NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO

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1 NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES

2 1-A um teatro compareceram 519 homens e 385 mulheres. Quantas pessoas foram ao teatro? 2-Numa livraria havia 586 livros de poesia. Foram vendidos 283. Quantos livros ainda não foram vendidos? 3-Luana tem 75 livros. Suzana tem o triplo dos livros de Luana. Quantos livros Susana têm? 4-Numa escola a diretora guardou 56 tubos de cola em 7 caixas. Quantos tubos ela guardou em cada caixa, se em cada uma colocou a mesma quantidade? 5-Paula Ana e Marta são irmãs e todas elas ganham mesadas do pai, só que cada uma ganha um valor diferente. Paula ganha R$ 70,00 por mês, Ana ganha R$ 60,00 e Maria R$ 50,00. Qual o total que o pai das meninas precisa separar no mês para pagar as mesadas? 6-Fabrício tinha 320 reais para pagar as contas (117 reais de energia elétrica, 58 reais de água e 88 reais de telefone) e para fazer algumas compras. Quanto lhe restou para fazer as compras? 7-Na escola de Pedro há 8 classes de 35 alunos, 5 classes de 33 alunos e 12 classes de 30 alunos. Qual é o total de alunos nessa escola? 8- Quarenta oito balas foram repartidas entre três crianças, Ana, Maria e João. Quantas balas cada uma receberam? 9-Ana tinha 500 reais no banco. Na segunda-feira retirou 250 reais e na terça-feira fez um depósito de 180 reais. Qual o valor do seu saldo? 10-Da mesada que ganhei R$ 180,50 gastei 32,80 no primeiro dia e 42,90 no segundo dia. Quanto ainda possuo? Introdução MEDIDAS DE SUPERFÍCIE As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: Qual a área desta sala? Qual a área desse apartamento? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina? Qual a área dessa quadra de futebol de sete? Qual a área pintada dessa parede? Superfície e área Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. METRO QUADRADO

3 A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m 2 ) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. quilômetros quadrado Múltiplos hectômetro quadrado decâmetro quadrado Unidade Fundamental metro quadrado decímetro quadrado Submúltiplos centímetro quadrado milímetro quadrado km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,0001m 2 0,000001m 2 O dam 2, o hm 2 e km 2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm 2, o cm 2 e o mm 2 são utilizados para pequenas superfícies. Exemplos: 1)Leia a seguinte medida: 12,56m 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 12, 56 Lê-se 12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm , 30 Lê-se 178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados 3)Leia a seguinte medida: 0,917 dam 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Lê-se decímetros quadrados. 0, Pé Polegada Jarda Milha terrestre Milha marítima = 30,48 cm = 2,54 cm = 91,44 cm = m = m Observe que: a)1 pé = 12 polegadas b) 1 jarda = 3 pés MEDIDAS AGRÁRIAS

4 As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). Unidade agrária Equivalência de valor hectare (ha) are (a) centiare (ca) 100ª 1a 0,01a Lembre-se: 1 ha = 1hm 2 1a = 1 dam 2 1ca = 1m 2 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: Observe as seguintes transformações: transformar2,36 m 2 em mm 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Para transformar m 2 em mm 2 (três posições à direita) devemos multiplicar por (100x100x100). 2,36 x = mm 2 transformar 580,2 dam 2 em km 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Para transformar dam 2 em km 2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por (100x100). 580,2 : = 0,05802 km 2 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm 2 em mm 2 (R: mm 2 ) 2) Transforme 3,1416 m 2 em cm 2 (R: cm 2 ) 3) Transforme 2,14 m 2 em dam 2 (R: 0,0214 dam 2 ) 4) Calcule 40m x 25m (R: m 2 ) MEDIDAS DE VOLUME

5 Introdução Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m 3 ) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Unidade Múltiplos Submúltiplos Fundamental quilômetro hectômetro decâmetro decímetro centímetro milímetro metro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm m m m 3 1m 3 0,001m 3 0,000001m 3 0, m 3 Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos. Leia a seguinte medida: 75,84m 3 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". Leia a medida: 0,0064dm 3 75, 840 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Lê-se "6400 centímetros cúbicos". 0, Transformação de unidades Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação:

6 Transformar2,45 m 3 para dm 3. km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Para transformar m 3 em dm 3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por ,45 x = dm 3 Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,132 km 3 em hm 3 (R: hm 3 ) 2) Transforme 180 hm 3 em km 3 (R: 0,18 km 3 ) 3) Transforme 1 dm 3 em dam 3 (R: 0, dam 3 ) 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm cm 3 (R: 3,88 m 3 Medidas de capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 1litro = 1dm 3 Múltiplos e submúltiplos do litro Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 1kl = 1m 3 Relações 1litro = 1dm 3 1ml = 1cm 3 Leitura das medidas de capacidade Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal kl hl dal L dl cl ml 2, Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". PERÍMETRO DE UM POLÍGONO Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

7 PERÍMETRO DO RETÂNGULO b - base ou comprimento h - altura ou largura Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h) PERÍMETRO DOS POLÍGONOS REGULARES Triângulo equilátero P = l+ l + l P = 3 l Quadrado P = l + l + l+ l P = 4 l Pentágono P = l + l + l + l + l P = 5 l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular Para um polígono de n lados, temos: P = n l Hexágono P = l + l + l + l + l + l P = 6 l COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA Um pneu tem 40 cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?

8 Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda. Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental. Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. Assim: O número 3, corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera π = 3,14. Logo: Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da roda obtido experimentalmente. C = 2 r C = 2. 3,14 20 C = 125,6 cm 3, CÁLCULO DE ÁREA EXEMPLOS 1-A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área? :.A área do quadrado é de 400 cm 2.

9 2-Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?. A área deste terreno é de 125 m 2. 3-A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo? A área deste triângulo é 12,25 cm 2. 4-A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa? A área da lente da lupa é de 78,54 cm 2. Exercícios 5-Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície? 6- Calcular a área e o perímetro das figuras a baixo; b)b) b) c c) c) 7,8m a) 10,5m 8,6cm 8,6cm 10m 7-Um terreno mede 20m por 65m. Calcule a área e o perímetro desse terreno. 8-Uma sala quadrangular mede 6m por 6m; pede-se: a) Quantos metros quadrados de cerâmica vão para revestir essa sala? b) Se o metro quadrado de cerâmica custa R$ 11, 20, quanto vou gastar? 9-Um atleta deu 10 voltas ao redor de uma pista circular, de 5 metros de raio. Quantos metros o atleta andou? 10- um campo mede 110 metros por 90m. Pede-se: a)qual é a área desse campo? b)um atleta andouoito voltas e meia ao redor desse campo, quantos metros andou? c)quantas hectares tem esse campo? 11-A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área? 12-A área de um quadrado é igual a 196 cm 2. Qual a medida do lado deste quadrado? 13-Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno? 14-A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?

10 VOLUME E CAPACIDADE DE UM CUBO E DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO 1-Um tanque de forma cúbica tem 2metros de aresta. Calcule o volume do tanque em metros cúbicos (utilizando a formula V= aresta x aresta x aresta ) V= 2x2x2 = 8m 3 logo tem litros 2-A piscina da casa de João possui o formato de um paralelepípedo e a capacidade deve ser determinada através da multiplicação das três dimensões. Veja: comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 1,5 m = 60 m³ (sessenta metros cúbicos) A medida de 1 m³ (metro cúbico) corresponde a 1000 litros. Portanto, 60 m³é igual à capacidade de litros. A piscina da casa de João tem a capacidade de litros de água. REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos, utilizadosna resolução de uma regra de três simples: 1º Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3 0 Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m 2 ) Energia (Wh)

11 1, ,5 X Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: cidade (Km/h) Tempo (h) X Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

12 Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) X Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) X Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

13 REGRA DE TRÊS COMPOSTA. A regra de três compostas é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume x 125 Identificação dos tipos de relação:inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

14 Logo, serão necessários 25 caminhões. 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias x 16 Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois se colocam flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordante para as inversamente proporcionais como mostra a figura abaixo:

15 Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12dias Exercícios complementares 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. 6) Um ingresso de show custa R$ 15,00, então, o custo de 06 bilhetes será? 7) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 06 horas? 8) Um certo alimento tem o custo de R$ 5,00 por 05 quilos. Calcular o preço de 10 quilos deste alimento. 9) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias? 10)Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas?

16 11Certa quantidade de suco foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco? 12)Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus? 13)Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? 14) Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango? 15) Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer tal tanque com apenas 2500 litros, qual o tempo necessário? 16) Em 15 minutos eu consigo descascar 2kg de batatas. Em uma hora conseguirei descascar quantos quilogramas? 17) Um trem com 4 vagões transporta 720 pessoas. Para transportar 1260 pessoas, quantos vagões seriam necessários? 18) Uma doceira faz 300 docinhos em 90 minutos. Se ela dispuser de apenas 27 minutos, quantos docinhos conseguirá fazer? 19) Um barco pesqueiro tem uma produção de 15 toneladas por viagem. Para uma produção de 90 toneladas, qual é o número necessário de viagens? 20) Uma vela com pavio de 10cm demora 45 minutos para queimar por inteiro. Para queimar 3 cm desta vela, qual o tempo necessário? 21) Um artesão consegue fazer três bonecos em 18 minutos. Em oito horas de trabalho quantos bonecos este artesão conseguiria produzir? 22)Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 23)Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? 24)Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas:

17 MATEMÁTICA FINANCEIRA PORCENTAGEM: Porcentagem: é muito utilizado no mercado financeiro, seja na hora de obter um desconto, calcular o lucro na venda de um produto ou medir as taxas de juros. Na engenharia, por exemplo, a porcentagem pode ser utilizada para definir o quanto já foi construído de um prédio. Em Administração, pode ser usada para medir as quotas de participação dos sócios em um negócio. O cálculo percentual nada mais é que a multiplicação de um valor qualquer pelo percentual desejado edividido por cem Exemplos: 1-Carlos jogou fora 20% das 10 laranjas que ele tinha. Quantas laranjas foram para o lixo? 10 x 20/100= 2 laranjas 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte em R$300,00. Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. Exercícios 1-Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? 2-Na compra de um aparelho obteve desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Pagou-se R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 3-Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de faltas esse jogador fez? 4-Calcule as porcentagens correspondentes: a) 2% de 700 laranjas b) 40% de 48 m c) 38% de 200 Kg d) 6% de 50 telhas e) 37,6% de 200 f) 22,5% de 60

18 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00 Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 1-João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu trabalho, seu patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário. João recebeu de gratificação (A) R$ 100,00 (B)R$ 125,00(C) R$ 250,00 (D) R$ 350,00 Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o preço era R$30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu fazer um desconto de 15%, e a bolsa passou a custar o mesmo que na loja B.Qual o preço da bolsa na loja B?

19 Resolução: 0,15 A = 30,00 A = 200,00 B = 200,00 30,00 = R$ 170,00 Exercícios: 1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. a) Um apartamento foi vendido por R$ ,00. Determine a comissão recebida pelo corretor. b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ ,00, já descontada a comissão do corretor. Determine o valor da comissão. 2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento? 3-João comprou uma TV e resolveu pagar à prazo, pois não podia pagar à vista. Sabendo que o valor à vista é de R$ 1500,00 e que o valor total à prazo é 15% maior que o valor à vista, responda: Quanto João vai pagar no total? a)r$ 1575,00 b)r$ 1650,00 c)r$ 1725,00 d)r$ 1800,00 e)r$ 1875,00 4-Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original dele. Se o vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou? a)r$ 59,50 b)r$ 58,80 c) R$ 58,20 d)r$ 57,60 d)r$ 57,00 e)nenhuma 5-No dia 1 deste mês, um produto estava sendo vendido por R$ 400,00. No dia 10, esse produto sofreu uma redução de 50% no seu preço. No dia 20, ele foi reajustado com um aumento de 50%. Escolha a alternativa correta. ( ) O produto estava mais barato no dia 1 do que no dia 20. ( )No dia 20 o produto estava com o mesmo preço que ele estava no dia 1. ( )O produto estava mais barato no dia 20 do que no dia 1 6-Ana tem 20 anos e morou durante 5 anos nos Estados Unidos, 4 anos na Austrália e o resto no Brasil. Em porcentagem, quantos anos ela morou no hemisfério sul? a)20% b)25% c)50% d)60% e)75% 7- Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveram-se 900 famílias carentes. A prefeitura começou programar esse programa atendendo, no 1º mês 15% dessas famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais que o mês imediatamente anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido do total de famílias. a) 21%b) 40%c) 45%d) 52%e) 55% 8- Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário?

20 9- Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha? 10- Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro? 11- Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia? 12- Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei? 13- Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango? 14-Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel? 15- Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guardaroupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido? 16- Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi ovalor pago em reais? 17- Um carro, que custava R$ ,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12% sobre o seupreço. Quanto ele passou a custar? 18-Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela, apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra? 19- Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após certoperíodo, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim opreço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preçode tabela)? 20-De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxapercentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados. 21-Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? 22-Uma caneta que custava R$ 60,00 sofreu um desconto de 5%.Quanto você pagará por essa caneta?

21 23-Por quanto deverei vender uma mercadoria que me custou R$ 720,80 para lucrar 30%? 24- Qual a taxa porcentual de: a) 3 sobre 5? A taxa é de 60% b) 10 sobre 20? 25- Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro? 26- Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%? 27-Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 130,40 sofreu um acréscimo de 2,5%. Qual é o novo valor dessa prestação? 28-Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados.qual a taxa de porcentagem dos alunos aprovados e reprovados? 29- Um produto foi comprado por R$ 280,00 e revendido posteriormente por R$ 440,00, qual a taxa percentual de lucro? 30-Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro? 31-Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas.qual a taxa de porcentagem das frutas estragadas? 32- Calcular as porcentagens: a) 2,3% de R$ 128,00 b) 0,9% de R$ 680,00 c) 10% de R$ 688,90 d) 0,5% de R$ 1234,00 e) 12% de 980,00 CONCEITOS BÁSICOS Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se PresentValue (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

22 Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicaçõesfinanceiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) OBS; A taxa ( i) e o tempo ( t) devem estar na mesma unidade Exercícios 1) O dono de uma empresa resolveu dar um aumento de 5% para todos os funcionários. Qual o fator que deve ser multiplicado pelos salários atuais para obter os novos salários? 2) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 460,00. Qual era o preço do aparelho antes do aumento?

23 3)A partir de 1º de abril de 2006, o salário mínimo passou de R$ 300,00 para R$ 350,00. Qual o percentual de aumento? 4) Observe a tabela abaixo: (Referência: Exames Supletivos SEE/RJ 2004) CANDIDATOS NÚMERO DE VOTOS A 6000 B 5000 C 5500 D 3500 E 4000 TOTAL DE VOTOS VÁLIDOS Obs.: Os votos brancos e nulos foram descartados por não serem considerados válidos. O percentual de votos do candidato vencedor foi: 25%,30%,32%,35% Fórmula para calcular juros simples 1-Imagine que peguemos um empréstimo de R$ 1.000,00 para pagar em um mês, com taxa de juros de 15% ao mês. Se o empréstimo for pago em um mês os juros serão simples, logo: J = C.I. T. Logo J = juros,c = capital = R$ 1000,00, i = taxa de juros = 15% ao mês t = tempo = 1 mês 2-Seu pai foi ao banco e pediu R$ 400,00 emprestados por três meses. O banco cobrou 5% de juros (simples) ao mês. Quanto seu pai deve pagar ao final dos três meses? 5% de R$ 400,00 é: 400/100 X 5 = 20 Logo seu pai vai pagar R$ 20,00 por mês. Como são três meses eles deve pagar R$ 60,00 de juros. "Então ele pega R$ 400,00 e paga só R$ 60,00?" Não, ele irá pagar R$ 400,00 mais R$ 60,00 o que totaliza R$ 460,00. 3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) t = 10 meses J = C.i. t J = , J = 240 Montante = Capital + juro M = = Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias / 6 = logo, 4m15d = x 9 = j = 1200 x = 234

24 Exercícios de fixação. 1) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação? (Resposta R$ 609,50) 2) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? (R 4anos) 3) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? (RespR$ 2000,00) 4) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema de capitalização simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00?( Resp 3% ao mês) 5) Quanto rendeu a quantia de RS 600,00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % ao mês, no final de 1 ano e 3 meses? (RespR$ 225,00) 6) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou um montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? (Resp5 meses) 7) Uma dívida de RS 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?( Resp 1% ao mês) 8) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital? ( Resp R$ 220,00) 9) Em 1º de março de 2004 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4000,00, a juros simples, com taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida em 1º de julho de 2004? (RespR$ 4640,00) 10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, a taxa de 2% ao mês. (Resp50 meses) 11)Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação. 12)Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um montante de R$ ,00. Determine o valor do capital aplicado. 13)Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 14)Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

25 JURO COMPOSTO Fórmula para calcular juro composto M=C.( 1 + I ) t. Logo: M = montante C = capital I = taxa dividida por 100 T = tempo Exemplo resolvido 1) Exemplo: Um mutuário comprou um apartamento por R$ ,00 financiado por um banco com taxa de juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo no primeiro mês, ele perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação. Qual será o valor do montante (tudo que ele deve) ao final de 10 anos? M = montante C = capital inicial = ,00 i = taxa de juros = 15% ao ano t = tempo = 10 anos Resposta: Ao final de 10 anos o montante (principal mais juros) será de R$ ,77, ou seja, ele deve mais de 4 apartamentos. 2) Exemplo: Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por 12 meses, qual será o montante final? M = montante C = capital inicial = R$ 1000,00 i = taxa de juros = 0,5% ao mês t = tempo = 12 meses Resposta: Ele ganhou a estratosférica quantia de R$ 61,68 para emprestar R$ 1.000,00, para o banco, por 1 ano. 3-Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos: a) 4% a.m e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses 4-Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, de R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.

26 Resolução: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. C = R$ 600 i = 4% = 0,04 n = 12 M = C (1 + i) n M = 600 (1 + 0,04) 12 M = 600 (1,04) 12 M = 600 1,60103 M = R$ 960,62 5-O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? Resolução: C = R$ 500 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizações são mensais) M = C (1 + i) n M = 500 (1,05) 8 M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738, J = R$ 238,73 6- Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? Resolução: M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C (1 + i) n 477,62 = C (1,03) 6 C = R$ 400,00 Exercícios 1-Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ ,00, qual será o montante gerado ao final de 2 meses, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%? 2-Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 3 meses, à taxa de 3,5% ao mês.

27 3-Um pequeno investidor aplicou R$ 200,00 (duzentos reais) com rendimento de 1% (um por cento) de juros compostos ao mês. O valor total em dinheiro dessa aplicação, ao final de três meses, é: 4-Determine o montante aproximado da aplicação de um capital de R$ ,00 no regime de juros compostos, com uma taxa de 1% ao mês, após três meses de aplicação. a)r$ ,75 b)r$ ,54 c)r$ ,61 d)r$ ,98 e)r$ ,72 5-João obteve um empréstimo de R$ 5.000,00 para pagá-lo 3 meses depois. Sabendo que a taxa de juros composta cobrada pela instituição foi de 2,0% ao mês, o valor que João pagou para quitar o empréstimo foi, em reais, de: a)5100,00b)5.202,00 c)5.300,00 d)5.306,04 e)5.314,20 6-Antônio aplicou R$ ,00 em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a juros simples, a uma taxa de 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplica totalmente em um outro banco, durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 5% ao semestre. No final da segunda aplicação, o valor do montante é de: a) R$ ,50 b) R$ ,60 c) R$ ,40 d) R$ ,00 e) R$ ,00 NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possível Exemplos: a) 5-3 = 2 (possível: 2 é um número natural) b) 9-9 = 0 ( possível: 0 é um número natural) c) 3-5 =? ( impossível nos números naturais) Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos, -1, -2, -3,...lê-se: menos um ou 1 negativo lê-se: menos dois ou dois negativo lê-se: menos três ou três negativo Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos números inteiros relativos, que será representado por Z. Z = {...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...} Exercícios 1) As temperaturas acima de 0 C (zero grau) são representadas por números positivos e as temperaturas abaixo de 0 C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números inteiros relativos: a) 5 acima de zero = (R: +5 )b) 3 abaixo de zero = (Resposta -3) c) 9 C abaixo de zero= (R: -9) d) 15 acima de zero = ( +15)

28 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos. _I I I I I I I I I I I I I I_ ,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6 1) Escreva os números inteiros: a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6) b) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 ) c) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2) d) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2) e) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1) f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1) COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta. -I I I I I I I I I I I I I I_ ,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6 Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o menor deles. a) -1 maior; -4, porque -1 está à direita de -4. b) -4 menor -2, porque -4 está à esquerda de -2. c) +2 maior; -4, porque +2 está a direita de -4 d) -2 menor +1, porque -2 está à esquerda de +1. Exercícios 1) coloque os números em ordem crescente. a) -9,-3,-7,+1,0 (Resposta -9,-7,-3,0,1) b) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25) c) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2) d) +60,-21,-34,-105,-90( R: -105,-90,-34,-21, +60) e) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20) f) -400,+620,- 840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)

29 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS ADIÇÃO 1) Adição de números positivos A soma de dois números positivos é um número positivo. EXEMPLOS a) (+2) + (+5) = +7 b) (+1) + (+4) = +5 c) (+6) + (+3) = +9 Simplificando a maneira de escrever a) = +7 b) = +5 c) = +9 2) Adição de números negativos A soma de dois números negativos é um número negativo Exemplos: a) (-2) + (-3) = -5 b) (-1) + (-1) = -2 c) (-7) + (-2) = -9 Simplificando a maneira de escrever a) -2-3 = -5 b) -1-1 = -2 c) -7-2 = -9 3) Adição de números com sinais diferentes a) (+6) + ( -1) = +5 b) (+2) + (-5) = -3 c) (-10) + ( +3) = -7 EXERCÍCIOS 1) Dados os números x= 6, y = 5 e z= - 6, calcule: a) x + y = (Resposta: +11) b) y + z = (R: -4) c) x + z = (R: -3) 2) Calcule a) = (Resposta: 22) b) = (R: -24) c) = (R: -3) d) = (R: + 1) e) = (R: -7) f) = (R: -20) g) = (R: -14) h) = (R: -20 i) = (R:+18) j) = (R: +19) 3) Calcule a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (Resposta: -9) b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9) c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0) d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12) e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13) f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 ) g) -2 + (-1) -6 = (R: -9) h) -(+7) = (R: -23) i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 ) j) ( -5) -30 = (R: -50)

30 l) (+7) - 43 = (Resposta -100) m) (+2) - (-3) = (R: 4) n) 18 - (-3) (-4) = (R: 11) o) 5 -(-5) (-3) = (R: 10) p) (-12) + (-1) -4-2 = (R: -40) q) (-15) -2 -(-10) = (R: -11) EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS Lembrem-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem: 1 0 parênteses () 2 0 colchetes [ ] 3 0 chaves { } EXERCICIOS 1 exemplo 8 + ( +7-1 ) - ( )= = 23-2 = 21 2 exemplo 10 + [ ( )]= 10 + [ ] = = 13-9 = 4 3 exemplo { +5 - [ +2 - ( ) ]} { +5 - [ ]} = { } = = = - 11 Exercícios Calcule o valor das seguintes expressões: 1) 15 -(3-2) + ( 7-4) = (Resposta: 17) 2) 25 - ( ) - ( ) = (R: 20 ) 3) ( 10-2 ) ( ) = (R: 15) 4) ( ) ( ) = (R: 17) 5) 18 - [ 2 + ( ) - 10 ] = (R: 30 ) 6) -4 + [ -3 + ( )] = (R: -5) 7) -6 - [10 + (-8-3 ) -1] = (R: -4) 8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21) 9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4-1 )]} = (R: 26)

31 10) 17 - { [ 8 - ( -1-3 ) + 5 ] } = (R: -2) 11) 3 - { -5 -[8-2 + ( ) ] } = (R: 18) 12) { -2 + [ ( ) + 3 ] } = (R: -20) 13) { 2 + [ 1 + ( ) - 2] } = (R: -29) 14) { 30 + [ ( -2-3)] } = (R: 0 ) 15) 20 + { [ ( ) + 3 ] } = (R: 33) 16) -4 - { 2 + [ ( ) ] + 2} = (R: 1) 17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7-3) - 2] + 6 } = (R: 3 ) 18) -{ -2 - [ -3 - ( ) ]} - 18 = (R: -13) 19) { -4 -[-8 + ( ) ]} = (R: -15) 20) {[( ) ] + 20 } + 10 = (R: 0 ) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS. MULTIPLICAÇÃO 1) Efetue as multiplicações: a) (+8). (+5) = (Resposta: 40) b) (-8).(-5) = (R: 40) c) (+8).(-5) = (R: -40) d) (-8). (+5) = (R: -40) e) (-3). (+9) = (R: -27) f) (+3).(-9) = (R: -27) g) (-3). (-9) = (R: 27) h) (+3). (+9) = (R: 27) i) (+7). (-10) = (R: -70) j) (+7). (+10) = (R: 70) l) (-7). (+10) = (R: -70) m) (-7). (-10) = (R: 70) 2) Efetue os produto a) (-3). (+2). (-4). (+1). (- 5) = (Resposta -120) b) (-1). (-2). (-3). (-4). (-5) = (R: -120) c) (-2). (-2). (-2). (-2). (-2). (-2) = (R: 64) d) (+1). (+3). (-6). (-2). (-1). (+2)= (R: -72) e) (+3). (-2). (+4). (-1). (-5). (-6) = (R: 720) f) 5. (-3). (-4) = (R: +60) DIVISÃO Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação Observe: a) (+12) : (+4) = (+3) b) (-12) : (-4) = 3 c) (+12) : (-4) = (-3) d) (-12) : (+4) = (-3),

32 1)Calcule o quocientes(divisões) a) (-48): (+12) = (Resposta: -4) b) (-32): (-16) = (R: 2) c) (+60): (-12) = (R: -5) d) (-64): (+16) = (R: -4) e) (-28): (-14) = (R: 2) f) (0): (+5) = (R: 0) 2) Resolver as expressões b) : 3 = (R: -4) c) 6 : (-2) +1 = (R: -2) d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5) e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12) f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35) g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8) h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10) i) : 3 = (R: 0) j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11 l) (-12) = (R: 2) m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8) n) 20 + (-10). (-5) = (R: 70) o) (-1). (-8) + 20 = (R: 28 )p) (-2) = (R: -8) POTENCIAÇÃO Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma: A base sempre será o valor do fator. O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. A potência é o resultado do produto. Base positiva Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente. Exemplo: a)(+2) 5 = (+2). (+2). (+2). (+2). (+2) = 32 b) 3 0 = 1(toda base com expoente zero, tem como potência 1). Base negativa Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação. (-5) 3 = (-5). (-5). (-5) = - 125

33 Expoente inteiro negativo Toda potência de expoente inteiro negativo e base não nula é igual à potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado. Assim: Exemplos: a) b) c) 1-Calcule as potências: a) 2 3 b) 4 2 c) 5 4 d) 0 5 e) 1 6 f) 3 0 g) 4 0 h) 6 2 i) 24 1 j) 67 0 l) 3 5 m) 10 3 Base fracionária

34 RADICIAÇÃO A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades. Dados um número real não negativo x e um número natural n 1, chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que y n = x. O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é o índice. Pela definição de radiciação, temos que: Exemplos: Exemplo 1. e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é 2- Determine as raízes: a) 4 = b) 25 = c) 0 = d) 25 = e) 64 = f) 81 = g) 36 = h) 100 = i) 400 = j) 121 = k) 169 = l) 900 = 3- Calcule: a) = b) = c) = d) = e) = f) = NÚMEROS RACIONAIS (Q) Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a e b números racionais e b zero, indicamos a divisão de a por b com o símbolo a: b ou, ainda a/b. LEITURA DE UMA FRAÇÃO Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Exemplos: 1/2 um meio 1/4 um quarto 1/6 um sexto1/8 um oitavo 2/5 dois quintos 9/8 nove oitavos 1/3 um terço 1/5 um quinto 1/7 um sétimo1/9 um nono 4/9 quatro nonos As decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos: 1/11 um onze avos 7/120 sete cento e vinte avos 4/13 quatro treze avos 1/300 um trezentos avos 5/19 cinco dezenove avos 6/220 seis duzentos e vinte avos As que têm denominadores 10, 100, 1000, etc... 1/10 um décimo 1/100 um centésimo 1/1000 um milésimo 7/100 sete centésimos.

35 Exercícios 1- Calcule o quociente das divisões a) 12/3 = (Resposta = 4) b) 42/21 = (R = 2) c) 8/4 = (R = 2) d) 100/10 = (R = 10) e) 56/7 = (R = 8) f) 64/8 = (R = 8 ) 2) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6 a) Em quantas partes o todo foi dividido? (Resposta = 6) b) Quantas partes do todo foram consideradas? (R = 5) 3) Escreva como se leem as seguintes frações: a) 5/8 (Resposta = cinco oitavos) b) 9/10 (R: nove décimos) c) 1/5 (R: um quinto) d) 4/200 ( R: quatro duzentos avos) e) 7/1000 (R: sete milésimos) f) 6/32 (R: seis trinta e doisavos) TIPOS DE FRAÇÕES a) Fração própria: é aquela cujo numerador é menor que o denominador. Exemplos: 2/3, 4/7, 1/8 b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador Exemplo: 3/2, 5/5 c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo numerador é múltiplo do denominador Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7. FRAÇÕES EQUIVALENTES Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da fração 1/2 por um mesmo numero natural diferente de zero. Assim: 1/2, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2. SIMPLIFICANDO FRAÇÕES Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele comeu? Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que Cláudio comeu 2/4 da pizza. A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja: 4/8 : 2/2 = 2/4 Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8. A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter 1/2.

36 Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Você pode simplificar uma fração por partes, veja: Exercícios 1-simplifique as frações: a) 14/16 =b) 18/36 =c) 5/25 =d) 12/20 =e) 21/49 = f) 4/32 =g) 11/33 =h) 9/27 =i) 20/35 =j) 12/30 = OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1 Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de denominadores iguais Conclusão:Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum. Exemplo: a) 5/7 2/7 = 3/7 b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3 c) 3/5 1/5 = 2/5 Exercícios 1) Efetue as adições a) 3/6 + 2/6 = (Resposta: 5/6) b) 13/7 + 1/7 = (R: 14/7) c) 2/7+ 1/7 + 5/7 = (R: 8/7) d) 4/10 + 1/10 + 3/10 = (R: 8/10) e) 5/6 + 1/6 = (R: 1) f) 8/6 + 6/6 = (R: 7/3) 2) Efetue as subtrações: a) 7/9 5/9 = (Resposta: 2/9) b) 9/5-2/5 = (R: 7/5) c) 2/3 1/3 = (R: 1/3) d) 8/3 2/3 = (R: 6/3) e) 5/6 1/6 = (R: 2/3) f) 5/5 2/5 = (R: 3/5) 3) Efetue as operações: a) 5/4 + 3/4 1/4 = (Resposta 7/4) b) 2/5 + 1/5 3/5 = (R: 0/5) c) 8/7 3/7 + 1/7 = (R: 6/7) d) 7/3 4/3 1/3 = (R: 2/3) e) 1/8 + 9/8-3/8= (R: 7/8) f) 7/3 2/3 + 1/3 = (R:6/3 ) = (R: 2) g) 7/5 + 2/5 1/5 = (R: 8/5) h) 5/7 2/7 1/7 = (R: 2/7)

37 Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de denominadores diferentes conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos denominadores, como exemplos têm: a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6 3, 2 I 2 3, 1 I 3 1, 1 I = 6 b) 2/3 1/4 = 8/12 3/12 = 5/12 3, 4 I 2 3, 2 I 2 3, 1 I 3 1, 1 I = 12 EXERCÍCIOS 1) Efetue as adições: a) 1/3 + 1/5 = (Resposta 8/15) b) 3/4 + 1/2 = (R: 5/4) c) 2/4 + 2/3 = (R: 14/12) d) 2/5 + 3/10 = (R: 7/10) e) 5/3 + 1/6 = (R: 11/6) f) 1/4 + 2/3 + 1/2 = (R: 17/12) g) 1/2 + 1/7 + 5/7 = (R: 19/14) h) 3/7 + 5/2 + 1/14 = (R 3) i) 4/5 + 1/3 + 7/6 = (R: 69/30) j) 1/3 + 5/6 + 3/4 = (R: 23/12) k) 1/2 + 1/3 + 1/6 = (R: 1) t) 8 + 1/5 + 4/5 = (R: 45/5) 2) Efetue as subtrações a) 5/4 1/2 = (Resposta 3/4) b) 3/5 2/7 = (R: 11/35) c) 8/10 1/5 = (R: 6/10) d) 5/6 2/3 = (R: 1/6) e) 4/3 1/2 = (R: 5/6) f) 13/4 5/6 = (R: 29/12) g) 7/8 1/6 = (R: 17/24)h) 4/5 1/3 = (R: 7/15) MULTIPLICAÇÃO Vamos calcular: 2/3 x 4/5 = 8/15 Conclusão: multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si Exemplo: a) 4/7 x 3/5 = 12/35 b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando

38 EXERCICIOS 1) Efetue as multiplicações a) 1/2 x 8/8 = (Resposta: 1/2) b) 4/7 x 2/5 = (R: 8/35) c) 5/3 x 2/7 = (R: 10/21) d) 3/7 x 1/5 = (R: 3/35) e) 1/8 x 1/9 = (R: 1/72) f) 7/5 x 2/3 = (R: 14/15) g) 3/5 x 1/2 = (R: 3/10) h) 7/8 x 3/2 = (R: 21/16) i) 1/3 x 5/6 = (R: 5/18) j) 2/5 x 8/7 = (R: 16/35) 2) Efetue as multiplicações a) 4/3 x 1/2 x 2/5 = (Resposta: 4/15) b) 1/5 x 3/4 x 5/3 = (R: 1/4) 3) Efetuar a) 2 x 5/3 = (Resposta: 10/3) b) 3 x 2/5 = (R: 6/5) c) 1/8 x 5 = (R: 5/8) d) 6/7 x 3 = (R: 18/7) e) 2 x 2/3 x 1/7 = (R: 4/21) f) 2/5 x 3 x 4/8 = (R: 3/5) g) 5 x 2/3 x 7 = (R: 70/3) h) 7/5 x 2 x 4 = (R: 56/5) DIVISÃO Vamos calcular 1/2: 1/6 Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da segunda Assim: 1/2: 1/6 = 1/2 x 6/1 = 6/2 = 3 Exemplos: a) 2/3: 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15 b) 7/9: 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9 c) 3/7: 4 = 3/7 x 1/4 = 3/28 Exercícios 1) Efetue as divisões a) 3/4 : 2/5 = (Resposta: 15/8) b) 5/7 : 2/3 = (R: 15/14) c) 4/5 : 3/7 = (R: 28/15) d) 2/9 : 7/8 = (R: 16/63) e) 1/6 : 5/3 = (R: 3/30) ou (3/10) f) 7/8 : 3/4 = (R:7/6) g) 8/7 : 9/3 = (R: 24/63)h) 4/5 : 2/5 = (R: 2) PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS Os problemas com números racionais absolutos são geralmente resolvidos da seguinte forma: 1 0 Encontrando o valor de uma unidade fracionária; 2 0 Obtendo o valor correspondente da fração solicitada.

39 Exemplo Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem 3/4 dessa quantidade. Quantas fichas têm o meu irmão? 60 x 3/4 = 180/4 = 45 Resposta: O meu irmão tem 45 fichas EXERCICIOS 1) Determine 2/3 de R$ 1200,00 (Resposta: 800,00) 2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. (R: 32) 3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa peça? (R:18 m) 4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros o carro percorreu? (R: 360 km) 5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4. Quantos quilômetros já foram percorridos? (R: 54 km) 6) Um livro tem 240 páginas. Você estudou 5/6 do livro. Quantas paginasestudou? (R: 200) 7) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? (R: 200) 8) Os 3/4 do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? (R: 1200,00) 9) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75) 10) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a capacidade desse reservatório? (R: 600 litros) 11) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada? (R: 270 km) 12) Para revestir 3/4 de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos são necessários para revestir toda a parede? (R: 200) 13) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol?(r: 210) 14) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de ônibus. Que distância eu percorri de ônibus? (R: 400 km) 15) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele acertou?(r: 30 )

40 16) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? (R: 18) 17) Um brinquedo custou R$ 152,10,. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou devendo?(r: 126,75) RAZÕES Introdução Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividirem o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. A razão 1/2 pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida. Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) o quociente ou a:b. A palavra razão vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos: 1-Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). 2-Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). Observações: 1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

41 ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção. Exemplo: Dada a proporção, temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 Aplicações da propriedade fundamental Exemplos: 1-Determine o valor de x na proporção: Solução: 5. x = (aplicando a propriedade fundamental) 5. x = 120 x = 24 Logo, o valor de x é 24.

42 2-Determine o valor de x na proporção: Solução: 5. (x-3) = 4. (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = x = 19 3x = -19 x = Logo, o valor de x é. 3-Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução: 5. x = x = 280 (aplicando a propriedade fundamental) x = 56 Logo, o valor de x é 56. EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU Equações de primeiro grau(com uma variável) Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0 Não são equações: = (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade) (não é sentença aberta, nem igualdade)

43 A equação geral do primeiro grau:é toda equação do tipo ax+b = 0 Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois ladosax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos: Considera a equação2x - 8 = 3x -10 A letra é a incógnita da equação. A palabra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede 2º membro Quaisquer parcela, do 1º o u do 2º membro, é um termo da equação. Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. Exercícios de Equações de 1º Grau 1-Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses? X + (x + 1) + (x + 2) = 393 3x + 3 = 393 3x = 390 x = 130 Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

44 2- Determine o valor do X: 4x 12 = 8 4x = x = 20 X = 20/4 X = 5 3- Resolva as equações a seguir: a)18x 43 = 65 b) 23x 16 = 14 17x c) 10y 5 (1 + y) = 3 (2y 2) 20 d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x e) (x 5)/10 + (1 2x)/5 = (3-x)/4 f) 4x (x + 6) x 2 = 5x 2 PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU 1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui? A) R$ 20,00 B) R$ 20,50 C) R$ 22,00 D) R$ 22,50 2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número? A) 15 B) 30 C) 45 D) 90 3.José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café? A) 87,5 B) 125,6 C) 262,5 D) 267,5 E) 272,0 4-Num estacionmento há carros e motos,totalizando 85 veículos.o número de carros é igual a 4 vezes o de moto.qual é o número de carros e de motos presentes no estacionamento? 5-César tem 15 lápis a mais que Osmar,e José tem 12 lápis a menos que Osmar.O total de lápis é 63.Quantos lápis tem cada um? 6-A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

45 7-Uma peça de tecido teve de ser dividida em duas partes, sendo uma delas sete vezes maior do que a outra. Sabendo que a peça de tecido tinha inicialmente 48 metros, quantos metros tem a peça menor? 8- A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um? 9- A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número? 10- Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14? EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Em diversas situações problemáticas empregamos letras em substituição aos números. Estas substituições nos permitem estabelecer fórmulas pelas quais podemos resolver, com facilidade, uma infinidade de problemas. Exemplos: Se chamarmos de n certo número, podemos escrever: a)o dobro de n será : 2 x n = 2n b) O triplo de n será : 3 x n = 3n TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO É o produto de números reais indicados por letras e números. São exemplos de termos algébricos: COEFICIENTES DE UM TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO Coeficiente Numérico de um termo algébrico: é a parte numérica que antecede a parte literal.coeficiente Literal de um termo algébrico: é a parte literal formada pelas variáveis e seus respectivos expoentes. Pode, também, ser chamado simplesmentede parte literal.nos exemplos anteriores, teremos:

46 GRAU DE UM MONÔMIO Grau de um Termo Algébrico ou Monômio Racional é a soma dos expoentes das variáveis desse monômio. Exemplos: 1) O monômio 3x 2 y 3 é do 5 º grau já que a soma dos expoentes de x e y é = 5 2) O monômio - 7mn 2 p 5 é do 8 º grau já que a soma dos expoentes de m, n e p é = 8 Consideremos as seguintes situações: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS O triplo de um número é adicionado ao dobro de outro número. Se chamarmos cada um desses números de a e b, podemos escrever: 3a + 2b. Essa expressão algébrica é formada por 2 termos algébricos unidos pelo sinal de adição. A diferença entre o quadrado de um número e seu dobro é adicionada a3 Expressões algébricas é toda expressão que indica termos algébricos 1-Uma Expressão Algébrica será um monômio quando apresentar apenas 1 termo algébrico 2-Uma Expressão Algébrica será um polinômio quando apresentar 2 ou mais termos algébricos 3-Quando um polinômio apresentar apenas 2 termos algébricos ele será um binômio. 4-Quando um polinômio apresentar apenas 3 termos algébricos ele será um trinômio. 5-Um polinômio será racional inteiro quando apresentar apenas termos algébricos racionais inteiros. 6-Um polinômio será racional fracionário quando apresentar, pelo menos, 1 termo algébrico racional fracionário. 7-Um polinômio será irracional quando apresentar pelo menos 1 termo algébrico irracional. REDUÇÃO DE TERMOS ALGÉBRICOS SEMELHANTES Quando uma expressão algébrica apresentar termos algébricos semelhantes é necessário reduzir, ou seja, efetuar a adição algébrica entre eles.

47 Veja outros exemplos: Expressões algébricas possuem números e letras ou apenas letras Valor numérico de uma expressão algébrica Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo: 1º) Substituir as letras por números reais dados. 2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem: Potenciação Divisão e multiplicação Adição e subtração Observação: Utilize parênteses quando substituirmos letras por números negativos. Exemplo: Calcular o valor numérico de 2 x + 3 y para x = 5 e y = 5. Solução: Vamos trocar x por 5 e y por 5. 2 x + 3 y = ( 5 ) 2 x + 3 y = 10 + ( 15) 2 x + 3 y = x + 3 y = 5 1- Calcule o valor numérico das expressões. a) b) c)

48 FRAÇÕES ALGÉBRICAS Frações algébricas utilizam o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo O cálculo dê-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero. Simplificação de frações algébricas: Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente. Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador. Exs: M.M.C de polinômios: Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não comuns cada um deles com o maior expoente. Exemplos: m.m.c =» e e» m.m.c = (a+b)(a-b) Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles m.m.c = e» e Adição e subtração de frações algébrica: Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores. Ex: Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores. Ex: Adição e subtração de frações algébrica: Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores. Ex: Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores.

49 Ex: Multiplicação e divisão de frações algébricas Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns. Exs: Potenciação de frações algébricas Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas. Exs: PRODUTOS NOTÁVEIS Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente. Quadrado da soma de dois termos Observe: (a + b)² = ( a + b). (a + b) = a² + ab+ ab + b² = a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo). (segundo termo) + (segundo termo)² Exemplos: 1) (5 + x)² = 5² x + x² = x + x² 2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

50 Exercícios 1) Calcular: a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²) b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25) c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²) d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4) e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4) f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1) g) ( 5+ 3x)² = (R: x + 9x²) h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²) Quadrado da diferença de dois termos Observe: (a - b)² = ( a - b). (a - b) a² - ab- ab + b² a² - 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² - 2.(primeiro termo). (segundo termo) + (segundo termo)² 1) ( 3 X)² = 3² X + X² = 9 6x + x² 2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y² Exercícios 1) Calcule a) ( 5 x)² = (R: 25 10x + x²) b) (y 3)² = (R: y² - 6y + 9) c) (x y)² = (R: x² - 2xy + y²) d) ( x 7)² = (R: x² - 14x + 49) e) (2x 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25) f) (6y 4)² = (R: 36y² - 48y + 16) g) (3x 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²) h) (2x b)² = (R: 4x² - 4xb + b²) Produto da soma pela diferença de dois termos (a + b). (a b) = a² - ab + ab - b² = a²- b² conclusão: (primeiro termo)² - (segundo termo)² Exemplos : 1) ( x + 5 ). (x 5) = x² - 5² = x² ) (3x + 7y). (3x 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²

51 EQUAÇÕES DE 2º GRAU Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 7x 2 - x = 0 é uma equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x 2-36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36. Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Equações completas e Incompletas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: a)x² - 9x + 20 = 0 e b) -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos: x² - 36 = 0 (b = 0) x² - 10x = 0 (c = 0) 4x² = 0 (b = c = 0) Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara. A partir da equação, em que a, b, c IR e, desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

52 Discriminante Denominamos discriminante o radical b 2-4ac que é representado pela letra grega (delta). Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara: Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para Para Para Resumindo, a equação tem duas raízes reais diferentes., a equação tem duas raízes reais iguais., a equação não tem raízes reais. Resoluções equações completas 1) 3x²-7x+2=0 A=3, b=-7 e c=2 Substituindo na fórmula: = (-7)² = = 25 = e Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 2) -x²+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4 =4² = = 0

53 Substituindo na fórmula de Bhaskara:» x=2 Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 3) 5x²-6x+5=0 A=5 b=-6c=5 = (-6)² = = -64 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo:» vazio Equações incompletas 1º caso: b= 0 Considere a equação do 2º grau incompleta: x²-9=0» x²= 9» x=» x= 2º caso: c= 0Considere a equação do 2º grau incompleta: x²-9x=0» Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0» x=( 0,9) GRÁFICO DA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU Crescente Decrescente Observação: A característica do gráfico é uma parábola

54 PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2 GRAU 1-A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (Resposta:9 e-10) 2- A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero. (R: 3 e -4) 3- O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1) 4- A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número. (R:10 e -8) 5- O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número? 6-Resolver as equações do segundo grau; a) x 2 7x = 0 b) x(x + 1) = 30 7-Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: a) 5x 2-3x - 2 = 0b) 3x = 0 c) x 2-6x = 0d) x 2-10x + 25 = 8-Determinar o valor do delta( ): a) x 2 - x - 20 = 0b) x 2-3x -4 = 0 c) x 2-8x + 7 = 0 9-Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x 2-2x-8= 0? 10-Determine os zeros das seguintes funções e teste os resultados: a) x 2 4x 5 = 0 b) x 2 2x + 6 = 0 c) - x 2 + 2x = 0 d) - x 2-7x + 10 = Complete os coeficientes. a) x 2 4x 3 a = b = c = b)x 2 9 a = b = c = c) 4x 2 + 2x 3 a = b = c = d) x 2 + 7xa = b = c =

55 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Considere a fração: que seu denominador é um número irracional. Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por equivalente:, obtendo uma fração Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores. A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador. Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator nacionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. Principais casos de racionalização: 1º Caso:O denominador é um radical de índice 2: Exemplos: Exercícios 1- Racionalizar os denominadores: a)3b) 4 c) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Catetos e Hipotenusa Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.

56 Observe a figura: Hipotenusa: Catetos: e TEOREMA DE PITÁGORAS a 2 = b 2 + c 2 Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:seno, Cosseno e Tangente. Exemplo 1 Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. x² = 9² + 12² x² = x² = 225 x² = 225 x = 15 1-Calcula o valor de x no triângulo retângulo

57 2-Calcular a distância percorrida pelo berlinde Resposta 265 cm = 2,65 m 3-Use o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x 21 x O valor do cateto no triângulo retângulo abaixo: a) 15b) 16c) 30d) 9e) 12 5-Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

58 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.no triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: Asoma dos quadrados doscatetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas. As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno,cosseno e tangente. Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c. seno B = b/a cosseno B = c/a tangente B = b/c sen C = c/a cosseno C = b/a tangente C = c/b

59 Exercícios 1-Nos triângulos das figuras abaixo calcular: tg Â, tg Ê, tg Ô: 2- Determinar seno, cosseno e tangente do ângulo A 3-Qual é a altura de um poste, se foi afastado 30 metros da sua base e enxergado o topo do poste sob um ângulo de 30 0 use tangente de 30 0 = 0,58. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS Corti, Ana Paula, Aprender, Interdisciplinar, 1ªEdição, Editora Global, são Paulo Santo André Luis Pereira Mendes, Denise Carrochano, Maria Clara. Fernandes, Maria Lídia Bueno. Catelli, Roberto Júnior. Giansanti, Roberto Paiva, Manoel. Vol. Único. Matemática. São Paulo: Moderna. Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, Editora FTD. Praticando Matemática- Álvaro Andrini (5 0, 6 0, 7 0 e 8 0 série) Editora do Brasil. S/A.