Gráficos de Funções Trigonométricas

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Gráficos de Funções Trigonométricas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Gráficos de Funções Trigonométricas 1.Gráficos de funções trigonométricas 2.Limites de funções trigonométricas 3.Teorema do confronto

3 1. Gráficos de funções trigonométricas Para traçar o gráfico de uma função trigonométrica, construímos uma tabela de valores, marcando os pontos resultantes e ligando-os por uma curva suave. 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π sen 0,00 0,50 0,71 0,87 1,00 0,87 0,71 0,50 0,00 3

4 1. Gráficos de funções trigonométricas Na figura acima, note que o valor máimo de sen é 1 e o mínimo é -1. A amplitude da função seno (ou da função cosseno) é definida como a metade da diferença entre seus valores máimo e mínimo. Assim, a amplitude de f() = sen é 1. 4

5 1. Gráficos de funções trigonométricas A natureza periódica da função seno torna-se evidente se observarmos que, quando cresce além de 2π, o gráfico passa a repetir-se indefinidamente, oscilando continuamente em torno do eio. O período de uma função é a distância (sobre o eio ) entre ciclos sucessivos. Assim, o período de f() = sen é 2π. 5

6 1. Gráficos de funções trigonométricas A figura acima mostra os gráficos de ao menos um ciclo das funções trigonométricas sen, cos e tg. 6

7 1. Gráficos de funções trigonométricas A figura acima mostra os gráficos de ao menos um ciclo das funções trigonométricas cossec, sec e cotg. 7

8 1. Gráficos de funções trigonométricas A familiaridade com os gráficos das seis funções trigonométricas básicas permite-nos traçar gráficos de funções mais gerais como y = a sen b e y = a cos b. Note que a função y = a sen b oscila entre a e a e tem, assim, amplitude de a. Alem disso, como b = 0 quando = 0 e b = 2π quando = 2π/b, decorre que a função y = a sen b tem período de 2π/ b. 8

9 1. Gráficos de funções trigonométricas Eemplo 1: Trace o gráfico de f() = 4 sen. O gráfico tem as seguintes características: amplitude igual a 4 e período igual a 2π. A figura eibe 9 três ciclos do gráfico, a começar do ponto (0, 0).

10 1. Gráficos de funções trigonométricas Eemplo 2: Trace o gráfico de f() = 3 cos 2. O gráfico apresenta as seguintes características: amplitude igual a 3 e período igual a 2π/2 = π. A figura eibe quase três ciclos do gráfico, partindo do ponto de 10 máimo (0, 3).

11 1. Gráficos de funções trigonométricas Eemplo 3: Trace o gráfico de f() = -2 tg 3. O gráfico desta função tem período π/3. As assíntotas verticais desta função tangente ocorrem em =, -π/6, π/6, π/2, 5π/6, 11

12 1. Gráficos de funções trigonométricas Eemplo 3: Trace o gráfico de f() = -2 tg 3. A figura acima eibe vários ciclos do gráfico, a partir da assíntota vertical = - π/6. 12

13 2. Limites de funções trigonométricas As funções seno e cosseno são contínuas em toda a reta real. Assim, podemos aplicar a substituição direta para calcular limites como: lim sen = sen 0 = 0 0 lim cos = cos 0 =

14 2. Limites de funções trigonométricas sen Eemplo 4: Estime o valor de lim. 0 X -0,20-0,15-0,10-0,05 0,05 0,10 0,15 0,20 sen 0,9933 0,9963 0,9983 0,9996 0,9996 0,9983 0,9963 0,9933 é, Pela tabela, vemos que o limite tende a 1. Isto sen lim =

15 2. Limites de funções trigonométricas Pelo gráfico da função, vemos que ela se aproima de 1 quando a epressão tende a zero, tanto pela esquerda quanto pela direita

16 3. Teorema do confronto Da trigonometria, temos: π 0 < < sen < < tg > > ( I) sen tg π < < 0 sen > > tg < < ( II) sen tg 16

17 3. Teorema do confronto Multiplicando as igualdades I e II por sen, resulta 0 sen > 0 π sen sen sen < < > > 2 sen tg sen 1> > cos sen < 0 π sen sen sen < < 0 > > 2 sen tg sen 1> > cos 17

18 3. Teorema do confronto Temos, portanto: π π sen para < < e 0 cos < < Considerando g( ) = cos sen f ( ) = h( ) = 1 18

19 3. Teorema do confronto e notando que lim g( ) = lim cos = cos 0 = lim h( ) = lim 1= pelo teorema do confronto, temos sen lim =

20 3. Teorema do confronto Eemplo 5: Determine o limite da epressão sen 5 lim 0 3 sen 5 5 sen 5 5 sen 5 lim = lim lim = sen 5 5 sen lim lim lim lim = 0 3 = =

21 3. Teorema do confronto Eemplo 6: Determine o limite da epressão lim 0 1 cos 1 cos (1 cos ) (1+ cos ) lim = lim = 0 0 (1+ cos ) cos sen = lim = lim = 0 (1+ cos ) 0 (1+ cos ) sen sen 0 = lim.lim = 1. = cos