no apoio B: 2cm (vertical, para baixo)

32 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES Deslocamento horizontal nos pontos B e C

33 DEFORMAÇÕES DEVIDAS A RECALQUES Deslocamento horizontal no ponto B e rotação no ponto C

34 DEFORMAÇÕES EM TRELIÇAS PLANAS Para a deformação em apenas uma direção, para apenas um nó, pode-se aplicar diretamente o princípio dos trabalhos virtuais, sabendo que em treliças o esforço preponderante é o normal. Logo: തP. δ = barras s N. ഥN න 0 E. S ds Assumindo que as barras possuem inércia constante, e que os esforços normais são uniformes ao longo de cada barra, a equação pode ser simplificada no seguinte: തP. δ = n barra i N i. N i. l i E. S i Os valores dos esforços normais para os estados de deformação e carregamento são obtidos de forma análoga ao que temos feito até o momento

35 DEFORMAÇÕES EM TRELIÇAS PLANAS Calcule a deformação vertical do nó B na treliça abaixo. Considere que os perfis são tubulares, de diâmetro externo d e = 40mm e espessura t = 5mm. Considere também que E = 210GPa. As dimensões indicadas são típicas.

36 DEFORMAÇÕES EM TRELIÇAS PLANAS Vamos primeiro aplicar a força virtual no estado de carregamento. A partir daí, montamos uma tabela com os esforços internos do estado de deformação e do estado de carregamento.

37 DEFORMAÇÕES EM TRELIÇAS PLANAS Barra N def 5,0-14,1 10,0 0,0-7,1 10,0-5,0-14,1-15,0 N carr 0,7-0,9 0,3 0,7 0,5 0,3 0,0-0,5-0,7 L 2,0 2,8 2,0 2,0 2,8 2,0 2,0 2,8 2,0 N def.n carr.l 7,0 35,5 6,0 0,0-9,9 6,0 0,0 19,7 21,0

38 DEFORMAÇÕES EM TRELIÇAS PLANAS Somam-se todos os valores da última linha, ou última coluna തP. δ = N. ഥN. l E. S = 1. 7,0 + 35,5 + 6,0 9,9 + 6,0 + 19,7 + 21,0 E. S 1. δ = 1 E. S. 85,3 Sabendo que E = 210GPa e que as dimensões dos perfis foram dadas, calcula-se E.S e, por fim, a deformação: S = π. 0,042 0,005 2 = 0,001237m 2 4 E. S = 210 x 10 6 x 0, = 2,598 x 10 5 kn δ = 85,3 2,598 x 10 5 = 3,284 x 10 4 m = 0,33mm

39 DEFORMAÇÕES EM TRELIÇAS PLANAS Calcule agora as deformações horizontal e vertical do nó B na treliça abaixo. Considere as mesmas propriedades de material e geometria dos perfis que na questão anterior.

40 DEFORMAÇÕES EM GRELHAS Quando calculamos deformações em estruturas espaciais, devemos incluir, além das três parcelas de deformação já discutidas (normal, cortante e momento fletor), a parcela do momento torçor. Sendo assim a equação para o cálculo da deformada, através do princípio dos trabalhos virtuais, fica: തPδ = න l M ഥMds EJ + න l N ഥNds ES + න l χq തQds GS + න l T തTds GJ t Nessa equação, J t é o momento de inércia à torção da seção da barra. Desprezando, em grelhas isostáticas, o efeito do cortante e da normal, temos então a seguinte equação: തPδ = න l M ഥMds EJ + න l T തTds GJ t

41 DEFORMAÇÕES EM GRELHAS Além disso, no caso de estruturas espaciais, caso precisemos saber a rotação de uma determinada barra (ao invés da rotação de um nó específico), a carga virtual passa a ser um binário virtual, de força equivalente a 1/L, onde L é o comprimento da barra que estamos analisando. Sendo assim, calcule a rotação da barra BC na grelha abaixo, sabendo que EJ = 10 5 kn.m² e GJ t = kn.m². Os comprimentos das barras AB e BC são, respectivamente, 4m e 3m.

42 DEFORMAÇÕES EM GRELHAS Calcule a rotação da barra CD na grelha abaixo, sabendo que EJ = kn.m² e GJ t = 10 6 kn.m². O comprimento das barras AB e BC é 3m, e o das barras CD e DE é 6m.

43 PROCESSO DE MOHR Processo desenvolvido por Mohr para traçar a elástica e calcular as deformações em qualquer ponto de uma viga reta, sem a necessidade de se fazer o cálculo através das integrais ou de tabelas de apoio O processo parte da premissa de alguns fundamentos: O cálculo da rotação em uma seção qualquer é dado por (já visto) dφ = M. ds E. J A relação diferencial entre o momento fletor de uma seção, o esforço cortante e a distribuição de carregamento (já vista) d 2 M dm dq = q; = Q; dx2 dx dx = q A fórmula para cálculo da deformação em uma determinada seção (será visto na disciplina de Resistência dos Materiais) d 2 y dx 2 = M E. J

44 PROCESSO DE MOHR Das equações da rotação e da deformação, temos que dφ ds = M E. J = d2 y dx 2 Podemos então associar que, se tivermos uma viga com condições de contorno (apoios, rótulas e demais restrições) equivalentes à viga reta original chamaremos essa viga de viga conjugada podemos utilizar um carregamento de tal forma que o esforço cortante da viga conjugada seja equivalente à rotação na viga real, e o momento fletor na viga conjugada seja equivalente à deformação na viga real Portanto, o DEC da viga conjugada dará as rotações na viga real, e o DMF da viga conjugada dará a configuração elástica da viga real, com as deformações verticais

45 PROCESSO DE MOHR Para elaborar a viga conjugada, deve-se substituir os elementos de contorno da viga real por elementos conjugados. Esses elementos são detalhados a seguir (adaptado da fonte):

46 PROCESSO DE MOHR Passos para aplicar o processo de Mohr 1 Calcular o DMF da viga real 2 Criar a viga conjugada a partir da tabela apresentada, considerando um carregamento igual a M/EJ, onde M é o momento na viga real 3 Calcular o DEC (caso queira determinar rotações) ou o DMF (caso queira calcular deformações ou traçar a elástica) Observações: A viga conjugada de uma viga real isostática será sempre isostática A viga conjugada de uma viga real hiperestática será sempre hipostática, no entanto será também auto equilibrada através do seu carregamento, possibilitando resolvê-la Para facilitar as contas, é possível aplicar um carregamento igual a -M na viga conjugada, lembrando que ao final dos cálculos deve-se dividir por EJ