Volumes de Sólidos de Revolução

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Volumes de Sólidos de Revolução Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Volumes de Sólidos de Revolução 1.O método do disco 2.O método da arruela 3.Aplicação

3 1. O método do disco Conforme a figura a seguir, obtém-se um sólido de revolução fazendo-se uma região plana revolver em torno de uma reta. A reta é chamada eixo de revolução.

4 1. O método do disco

5 1. O método do disco Para deduzir uma fórmula que nos permita achar o volume de um sólido de revolução, consideremos uma função contínua f, não-negativa no intervalo [a, b]. Suponhamos a área da região aproximada por n retângulos, todos com mesma largura Dx, conforme a figura a seguir.

6 1. O método do disco n

7 1. O método do disco Fazendo os retângulos revolverem em torno do eixo x, obtemos n discos circulares, cada um dos quais tem volume dado por π f ( x i ) 2 x O volume do sólido formado pela revolução da região em torno do eixo x é aproximadamente igual à soma dos volumes dos n discos. Além disso, tomando o limite quando n tende para o infinito, podemos ver que o volume exato é dado por uma integral definida. Este resultado é chamado o Método do Disco.

8 1. O método do disco O Método do Disco O volume do sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x (a x b), é Volume = b π f ( x ) dx a [ ] 2

9 1. O método do disco Exemplo 1: Determine o volume do sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f (x) = -x 2 + x e pelo eixo x.

10 1. O método do disco Inicialmente fazemos um esboço da região delimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x. Conforme a figura a seguir, tracemos um retângulo representativo cuja altura é f (x) e cuja largura é x.

11 1. O método do disco Raio = ( ) = + 2 f x x x

12 1. O método do disco [ f x ] Volume = π ( ) π 1 ( ) 2 2 = x + x dx 0 dx Método do Disco Substituir f (x) π 1 0 ( ) = x x + x dx Desenvolvendo o integrando x x x = π Determinando a antiderivada π = 30 0,105 unidades cúbicas Aplicando o Teorema Fundamental

13 1. O método do disco OBS: No Exemplo 1, todo o problema foi resolvido sem apelar para o esboço tridimensional mostrado na figura anterior, à direita. Em geral, para estabelecer a integral para o cálculo do volume de um sólido de revolução, é mais útil um esboço gráfico da região plana do que do próprio sólido, porque o raio se torna mais visível na região plana.

14 2. O método da arruela Podemos ampliar o Método do Disco para calcular o volume de um sólido de revolução que apresente um buraco. Consideremos uma região delimitada pelos gráficos de f e g, conforme a figura a seguir (lado esquerdo).

15 2. O método da arruela

16 2. O método da arruela Se a região revolve em torno do eixo x, podemos determinar o volume do sólido resultante aplicando o Método do Disco a f e g e subtraindo os resultados. b a 2 b 2 [ ] π [ ] Volume = π f ( x) dx g( x) dx a Escrevendo esta expressão como uma única integral, obtemos o Método da Arruela.

17 2. O método da arruela O Método da Arruela Sejam f e g contínuas e não-negativas no intervalo fechado [a, b]. Se g (x) f (x) para todo x no intervalo, então o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos de f e g (a x b), é b a 2 b 2 [ ] π [ ] Volume = π f ( x) dx g( x) dx f (x) é o raio exterior e g (x) é o raio interior. a

18 2. O método da arruela Note que, na figura anterior (à direita), o sólido de revolução tem um buraco. Além disso, o raio do buraco é g (x), o raio interior.

19 2. O método da arruela Exemplo 2: Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos de f x x g x 2 ( ) = 25 e ( ) = 3 conforme a figura a seguir.

20 2. O método da arruela

21 2. O método da arruela Determinemos primeiro os pontos de interseção de f e g igualando f (x) e g (x) e resolvendo em relação a x. f ( x) = g( x) Igualar f (x) e g (x) 2 25 x = x = 9 Substituir f (x) e g (x) Elevar ambos os membros ao quadrado 2 x = 16 x = ±4 Resolver em relação a x

22 2. O método da arruela Tomando f (x) como raio exterior e g (x) como raio interior, podemos determinar o volume do sólido como a seguir. π ([ ] [ ] ) Volume = f ( x) g( x) dx 4 Método das Arruelas = π 4 ( ) x ( 3) 4 2 dx Substituir f (x) e g (x)

23 2. O método da arruela 4 4 ( 2 ) = π 16 x dx Simplificar = π 16x x Determinar a antiderivada 256π = 3 268,08 polegadas cúbicas

24 3. Aplicação Exemplo 3: De acordo com o regulamento, uma bola de rugby pode ter como modelo um sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, do gráfico de f x x x 2 ( ) = 0, ,4, 5,5 5,5 conforme a figura a seguir. Utilize este modelo para determinar o volume de uma bola de rugby. (No modelo, x e y são dados em polegadas.)

25 3. Aplicação OBS: Obtém-se um sólido em forma de uma bola de rugby (futebol americano) pela revolução de um segmento de parábola em torno do eixo x.

26 3. Aplicação Para determinar o volume do sólido de revolução, aplique o Método do Disco. 5 2 [ f x ] Volume = π ( ) 5 dx Método do Disco ( 2 0,0944x 3,4) = π polegadas cúbicas dx Substituir f (x)

27 3. Aplicação Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x 3, y = 8 e x = 0 ao redor do eixo y.

28 3. Aplicação Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e, portanto, integrar em relação a y.

29 3. Aplicação Se fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio x, onde x = y 1/3. f (y) = 3 y Volume = b π f ( y ) dy a [ ] 2

30 3. Aplicação Como o sólido está entre y = 0 e y = 8, seu volume é π 8 3 Volume = y ) 0 2 dy /3 2/3 Volume = π y dy = π y dy Volume Volume /3 5/3 3 3 = π y = y 5 π [ ] 8 96π = π 32 0 =